2021-2022学年上海市行知中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市行知中学高一下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，若点的坐标为，则__．

【答案】##

【分析】先利用角的终边定义三角函数值，然后再利用二倍角公式即可.

【详解】由题令，则

所以，，

所以．

故答案为：.

2．已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为___________.

【答案】4

【分析】设出扇形半径和弧长，列出方程组，求出，，进而求出扇形面积.

【详解】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：，解得：，，所以该扇形的面积为

故答案为：4

3．已知，,则________.

【答案】

【分析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.

【详解】解：因为，,

又，

所以=，

故答案为.

【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.

4．函数的最大值为__．

【答案】9

【分析】运用二倍角公式和诱导公式转化为二次函数求解

【详解】，

因为，所以当时，取到最大值为9．

故答案为：9

5．已知菱形，若，，则向量在上的投影为_______.

【答案】

【分析】根据菱形中向量关系，求向量模长，再根据投影公式求投影.

【详解】菱形ABCD中，，

向量在上的投影

故答案为：

【点睛】本题考查利用平面向量解决平面几何问题，以及投影公式.

6．给出下列六种图象变换的方法：

①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；

②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍；

③图象向右平移个单位长度；

④图象向左平移个单位长度；

⑤图象向右平移个单位长度；

⑥图象向左平移个单位长度.

请用上述变换中的两种变换，将函数的图象变换为函数的图象，那么这两种变换正确的标号是__________.（按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可）

【答案】④②或②⑥

【分析】可将函数按照“先平移，后伸缩”和“先伸缩，后平移”两类，按照伸缩规则和平移规则得到，得到答案.

【详解】按“先平移，后伸缩”得的图像的图像的图像，

按“先伸缩，后平移”得的图像的图像的图像.

故答案为④②或②⑥

【点睛】本题考查正弦型函数的伸缩变换和平移变换，属于简单题.

7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．

【答案】．

【分析】利用整体代换法求出函数的增区间，然后根据题意分析建立不等式组解出即可.

【详解】由，

得，

即函数的单调增区间为，

因为在是增函数，所以区间过原点，且

所以时，的增区间为，

则满足，即，

所以实数的取值范围是

故答案为：.

8．若关于的不等式对任意恒成立，则所有满足条件的实数的取值构成的集合为__．

【答案】,

【分析】对二次项系数进行讨论，分成与两种情况，当时，考虑二次函数的开口方向及一元二次方程根的判别式情况.

【详解】当时，，不等式化简为，不恒成立，舍去，

当时，则，即

解得，

则满足条件的实数的取值取值构成的集合为,．

故答案为：,.

9．在中，，三角形面积满足，则与的夹角的范围________.

【答案】

【分析】由得到，由得到，从而得到的范围，从而得到的范围

【详解】因为在中，，

所以，即

因为三角形面积满足，

所以，

所以得到，

又因，

所以

故答案为：

【点睛】本题考查向量的数量积，三角形面积公式，属于中档题.

10．若在上是严格减函数，则实数的取值范围是__．

【答案】

【分析】根据分段函数在上是严格减函数，要求每一段函数是严格减函数，且当时分别代入两段函数，左边界函数值大于等于右边界的函数值.

【详解】已知函数在上是严格减函数，则在区间上是严格减函数，且在区间上是严格减函数，且当时分别代入两段函数，左边界函数值大于等于右边界的函数值.

则，所以．

故答案为：.

11．已知函数的定义域为R，且，当时，．若存在，使得，则m的取值范围为___________．

【答案】

【解析】由题意分段求出解析式，画出图象后数形结合即可得解.

【详解】且当时，，

当时，，不合题意；

当时，，

当时，，

当时，，

作出函数图象，如图：

当时，令得或，

若存在，使得，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了函数解析式的求解和数形结合思想，属于中档题.

12．对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】讨论的范围得出的表达式，求出的值域即可.

【详解】①当时，，

由，得，所以，

此时，即，则，即；

②当时，，

由，得，

此时，即；

③当时，，

由，得，所以，

此时，则，即；

④当时，，则，

由，得不成立，此时不存在；

⑤当时，，

由，得，所以，

此时，则，即；

⑥当时，，

由，得，

综上，由有且仅有一个正数使得成立，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论的范围，根据的不同取值范围得出的表达式，再利用三角函数的性质求解.

二、单选题

13．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】D

【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可.

【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；

题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；

因为分别是的单位向量，所以，

故选：D

14．，已知函数恰有五个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数的零点转化为两个函数的交点，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】由题意得可转化为与恰有五个交点，

当时，单调递减，且当时，，

而函数，当时，函数单调递减，

当时，函数单调递增，所以此时两个函数图象不可能有5个交点，

当时，如图所示：

如图所示，需满足，所以，

故选：B

15．下列命题正确的个数为（    ）

（1）函数在定义域内单调递增；

（2）函数是周期函数，且最小正周期为；

（3）函数的一条对称轴为；

（4）函数的最小正周期为的充要条件是．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】（1）利用正切函数的单调性进行说明即可；（2）结合的最小正周期即可；（3）令解出即可；（4）利用三角函数的性质及充要条件判断.

【详解】（1）函数在单调递增，不能说在它的定义域上单调递增故（1）错误；

（2）函数是周期函数，且最小正周期为，故（2）错误；

（3）由，

当时，，

所以函数的一条对称轴为，

符合题意，故（3）正确；

（4）由

所以函数的最小正周期为的充要条件是，

故（4）错误；

故选：A.

16．设函数的最大值为，最小值为，则与满足的关系是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】将函数化为一个常数函数与一个奇函数的和，再利用奇函数的对称性可得答案.

【详解】因为

，

令，则，

所以为奇函数，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，考查了奇函数的对称性的应用，属于中档题.

三、解答题

17．函数的定义域为，函数．

(1)求的值；

(2)若在上为严格增函数，解关于的不等式．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用定义域与不等式的关系，结合根与系数的关系进行求解；

（2）先利用单调性求出，再利用指数函数的单调性进行求解.

【详解】（1）由题意得，即的定义域为，

则，所以；

（2）因为函数在上递增，则，所以，

原不等式等价于，解得或，

综上，关于的不等式的解集为．

18．设函数部分图像如图所示．

(1)求；

(2)求函数的单调递减区间．

【答案】(1)，，

(2)．

【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；

（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.

【详解】（1）由题意得，则周期为，

则，

所以，

将代入得，所以，即，

由可得，则；

（2），

令，

得，

令，则，

因为，

所以单调递减区间为．

19．如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．

（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；

（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？

【答案】（1）（千米）；（2）（万元）.

【解析】（1）根据P位于弧的中点，则P位于的角平分线上，然后分别在正中求解.

（2）设，，然后分别在表示 ，，在中由余弦定理表，再由求解.

【详解】（1）由P位于弧的中点，在P位于的角平分线上，

则，

，

由，且，

∴为等边三角形，则，

三条街道的总长（千米） ；

（2）设，，

则，

，

，

，

由余弦定理可知：

，

，

则|，

设三条街道每年能产生的经济总效益W，

，

，

，

，

，，

当时，W取最大值，最大值为（万元）．

【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：

（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

20．已知函数，（其中．

(1)求函数的最大值；

(2)若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)1；

(2)．

【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；

（2）根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.

【详解】（1）

，

所以函数的最大值为；

（2）若对任意，函数与直线有且仅有

两个不同的交点，则的周期为，

又由，得，得．

，

，所以且，

又，，则，

所以，即的取值范围是．

21．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)在中，角所对应的边分别为，若，且，求的值；

(3)设函数，记最大值为最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围．

【答案】(1)最小正周期为；

(2)的值为2；

(3)．

【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，求出周期作答.

（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.

（3）利用（1）中函数求出，换元并结合单调性求出的最值，再利用对数函数性质求解作答.

【详解】（1）依题意，，

所以函数的最小正周期为.

（2）因为，由（1）知，

，解得，

在中，由余弦定理得，即，而

解得，

所以的值为2.

（3）由（1）（2）知，，，，

则，

令，则，

因此，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，

因此在上，函数单调递增，单调递增，则，

因为，即有，解得，

函数，即在定义域内不存在零点，

显然，即，，函数的定义域为，

于是原问题转化为函数在上无零点，

即的最大值小于1恒成立，显然当时，，有，解得，

所以实数的取值范围为．

【点睛】结论点睛：函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数.