2021-2022学年江苏省南京市人民中学高一下学期7月第一阶段学情监测数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省南京市人民中学高一下学期7月第一阶段学情监测数学试题

一、单选题

1．下列表示中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空集的概念，元素与集合的关系即可逐项判断.

【详解】表示一个集合，但集合中元素个数为零，表示只有一个元素“0”的集合，

故正确的应该是空集是集合的子集.

故选：C.

2．已知全集，，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：，.故选B．

【解析】集合的运算．

3．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（    ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】A

【分析】利用方程根的判别式可得，结合勾股定理的逆定理即可.

【详解】因为方程有两个相等的实数根，

所以，即，

所以

所以

所以是直角三角形.

故选：A

4．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.

【解析】1、一元二次不等式；2、集合的运算.

5．与对数式且相对应的指数式是.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直接根据对数定义得到答案.

【详解】与对数式且相对应的指数式是：

故选：

【点睛】本题考查了对数的定义，属于简单题.

6．下列说法中错误的是（    ）

A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式

C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数

【答案】B

【分析】根据对数的性质、定义、常用对数的定义、自然对数的定义进行判断即可.

【详解】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，

故选：B

7．如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“交集”，则应该放在

A．“集合的概念”的下位

B．“集合的表示”的下位

C．“基本关系”的下位

D．“基本运算”的下位

【答案】D

【详解】因为集合的基本运算系包含了“交集”这一关系，故选D.

【解析】知识结构图.

二、填空题

8．满足的集合的个数为____________个.

【答案】4

【解析】根据子集的定义即可得到集合的个数；

【详解】，

或或或，

故答案为：4.

【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.

9．定义有限数集中的最大元素与最小元素之差为的“长度”，如：集合的“长度”为3，集合的“长度”为0.已知集合，则的所有非空子集的“长度”之和为_________.

【答案】201

【分析】根据集合“长度”的定义，可将集合的非空子集分六类，分别计算可求出答案.

【详解】集合有6个元素,非空子集有个，

①集合“长度”为0的子集有：；

②集合“长度”为1的子集有：；

③集合“长度”为2的子集有：；

④集合“长度”为3的子集有：；

⑤集合“长度”为4的子集有：；

⑥集合“长度”为5的子集有：,,,,,,,,,,.

的所有非空子集的“长度”之和为.

故答案为：201.

【点睛】本题考查新定义，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行计算、推理、迁移，新定义问题要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过思考，合理进行思想方法的迁移.

10．α，β是一元二次方程的两根，则______.

【答案】28

【分析】将α代入方程，表示出，再结合韦达定理即可求解．

【详解】由题可知，，且，

∴．

故答案为：28．

11．已知不等式的解集是，则不等式的解集是_______________．

【答案】

【分析】由不等式的解集是，能够推导出m=﹣9，n=﹣20，由此能求出不等式的解集．

【详解】∵不等式的解集是，

∴4和5是方程 =0的两个实数根，

∴，解得m=﹣9，n=﹣20，

∴不等即为：20x2+9x+1＜0，

解方程20x2+9x+1=0，得x1=，x2=，

∴不等式的解集为．

故答案为

【点睛】（1）二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．

（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．

12．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

【答案】充分不必要条件

【分析】首先解出的等价条件，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判定即可．

【详解】由或，

当时，成立，则“”是“”的充分条件；

当时，不一定成立，则“”是“”的不必要条件；

故“”是“”的充分不必要条件．

【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题．

13．定义某种运算， 的运算原理如右图；则式子__

【答案】14

【详解】试题分析：由于，故，，故，故结果是14.

【解析】新定义在程序框图的应用.

14．对数的运算性质：如果，那么_____________； _____________；_____________.

【答案】              

【分析】直接根据对数的运算性质填写答案即可；

【详解】解：，，

故答案为：；；

15．已知函数f(x)与g(x)分别由如表给出，那么g(f(2))=______.

【答案】4

【分析】根据表格先求f(2)再求g(f(2))即可．

【详解】由第一个表格可知f(2)=3，

故由第二个表格可知g(f(2))=g(3)=4．

故答案为：4．

三、解答题

16．用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于且小于的整数组成的集合；

(2)方程的实数根组成的集合；

(3)小于的质数组成的集合.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）大于 且小于的整数包括0，1，2，3，4，用列举法表示出即可得出答案.

（2）方程的实数根为－3，3，用列举法表示出即可得出答案.

（3）小于的质数有2，3，5，7，用列举法表示出即可得出答案.

【详解】（1）大于 且小于的整数包括0，1，2，3，4，

∴．

（2）方程的实数根为－3，3，

∴．

（3）小于的质数有2，3，5，7，

∴

17．计算：

（1）因式分解：

（2）解不等式：

【答案】（1）;（2）

【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解；

（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，即可得答案；

【详解】（1）原式；

（2）且，

，

不等式的解集为.

18．关于的一元二次方程有一个根是，求该一元二次方程的另一个根及的值．

【答案】该一元二次方程的另一个根是－4，的值为10.

【分析】把x＝代入已知方程可以求得的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．

【详解】设方程的另一个根为.

依题意得，解得

又，所以.

故该一元二次方程的另一个根是－4，的值为10.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

19．已知函数．

（1）将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出的图象；

（2）根据图象直接写出的单调增区间．

（3）当k为何值时，方程恰有两个解？

【答案】（1），图象见解析；（2）和；（3）或.

【分析】（1）将和1比较去绝对值可得解析式，由二次函数的图象可得结果；

（2）直接根据图象即可得单调增区间；

（3）计算出的值，结合图象即可得结果.

【详解】（1）当时，，

当，，

所以

其图象如下所示：

（2）观察图可得函数的单调增区间为和.

（3）方程恰有两个解，即和的图象有两个交点，

由于，

故当或时，方程恰有两个解.

20．某城市实行生活垃圾分类，将垃圾分为可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，其中可回收垃圾和厨余垃圾都有利用价值．某垃圾中转站一天处理了200吨垃圾，经统计，各类垃圾的重量如下表所示：

（I）分别估计该城市的生活垃圾中有害垃圾、有利用价值的垃圾的比例；

（Ⅱ）根据核算，各类垃圾的处理费用和经济效益的数据如下表所示：

已知该城市一天产生的生活垃圾约2000吨，在实行生活垃圾分类以前，所有的垃圾都按照“其他垃圾”的方式进行处理，请你估计该城市实行生活垃圾分类以后，每天垃圾处理的综合成本（处理费用-经济效益）能节省多少．

【答案】（I）有害垃圾的比例为；有利用价值的垃圾的比例为；（Ⅱ）元.

【分析】（I）根据表格中数据，由题意，可直接得出结果；

（Ⅱ）根据表格分别求出分类前后的成本，进而可求出结果.

【详解】（I）由题意可得：有害垃圾的比例为；

有利用价值的垃圾的比例为；

（Ⅱ）由题意，实行生活垃圾分类以前，每天处理垃圾的综合成本为元；

实行生活垃圾分类后，吨垃圾中包含可回收垃圾吨，厨余垃圾吨，有害垃圾吨，其他垃圾吨；

综合成本为元，

因此每天处理垃圾的综合成本能节省元.