河北省衡水中学2017-2018学年高三（上）第一次调研文科数学试卷（有解析）

这是一份河北省衡水中学2017-2018学年高三（上）第一次调研文科数学试卷（有解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年河北省衡水中学高三（上）第一次调研数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数y=的定义域为M，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}
2．如果复数z=（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1或2 B．1 C．2 D．不存在
3．已知f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[4，8） C．（4，8） D．（1，8）
4．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足=0，则其外接圆的表面积为（　　）

A． B． C．4π D．π
5．已知幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x是定义域为R的偶函数，则实数t的值为（　　）
A．1或2 B．﹣1或1 C．0或2 D．0或1
6．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
7．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（　　）

A．7 B．9 C．11 D．13
8．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
9．如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=，=，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（　　）

A． B． C． D．
10．已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（　　）
A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称
12．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．已知集合A=，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是　 　．
14．已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则|f（）|=　 　．
15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）+f（1+x）=2，且当x＞1时，f（x）=，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是　 　．
16．己知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，对一切n∈N*，都有=bn，则数列{bn}的通项公式为　 　．
　
三、解答题：本大题共5小题，满分58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分
17．（10分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．
（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．
18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

19．（12分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，
（1）求数列 {an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和sn．
20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2，g（x）=（a∈R）．
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值；
（2）求g（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）已知函数g（x）的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=（ax﹣1）ex，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）当m＞n＞0时，证明：men+n＜nem+m．
　
（二）选做题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线l：θ=α（ρ＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．
　
[选修4-5不等式选讲]
23．设a，b为正实数，且+=2．
（Ⅰ）求a2+b2的最小值；
（Ⅱ）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．
　

2017-2018学年河北省衡水中学高三（上）第一次调研数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数y=的定义域为M，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}
【分析】如图所示阴影部分所表示的集合为：CUM∩N，由函数y=的定义域为M，知M={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，再由N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|1＜x＜3}，能求出如图所示阴影部分所表示的集合．
【解答】解：∵函数y=的定义域为M，
∴M={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，
N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜3}，
∴如图所示阴影部分所表示的集合为：
CUM∩N={x|﹣2≤x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|x|1＜x≤2}．
故选C．

【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意Venn图的灵活运用．
　
2．如果复数z=（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1或2 B．1 C．2 D．不存在
【分析】由已知条件可得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案．
【解答】解：∵复数z=（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i为纯虚数，
∴，解得a=2．
则实数a的值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．
　
3．已知f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[4，8） C．（4，8） D．（1，8）
【分析】由题意逐段考查函数的单调性，结合函数在x=1处的性质即可求得最终结果．
【解答】解：逐段考查所给的函数：
指数函数的单调递增，则：a＞1，
一次函数单调递增，则：，
且当x=1时应有：，解得：a≥4，
综上可得，实数a的取值范围是[4，8）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
　
4．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足=0，则其外接圆的表面积为（　　）

A． B． C．4π D．π
【分析】由题意知三棱锥是正三棱锥，底面是边长为1的正三角形，求出底面外接圆的半径，再求外接球的半径和表面积．
【解答】解：由题意知，三棱锥是正三棱锥，且底面是边长为1的正三角形，
其外接圆的半径为，棱锥的高为1，
∴外接球的半径为R==，
∴外接球的表面积为4πR2=4π•=．
故选：A．
【点评】本题考查了空间图形的三视图以及外接球的表面积计算问题，是基础题．
　
5．已知幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x是定义域为R的偶函数，则实数t的值为（　　）
A．1或2 B．﹣1或1 C．0或2 D．0或1
【分析】根据幂函数的定义、图象与性质，列方程即可求出t的值．
【解答】解：幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x是定义域为R的偶函数，
∴t3﹣t+1=1，
解得t=0或t=±1；
当t=0时，=，此时f（x）=，不满足题意；
当t=1时，=，此时f（x）=，满足题意；
当t=﹣1时，=，此时f（x）=，满足题意；
综上，实数t的值为﹣1或1．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题．
　
6．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．
【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx
∴a∈（﹣1，0），即a＜0；
又y=为减函数，
∴b=＞==1，即b＞1；
又c=elnx=x∈（e﹣1，1），
∴b＞c＞a．
故选B．
【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．
　
7．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（　　）

A．7 B．9 C．11 D．13
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：由题意，模拟执行程序框图，可得
S=0，k=1
满足条件S＞﹣1，S=lg，k=3
满足条件S＞﹣1，S=lg+lg，k=5
满足条件S＞﹣1，S=lg+lg+lg，k=7
满足条件S＞﹣1，S=lg+lg+lg+lg，k=9
满足条件S＞﹣1，S=lg+lg+lg+lg+lg=lg（××××）=lg=﹣lg11，k=11
不满足条件S＞﹣1，退出循环，输出k的值为11．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
　
8．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+y，得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大为6．即x+y=6．经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．
由得，即A（3，3），
∵直线y=k过A，
∴k=3．
由，解得，即B（﹣6，3）．
此时z的最小值为z=﹣6+3=﹣3，
故选：A．

【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
　
9．如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=，=，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】=，=，∴=λ=λ（=，三点M，N，P共线．，即可求得λ．
【解答】解：∵=，=，∴=λ=λ（
=，
∵三点M，N，P共线．∴，则λ=．
故选：D．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．
　
10．已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．
【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象
关于点M（1，0）对称．
由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象
关于直线x=﹣1对称．
又f（x）在[﹣1，1]上表达式为
f（x）=，
可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象，
数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6，
故选：B．

【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
　
11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（　　）
A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称
【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，
∴T==π，解得ω=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），
若此时函数关于原点对称，
则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴当k=﹣1时，φ=．
即f（x）=sin（2x）．
由2x=，
解得x=+，k∈Z，
故当k=0时，函数的对称轴为x=，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．
　
12．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k过点（2，1）之间即可．
【解答】解：∵函数，∴函数的图象如下图所示：
∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点
若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点
当y=kx+k过（2，1）点时，k=，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，
故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是
故选D
【点评】本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法分析函数图象交点与k的关系是解题的关键．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．已知集合A=，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是　（0，+∞）∪（﹣∞，﹣）　．
【分析】集合A表示圆心为（﹣1，0），半径为r=1的上半圆，由A∩B=∅，得到直线y=x﹣m与半圆y=没有交点，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：集合A=，
∴集合A表示圆心为（﹣1，0），半径为r=1的上半圆，
∵A∩B=∅，
∴直线y=x﹣m与半圆y=没有交点，
∴圆心到直线的距离d=＞1且m＜0或m＞0，
∴m＜﹣﹣1或m＞0．
∴实数m的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣）．
故答案为：（0，+∞）∪（﹣∞，﹣）．

【点评】本题考查交集的求法及应用，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意集合思想、圆的性质的合理运用．
　
14．已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则|f（）|=　2　．
【分析】由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故|f（）|=2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
　
15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）+f（1+x）=2，且当x＞1时，f（x）=，则曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是　x+y=0　．
【分析】求出x＜1时函数的解析式，再求出切线斜率，即可求出切线方程．
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）+f（1+x）=2，
∴函数f（x）关于（1，1）对称，
x＜1时，取点（x，y），关于（1，1）的对称点（2﹣x，2﹣y）代入当x＞1时，f（x）=，可得2﹣y=，
∴y=2﹣，
∴y′=，
x=0时，y′=﹣1，y=0，
∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程是y﹣0=﹣（x﹣0），即x+y=0，
故答案为：x+y=0．
【点评】本题考查函数解析式的求解，考查导数的几何意义，求出函数的解析式是关键．
　
16．己知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，对一切n∈N*，都有=bn，则数列{bn}的通项公式为　bn=1　．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，化简an+3an+1=q（an+2）2，从而可得an+3a3n+1=（an+2）3an，从而化简可得and=0，从而求得．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵=bn，∴=bn+1，
∴=q，∴an+2an=q（an+1）2，
∴an+3an+1=q（an+2）2，
∴=，
即an+3a3n+1=（an+2）3an，
即（an+3d）（an+d）3=（an+2d）3an，
化简可得，and=0，
∵an≠0，∴d=0，
故数列{an}是常数列，
故bn==1，
故答案为：bn=1．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想与转化思想的应用，属于基础题．
　
三、解答题：本大题共5小题，满分58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分
17．（10分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．
（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．
【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．
（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴当时，f（x）取得最小值2．
（2）∵f（A）=4，∴，
又∵BC=3，∴，
∴9=（b+c）2﹣bc．，
∴，
∴，当且仅当b=c取等号，
∴三角形周长最大值为．
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．
　
18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PH=3，AD=，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

【分析】（I）取PA中点G，连结DG，FG．则FGDF，故四边形EFDG是平行四边形，于是DG∥EF，将问题转化为证明DG⊥平面PAB即可；
（II）由AB⊥平面PAB得AB⊥AD，AB⊥PH，故而PH⊥平面ABCD，AD⊥CD，于是E到底面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】证明：（I）取PA中点G，连结DG，FG．
∵E，G是PB，PA的中点，
∴FG，
又∵DF，
∴FGDF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴DG∥EF．
∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，
∴AB⊥DG，
∵AD=PD，G是PA的中点，
∴DG⊥PA，
又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
∴DG⊥平面PAB，∵DG∥EF，
∴EF⊥平面PAB．
解：（II）∵AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥PH，AB⊥AD，
又AB∥CD，PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，S△BCF==．
∵E是PB的中点，
∴E到平面ABCD的距离h==．
∴VE﹣BFC=S△BCF•h==．

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．
　
19．（12分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，
（1）求数列 {an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和sn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，a1+a2+a3=12，可得3×2+3d=12，解得d即可得出．
（2）bn=2n•3n，利用错位相减法即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，a1+a2+a3=12，
∴3×2+3d=12，解得d=2．
∴an=2+2（n﹣1）=2n．
（2）bn=2n•3n．
∴数列{bn}的前n项和sn=2[3+2×32+3×33+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n]，
3Sn=2[32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1]，
相减可得：﹣2sn=2（3+32+…+3n）﹣2n•3n+1=2×﹣2n•3n+1，
可得Sn=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
20．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2，g（x）=（a∈R）．
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值；
（2）求g（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）已知函数g（x）的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求实数a的取值范围．
【分析】（1）：f（x）=﹣x3+x2，求导函数，确定函数的单调性，计算函数值，从而可得函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；
（2）：分类求出函数g（x）的最大值；
（3）：设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（﹣x1，f（﹣x1）），根据OP⊥OQ，可得•=﹣1，分类讨论，确定函数的解析式，利用•=﹣1，即可求得结论
【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+x2，
∴f′（x）=﹣3x2+2x，
令f′（x）=0有﹣3x2+2x=0，∴x=0或x=，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜；令f′（x）＜0，
∵﹣1≤x≤1，∴﹣1≤x＜0或＜x≤1
∴函数在﹣1，0，，1出取得最值，
∵f（﹣1）=2，f（0）=0，f（）=，f（1）=0，
∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为2；
（2）由（1）可得当﹣1≤x≤1时，f（x）max=2，
当1＜x≤e时，g（x）=alnx，
当a＜0时，g（x）单调递减，g（x）max=aln1=0，
当a=0时，g（x）=0，
当a＞0时，g（x）单调递增，g（x）max=alne=a，
综上所述，当a≤2时，g（x）max=2，
当a＞2时，g（x）max=a，
（3）设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（﹣x1，f（﹣x1）），
∵OP⊥OQ，∴•=﹣1
①当x1=1时，f（x1）=0；当x1=﹣1时，f（﹣x1）=0，∴•≠﹣1；
②当﹣1＜x1＜1时，f（x1）=﹣x13+x12，f（﹣x1）=x13+x12，代入•=﹣1，可得（﹣x13+x12）（x13+x12）=x12，
∴x14﹣x13+1=0，无解；
③当x1＞1时，f（x1）=alnx1，f（﹣x1）=x13+x12，代入•=﹣1，可得=（x1+1）lnx1；
设g（x1）=（x1+1）lnx1（x1＞1），∴g′（x1）=lnx1+＞0，∴g（x1）是增函数
∵g（1）=0，∴g（x1）值域是（0，+∞）
∴对任意给定的正实数a，=（x1+1）lnx1；恒有解，满足条件
④由P，Q横坐标的对称性可得，当x1＜﹣1时，f（x1）=﹣x13+x12，f（﹣x1）=aln（﹣x1），
代入•=﹣1，可得=（﹣x1+1）ln（﹣x1）；
设h（x1）=（﹣x1+1）ln（﹣x1）（x1＜﹣1），∴h′（x1）=﹣ln（﹣x1）﹣＜0，∴h（x1）是减函数
∵h（﹣1）=0，∴h（x1）值域是（0，+∞）
∴对任意给定的正实数a，得=（﹣x1+1）ln（﹣x1）恒有解，满足条件
综上所述，点a的横坐标的取值范围（0，+∞）．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．
　
21．（12分）已知函数f（x）=（ax﹣1）ex，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）当m＞n＞0时，证明：men+n＜nem+m．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明，（*）设，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且f'（x）=（ax+a﹣1）ex，
①当a=0时，f'（x）=﹣ex＜0，此时f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．
②当a＞0时，由f'（x）＞0，得；
由f'（x）＜0，得．
此时f（x）的单调减区间为，单调增区间为．
③当a＜0时，由f'（x）＞0，得；
由f'（x）＜0，得．
此时f（x）的单调减区间为，单调增区间为．
（2）证明：当m＞n＞0时，要证：men+n＜nem+m，
只要证：m（en﹣1）＜n（em﹣1），即证：，（*）
设，则，
设h（x）=（x﹣1）ex+1，
由（1）知h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
于是g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以当m＞n＞0时，（*）式成立，
故当m＞n＞0时，men+n＜nem+n．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
　
（二）选做题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线l：θ=α（ρ＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）由曲线C1普通方程为x+y=6可得曲线C1的极坐标方程；先将曲线C2化为x2+y2﹣2y=0，进而可得曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），0＜α＜，则ρ1=，ρ2=2sinα，可得=sinα（cosα+sinα），进而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：，普通方程为x+y=6，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=6；
曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，∴ρ=2sinθ；
（Ⅱ）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），0＜α＜，
则ρ1=，ρ2=2sinα，…（6分）
=sinα（cosα+sinα）
=（sin2α+1﹣cos2α）=[sin（2α﹣）+1]，…（8分）
当α=时，取得最大值（+1）．…（10分）
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的极坐标方程，圆的参数方程，三角函数的最值，难度中档．
　
[选修4-5不等式选讲]
23．设a，b为正实数，且+=2．
（Ⅰ）求a2+b2的最小值；
（Ⅱ）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．
【分析】（Ⅰ）由2=+≥2得ab≥进而得到a2+b2的最小值是1；
（Ⅱ）由由（a﹣b）2≥4（ab）3得（﹣）2≥4ab从而ab+≤2，又ab+≥2，即可求解ab的值．
【解答】解：（Ⅰ）由2=+≥2得ab≥，当a=b=时取等号．
故a2+b2≥2ab≥1，
所以a2+b2的最小值是1，当且仅当a=b=取得最小值．
（Ⅱ）由（a﹣b）2≥4（ab）3得（﹣）2≥4ab．
即（+）2﹣≥4ab，从而ab+≤2．
又ab+≥2，当ab=1时取等号．
【点评】本题考查了基本不等式，考查了运用基本不等式求函数的最值，运用基本不等式求函数最值时，要保证：“一正、二定、三相等”，此题是基础题