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河北省衡水中学2017届高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）
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这是一份河北省衡水中学2017届高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．抛物线y=3x2的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（ ）
A． B． C． D．
5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（ ）
A． B． C．k≥2 D．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（ ）
A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣303
7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．函数f（x）=的图象可能是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）
A．12π B．24π C．36π D．48π
12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（ ）
A．（﹣2）： B．2： C．1：2 D．：（1+）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m= ．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是 ．
15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是 ．
16．已知函数f（x）=|ex+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．
（1）求an，bn；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
18．设f（x）=4sin（2x﹣）+．
（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．
19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（2）求该组合体QPABCD的体积．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△OAB面积的最大值．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，
则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．
故选：B．
2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．
【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
故选：B．
3．抛物线y=3x2的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．
【解答】解：化为标准方程为x，
∴2p=，
∴=，
∴焦点坐标是 （0，）．
故选D
4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），
则=（﹣1+2m，4），2=（﹣2﹣m，3），
若向量与2平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），
解可得m=﹣；
故选：B．
5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（ ）
A． B． C．k≥2 D．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx﹣y﹣3=0的距离d=，
即，
∴k2+1≥9，
即k2≥8，
∴k或k，
∴圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是k，
故选：B．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（ ）
A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣303
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S101．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，且a2016+a2017=0，
∴，解得a1=3，q=﹣1，
∴a101==3×（﹣1）100=3．
故选：A．
7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos，n=1不满足输出的条件，则n=2，S=cos•cos；
当n=2，S=cos•cos时，不满足输出的条件，则n=3，S=cos•cos•cos；
当n=3，S=cos•cos•cos时，满足输出的条件，
故S=cos•cos•cos
=sin•cos•cos•cos÷sin
=sin•cos•cos÷sin
=sin•cos÷sin
=sin÷sin
=
故选：B
8．函数f（x）=的图象可能是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【考点】函数的图象．
【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．
【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；
∴f′（x）=，
当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±
故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；
取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，
当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确
函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），
故选：C
9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．
【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．
【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，
则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，
如图所示：
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，
∴EF=HG=PC=2且EF∥HG∥PC，
EH=FG=BD=2且EH∥FG∥BD，
故四边形EFGH为矩形，面积是4，
△EIH中，EI=HI=，故EH上的高IJ=，
故△EIH的面积为，
即平面EFGHI的面积为5，
故选：C．
10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF1|、|PF2|用a，c表示，再由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，
∵以PF1为直径的圆经过F2，
∴PF2⊥F1F2，又tan∠PF1F2=，
∴，则，
由|PF1|+|PF2|=2a，得|PF1|=，
在Rt△PF2F1中，得，
即，
解得：或（舍）．
∴椭圆E的离心率为．
故选：D．
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）
A．12π B．24π C．36π D．48π
【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．
【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．
【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，
且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，
∴得AG==a，所以正方体棱长a=2
∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，
即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．
故选A．
12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（ ）
A．（﹣2）： B．2： C．1：2 D．：（1+）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，﹣2），
∴抛物线的准线方程为l：x=1，直线AF的斜率为k=2，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，
∴，可得|PN|=2|PM|，
得|MN|=|PM|，
而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，
∴|MN|：|FN|=：（1+），
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m= ﹣2 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据直线的平行关系得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，
l2：2x+（m﹣2）y+2=0，
m=2时，l1：3x+2y+2=0，l2：x+1=0，不合题意，
m≠2时，若直线l1∥l2，则=≠，
即（m+1）（m﹣2）=4，
解得：m=3（舍）或m=﹣2，
故答案为：﹣2．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用三角形内角和定理可求A，C，进而利用正弦定理可求a，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：已知等式（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，
利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=，则B=60°．
∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，
∴a===12，
∴S△ABC=acsinB==．
故答案为：．
15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是 （3，5） ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，
当经过点B时，对应的平面区域是三角形，
由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，
∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，
故答案为：（3，5）
16．已知函数f（x）=|ex+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是 a∈[﹣1，1] ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．
【解答】当a＞0时，f（x）=|ex+|=ex+，
则函数的导数f′（x）=ex﹣=，且f（x）＞0恒成立，
由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，
若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，
解得0＜a≤1，即a∈（0，1]
当a=0时，f（x）=|ex+|=ex在区间[0，1]上单调递增，满足条件．
当a＜0时，y=ex+在R单调递增，
令y=ex+=0，则x=ln，
则f（x）=|ex+|在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数
则ln≤0，解得a≥﹣1
综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]
故答案为：a∈[﹣1，1]
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．
（1）求an，bn；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．
【分析】（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和
【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3
当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1
而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，
故an=4n﹣1，
又∵an=4log2bn+3=4n﹣1
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n
∴
=（4n﹣1）•2n
=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5
18．设f（x）=4sin（2x﹣）+．
（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用三角函数的单调性与值域即可得出．
（2）利用坐标变换得到的图象．可得．再利用三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）f（x）=4sin（2x﹣）+．
sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值4+；sin（2x﹣）=﹣1时，函数f（x）取得最小值4﹣．
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象．
∴．
由．
∴g（x）的单调减区间是．
19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（2）求该组合体QPABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面QBC．
（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，该组合体的体积V=VB﹣PADQ+VQ﹣BCD．由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵OD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，又∵BC⊂平面QBC，
∴平面PAB⊥平面QBC．
解：（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，
∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，
∴PA⊥BO，
又BO⊥AD，AD⊂平面PADQ，PA⊂平面PADQ，PA∩AD=A，
∴BO⊥平面PADQ，
∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．
∴．
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，
∴，∴．
∵QD⊥平面ABCD，∴．
∴该组合体的体积．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△OAB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，
∴椭圆E的方程为+y2=1；
（2）依题意设直线l的方程为x=my﹣1，
联立椭圆方程，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，
S△AOB=|y1﹣y2|=，
设m2+3=t（t≥3），则S△AOB=，
∵t≥3，∴0＜≤，
∴当=，即t=3时，△OAB面积取得最大值为，此时m=0．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a的取值范围，
（2）当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，转化为lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣x，利用导数求出函数最值，得到ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，其定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣2a2x+a==．
①当a=0时，f′（x）=＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．
②当a＞0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x＞．
此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．
依题意，得解之，得a≥1．
③当a＜0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x＞﹣．
此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．
依题意，得解之，得a≤﹣．
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．
（2）∵g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，
∴f（x）﹣g（x）=lnx﹣（2a+1）x+ax2＜0，
即lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，
设h（x）=lnx﹣x，
则h′（x）=﹣1＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）为减函数，
∴h（x）＜h（1）=﹣1，
∴ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，
设φ（x）=ax2﹣2ax﹣1
当a=0时，﹣1＜0，符合题意，
当a＞0时，显然不满足题意，
当a＜0，由于对称轴x=1，则φ（1）＜0，即a﹣2a﹣1＜0，解得﹣1＜a＜0，
综上所述，a的取值范围为（﹣1，0]．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．
（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．
【解答】解 （1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…
由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…
（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…
直线l的直角坐标方程为y=x+…
所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，
（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）
当，∴x＜﹣5
当，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2
综上所述 {x|x＞1或x＜﹣5}．
（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，
则只需，
综上所述．
2017年2月6日
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．抛物线y=3x2的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（ ）
A． B． C． D．
5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（ ）
A． B． C．k≥2 D．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（ ）
A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣303
7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．函数f（x）=的图象可能是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）
A．12π B．24π C．36π D．48π
12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（ ）
A．（﹣2）： B．2： C．1：2 D．：（1+）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m= ．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是 ．
15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是 ．
16．已知函数f（x）=|ex+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．
（1）求an，bn；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
18．设f（x）=4sin（2x﹣）+．
（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．
19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（2）求该组合体QPABCD的体积．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△OAB面积的最大值．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，
则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．
故选：B．
2．设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．
【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
故选：B．
3．抛物线y=3x2的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．
【解答】解：化为标准方程为x，
∴2p=，
∴=，
∴焦点坐标是 （0，）．
故选D
4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量与2平行，则m=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），
则=（﹣1+2m，4），2=（﹣2﹣m，3），
若向量与2平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），
解可得m=﹣；
故选：B．
5．圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是（ ）
A． B． C．k≥2 D．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx﹣y﹣3=0的距离d=，
即，
∴k2+1≥9，
即k2≥8，
∴k或k，
∴圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是k，
故选：B．
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=3，且a2016+a2017=0，则S101等于（ ）
A．3 B．303 C．﹣3 D．﹣303
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S101．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，且a2016+a2017=0，
∴，解得a1=3，q=﹣1，
∴a101==3×（﹣1）100=3．
故选：A．
7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos，n=1不满足输出的条件，则n=2，S=cos•cos；
当n=2，S=cos•cos时，不满足输出的条件，则n=3，S=cos•cos•cos；
当n=3，S=cos•cos•cos时，满足输出的条件，
故S=cos•cos•cos
=sin•cos•cos•cos÷sin
=sin•cos•cos÷sin
=sin•cos÷sin
=sin÷sin
=
故选：B
8．函数f（x）=的图象可能是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【考点】函数的图象．
【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．
【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；
∴f′（x）=，
当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±
故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；
取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，
当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确
函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），
故选：C
9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．
【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．
【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，
则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，
如图所示：
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，
∴EF=HG=PC=2且EF∥HG∥PC，
EH=FG=BD=2且EH∥FG∥BD，
故四边形EFGH为矩形，面积是4，
△EIH中，EI=HI=，故EH上的高IJ=，
故△EIH的面积为，
即平面EFGHI的面积为5，
故选：C．
10．设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2=，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF1|、|PF2|用a，c表示，再由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，
∵以PF1为直径的圆经过F2，
∴PF2⊥F1F2，又tan∠PF1F2=，
∴，则，
由|PF1|+|PF2|=2a，得|PF1|=，
在Rt△PF2F1中，得，
即，
解得：或（舍）．
∴椭圆E的离心率为．
故选：D．
11．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）
A．12π B．24π C．36π D．48π
【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．
【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．
【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，
且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，
∴得AG==a，所以正方体棱长a=2
∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，
即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．
故选A．
12．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，定点A（0，﹣2），若射线FA与抛物线C交于点M，与抛物线C的准线交于点N，则|MN|：|FN|的值是（ ）
A．（﹣2）： B．2： C．1：2 D．：（1+）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，﹣2），
∴抛物线的准线方程为l：x=1，直线AF的斜率为k=2，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，
∴，可得|PN|=2|PM|，
得|MN|=|PM|，
而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，
∴|MN|：|FN|=：（1+），
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，若直线l1∥l2，则m= ﹣2 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据直线的平行关系得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，
l2：2x+（m﹣2）y+2=0，
m=2时，l1：3x+2y+2=0，l2：x+1=0，不合题意，
m≠2时，若直线l1∥l2，则=≠，
即（m+1）（m﹣2）=4，
解得：m=3（舍）或m=﹣2，
故答案为：﹣2．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A=3C，c=6，（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，则△ABC的面积是 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用三角形内角和定理可求A，C，进而利用正弦定理可求a，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：已知等式（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，
利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=，则B=60°．
∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，
∴a===12，
∴S△ABC=acsinB==．
故答案为：．
15．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是 （3，5） ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，
当经过点B时，对应的平面区域是三角形，
由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，
∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，
故答案为：（3，5）
16．已知函数f（x）=|ex+|，（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是 a∈[﹣1，1] ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．
【解答】当a＞0时，f（x）=|ex+|=ex+，
则函数的导数f′（x）=ex﹣=，且f（x）＞0恒成立，
由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，
若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，
解得0＜a≤1，即a∈（0，1]
当a=0时，f（x）=|ex+|=ex在区间[0，1]上单调递增，满足条件．
当a＜0时，y=ex+在R单调递增，
令y=ex+=0，则x=ln，
则f（x）=|ex+|在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数
则ln≤0，解得a≥﹣1
综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]
故答案为：a∈[﹣1，1]
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．
（1）求an，bn；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．
【分析】（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和
【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3
当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1
而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，
故an=4n﹣1，
又∵an=4log2bn+3=4n﹣1
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n
∴
=（4n﹣1）•2n
=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5
18．设f（x）=4sin（2x﹣）+．
（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用三角函数的单调性与值域即可得出．
（2）利用坐标变换得到的图象．可得．再利用三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）f（x）=4sin（2x﹣）+．
sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值4+；sin（2x﹣）=﹣1时，函数f（x）取得最小值4﹣．
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象．
∴．
由．
∴g（x）的单调减区间是．
19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（2）求该组合体QPABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面QBC．
（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，该组合体的体积V=VB﹣PADQ+VQ﹣BCD．由此能求出结果．
【解答】证明：（1）∵OD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，又∵BC⊂平面QBC，
∴平面PAB⊥平面QBC．
解：（2）连接BD，过B作BO⊥AD于O，
∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，
∴PA⊥BO，
又BO⊥AD，AD⊂平面PADQ，PA⊂平面PADQ，PA∩AD=A，
∴BO⊥平面PADQ，
∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．
∴．
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，
∴，∴．
∵QD⊥平面ABCD，∴．
∴该组合体的体积．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△OAB面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，
∴椭圆E的方程为+y2=1；
（2）依题意设直线l的方程为x=my﹣1，
联立椭圆方程，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，
S△AOB=|y1﹣y2|=，
设m2+3=t（t≥3），则S△AOB=，
∵t≥3，∴0＜≤，
∴当=，即t=3时，△OAB面积取得最大值为，此时m=0．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a2x2+ax，a∈R，且a≠0．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a的取值范围，
（2）当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，转化为lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣x，利用导数求出函数最值，得到ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，其定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣2a2x+a==．
①当a=0时，f′（x）=＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．
②当a＞0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x＞．
此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．
依题意，得解之，得a≥1．
③当a＜0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x＞﹣．
此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．
依题意，得解之，得a≤﹣．
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．
（2）∵g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，
∴f（x）﹣g（x）=lnx﹣（2a+1）x+ax2＜0，
即lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，
设h（x）=lnx﹣x，
则h′（x）=﹣1＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）为减函数，
∴h（x）＜h（1）=﹣1，
∴ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，
设φ（x）=ax2﹣2ax﹣1
当a=0时，﹣1＜0，符合题意，
当a＞0时，显然不满足题意，
当a＜0，由于对称轴x=1，则φ（1）＜0，即a﹣2a﹣1＜0，解得﹣1＜a＜0，
综上所述，a的取值范围为（﹣1，0]．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．
（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．
【解答】解 （1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…
由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…
（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…
直线l的直角坐标方程为y=x+…
所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，
（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）
当，∴x＜﹣5
当，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2
综上所述 {x|x＞1或x＜﹣5}．
（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，
则只需，
综上所述．
2017年2月6日
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