河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理）试题

2017-2018学年度上学期高三年级七调考试

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，全集，若，则有（  ）

A.     B.     C.     D.

2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（  ）

A. -2    B. 4    C.     D. -4

3. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（  ）

A.     B.     C. 或    D.

4. 如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（  ）

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A. 相关系数变大    B. 残差平方和变大

C. 相关指数变大    D. 解释变量与预报变量的相关性变强

5. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（  ）

A.     B.     C.     D.

6. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（  ）

A.     B.     C.     D.

7. 函数的图像大致为（  ）

A.     B.

C.     D.

8. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（  ）

A. 68    B. 17    C. 34    D. 36

9. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A.     B.     C.     D.

10. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（  ）

A. 6，3    B. 5，2    C. 4，5    D. 2，7

11. 已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A.     B.     C.     D.

12. 已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（  ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 如图，在半径为2的扇形中，，为弧上的一点，若，则的值为__________．

14. 若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为__________．

15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上）

①若，则；

②若，，，则满足条件的三角形共有两个；

③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；

④若，，的面积，则.

16. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为__________．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18. 如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，.

（1）求证：.

（2）若，，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.

（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；

（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.

20. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，且点在轴的同一侧.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 已知函数，函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，求证不等式成立.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数).

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求.

23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数，.

（1）求不等式的解集；

（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.