2023年上海市奉贤区中考数学二模试卷（含解析）

2023年上海市奉贤区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，有理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数图象中，可能是反比例函数的图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  “红色小讲解员”演讲比赛中，位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，这两组数据一定不变的是(    )

A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差

5.  正方形具有而菱形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相平分

6.  如图，矩形中，，，点在对角线上，圆经过点如果矩形有个顶点在圆内，那么圆的半径长的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  计算______．

8.  化简分式的结果为______ ．

9.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______ ．

10.  如果一个二次函数的图象顶点是原点，且它经过平移后能与的图象重合，那么这个二次函数的解析式是______ ．

11.  如果正比例函数是常数，的图象经过点，那么的值随的增大而______ 填“增大”或“减小”
 

12.  布袋里有个小球，分别标注了数字、、、，这些小球除了标注数字不同外，其它都相同从布袋里任意摸出一个球，这个球上标注数字恰好是正数的概率是______ ．

13.  图是某商场年四个季度的营业额绘制成的扇形统计图，其中二季度的营业额为万元，那么该商场全年的营业额为______ 万元．

14.  如图，在平行四边形中，为对角线，是边的中点，联结如果设，那么 ______ 含的式子表示．

15.  在中，，如果，，那么的重心到底边的距离为______ ．

16.  如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为，这两条边的夹角是，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是______ ．

17.  如图，某电信公司提供了、两种方案的移动通讯费用元与通话时间元之间的关系如果通讯费用为元，那么方案与方案的通话时间相差______ 分钟．

18.  如图，在正方形中，点、分别在边、上，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解不等式组将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．

 

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线上有一点，将点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，点恰好在直线上．
写出点的坐标，并求出直线的表达式；
如果点在轴上，且，求点的坐标．

22.  本小题分
图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点、、在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．
求该支架的边的长；
求支架的边的顶端到地面的距离结果精确到米
参考数据：，，，，，

 

23.  本小题分
已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，射线交的延长线于点．
求证：；
如果，求证：．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
求该抛物线的表达式和对称轴；
联结、，为轴上方抛物线上一点与点不重合，如果的面积与的面积相等，求点的坐标；
设点，点在抛物线的对称轴上点在顶点上方，当，且时，求点的坐标．

25.  本小题分
在梯形中，，，，，过点作对角线的垂线，垂足为，交射线于点．
如图，当点在边上时，求证：≌；
如图，如果是的中点，求：的值；
联结，如果是等腰三角形，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是无理数，故A不符合题意；
B、，是有理数，故B符合题意；
C、是无理数，故C不符合题意；
D、，是无理数，故D不符合题意；
故选：．
根据有理数和无理数的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选D．
根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．
 

3.【答案】 

【解析】解：中，，
该函数图象在第一、第三象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．
【解答】
解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，
正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：．
根据正方形的性质和菱形的性质解答即可．
本题考查了正方形和菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形中，，，
，，
矩形的对角线相等且平分，
当圆的半径长时，、、、四个点都在圆上，
当圆的半径长时，、在圆内，在圆上，点在圆外，
如果矩形有个顶点在圆内，那么圆的半径长的取值范围是，
故选：．
解直角三角形得到，，如图，当圆的半径长时，、、、四个点都在圆上，当圆的半径长时，、在圆内，在圆上，点在圆外，观察图形即可得到结论．
本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据积的乘方求出，再根据幂的乘方求出即可．
本题考查了积的乘方和幂的乘方的应用，注意：，．
 

8.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先将分式的分母分解因式，然后约分即可．
本题考查约分，解答本题的关键是明确因式分解的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式，即可求值．
此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当时，方程有两个相等的实根，当时，方程有两个不相等的实根，当时，方程无实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：先设原抛物线的解析式为，
经过平移后能与的图象重合，
，
这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：．
先设原抛物线的解析式为，再根据经过平移后能与抛物线重合可知，即可得出这个二次函数的解析式是．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变形的性质是解答此题的关键．
 

11.【答案】减小 

【解析】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：，
又，
的值随的增大而减小．
故答案为：减小．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一共有个数，其中正数是、，即有个正数，
从布袋里任意摸出一个球，这个球上标注数字恰好是正数的概率是，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：

万元，
即该商场全年的营业额为万元，
故答案为：．
根据二季度的营业额和所占的百分比，可以计算出该商场全年的营业额．
本题考查扇形统计图：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
在平行四边形中，且．
．
是边的中点，

．
故答案为：．
在中利用三角形法则求得；然后利用平行四边形对边平行且相等的性质推知；最后在中，再一次利用三角形法则求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，平面向量．解题时，需要掌握平行四边形的对边相等且平行和三角形法则．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
是等腰三角形，过点作于，
为的中线，，

三角形的重心在边的高上，
，
，，
取的中点，连接交于，则为的重心，
连接，则为的中位线，，，
∽，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在边的高上．根据勾股定理求得该高，再判断出是的中位线，即可求出答案．
本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是“准菱形”，且，，点、分别是、的中点，连接、，

在中，由勾股定理得：，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
即这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是，
故答案为：．
连接，在中，由勾股定理得，再证是的中位线，即可得出结论．
本题考查了“准菱形”的性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握“准菱形”的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当时，设方案函数表达式为，把，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
通讯费用为元，方案通话时间是分钟；
当时，设方案函数表达式为，把，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
通讯费用为元，方案通话时间是分钟；
分钟，
故答案为：．
用待定系数法分别求出函数表达式，在将代入求出对应的的值，相减即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出一次函数表达式．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
过点作于，
，
，
，，
将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在线段上，
，，，
，
，，
≌，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，
∽，
，
；
在中，，
在中，，，
．
故答案为：．
过点作于，由折叠的性质得到≌，再证明≌，根据全等三角形的性质得到，设，则，求出，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
解集表示在数轴上如下：

则其整数解是、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：将点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
则直线的表达式为：；

设点，
，则，
则点在的中垂线上，
由中点坐标公式得：，
解得：，
即点的坐标为：． 

【解析】将点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点，再用待定系数法即可求解；
由，则，则点在的中垂线上，即可求解．
本题为一次函数综合题，涉及到点的平移、中点坐标公式的运用、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
 

22.【答案】解：由题意得，，米，，，米，，
在中，，，
即米，
米，
在中，，，
即米，
答：该支架的边的长米；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
，
，
，
，
，
在中，，，
即米，
米，
米，
答：支架的边的顶端到地面的距离为米． 

【解析】由题意得，，米，，，米，，在中先求出，进而求出，在中求出即可；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中先确定，再根据求出即可．
本题考查解直角三角形坡度坡角问题、仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
，
，
，
∽，
，
由知：≌，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即． 

【解析】根据菱形的性质和可以证明和全等，即可得到，然后即可证明结论成立；
根据和相似三角形的判定和性质，可以得到，再根据中≌，可以得到，，再根据，可以得到，然后根据这两个角的正切值，可以证明结论成立．
本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为： ，
则抛物线的对称轴为；

为轴上方抛物线上一点与点不重合，的面积与的面积相等，
则，
 则点、关于抛物线的对称轴对称，
故点；

设点，过点作轴的垂线，交轴于点，交过点和轴的平行线于点，

，则，
，
，
，
∽，
，
则，
解得：，
即点的坐标为： 

【解析】将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解；
为轴上方抛物线上一点与点不重合，的面积与的面积相等，则，进而求解；
证明∽，得到，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
 

25.【答案】证明：，
，
，，
，，
，
，
≌；
解：如图，作点作交于点，

设，
．
，
是的中点，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
即，
解得，
；
解：如图，当时，

，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图，当时，

，
，
，，
，
，
，
；
如图，当时，

设与交于，，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
综上所述，如果是等腰三角形，的长为或或． 

【解析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
如图，作点作交于点，设，根据得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
如图，当时，如图，当时，如图，当时，设与交于，，根据等腰三角形的性质和平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．