2023年上海市崇明区中考数学二模试卷（含解析）

2023年上海市崇明区中考数学二模试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是小明某一天测得的次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是(    )
 

A. 测得的最高体温为 B. 前次测得的体温在下降
C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的中位数是

5.  下列命题为真命题的是(    )

A. 四边相等的四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

6.  已知在中，，，如果以为圆心为半径的和以为直径的相交，那么的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  的立方根是          ．

8.  已知，那么 ______ ．

9.  不等式组的解集是______ ．

10.  方程的根是______．

11.  如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______．

12.  已知一个反比例函数图象经过点，则该反比例函数的图象在各自的象限内，函数值随自变量的值逐渐增大而______ 填“增大”或“减小”

13.  在六张卡片上分别写有，，，，，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是______ ．

14.  为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取名学生进行分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图如图所示每组数据含最小值，不含最大值，若该校九年级共有名学生，那么一分钟跳绳次数在次的人数是______ ．

15.  正八边形的每个外角为______度．

16.  如图，在梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为______ ．

17.  如图和都是正三角形，点是的重心，则的值为______．

18.  如图，已知在两个直角顶点重合的和中，，，，，将绕着点顺时针旋转，当点恰好落在边上时，联结，那么 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程组：．

21.  本小题分
如图，已知在中，，，经过的顶点、，交边于点，，点是的中点．
求的半径长；
联结，求．

22.  本小题分
在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量瓶与甲种类型消毒剂的数量瓶之间的函数关系如图所示．
求关于的函数解析式不必写出自变量的取值范围；
该学校用元选购了甲种类型的消毒剂，用元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．

23.  本小题分
已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点．
求证：；
联结，如果，求证：平行四边形是菱形．

24.  本小题分
如图在直角坐标平面中，直线分别与轴、轴交于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移个单位，使点落在内，求的取值范围；
对称轴与直线交于点，是线段上的一个动点不与重合，过作轴的平行线交原抛物线于点，当时，求点的坐标．
 

25.  本小题分
如图，在中，，，点是边上一动点不与、重合，联结，过点作，分别交、于点、．
当时，求的正切值；
设，，求关于的函数解析式，并写出的定义域；
联结并延长，与边的延长线相交于点，若与相似，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：，所以选项符合题意；
B.，所以选项符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项符合题意；
故选：．
根据积的乘方与幂的乘方对选项进行判断；根据完全平方公式对选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对选项进行判断；根据合并同类项对选项进行判断．
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决问题的关键，完全平方公式为也考查了幂的运算和合并同类项．
 

3.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是：．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系进行分析判断．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由折线统计图可以看出这次的体温数据从第次到第次分别为、、、、、、．
A、测得的最高体温为，故A不符合题意；
B、观察可知，前次的体温在下降，故B不符合题意；
C、出现了次，次数最高，故众数为，故C不符合题意；
D、这七个数据排序为，，，，，，中位数为故D符合题意．
故选：．
根据统计图和中位数，众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、四边相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
由勾股定理得：，
设的半径为，
根据两圆相交得：
，
解答：，
故选：．
过等腰三角形的顶点作底边的垂线，根据“三线合一”得到垂足为底边的中点，得到的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，然后找两个特殊位置：一个是以点为圆心，长为半径的圆与底边相切，此时圆的半径为的长；一个是以点为圆心，长为半径的圆与边有两个交点，此时圆的半径为的长，由两特殊位置求出的圆的半径，写出满足题意的的取值范围即可．
本题考查了两圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度不算很大．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了立方根的概念．如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根，也叫做三次方根．利用立方根的定义即可求解．
【解答】
解：因为，
所以的立方根是．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：当时，．
故答案为：．
把代入函数解析式即可．
本题考查求函数值的知识点，把自变量取值代入函数解析式即可．
 

9.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程两边平方得，，
解方程得，，
经检验是原方程的增根，
所以原方程的根为．
故答案为．
先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，把它们分别代入原方程得到是原方程的增根，由此得到原方程的根为．
本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
 

12.【答案】增大 

【解析】解：设反比例函数的解析式为，
反比例函数图象过点，
，
反比例函数的图象在二、四象限，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内随的增大而增大，
故答案为：增大．
首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．
考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．
反比例函数图象的性质：
当时，反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的值逐渐增大而减小；
当时，反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，函数值随自变量的值逐渐增大而增大．
 

13.【答案】 

【解析】解：六个数中有个无理数，
从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是，
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
 

14.【答案】 

【解析】解：一分钟跳绳次数在次的人数大约为：人，
故答案为：．
用总人数乘以样本中一分钟跳绳次数在次的人数所占比例即可得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．本题用到的知识点是：频率频数总数，用样本估计整体让整体样本的百分比即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：
利用正八边形的外角和等于度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
，，
，，
．
首先根据题意画出图形，然后过点作，交于点，易得四边形是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的判定与性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
是等边三角形，
．
设，则，
，
．
和都是等边三角形，
∽，
．
故答案为：．
延长交于点，根据是等边三角形可知，设，则，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：和中，，，，，
，，，
，
，
∽，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
负根已经舍去，
．
证明∽，推出，，再证明，设，则，在中，，构建方程求出即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先算负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、分数指数幂，最后算加减．
本题考查负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、分数指数幂，掌握运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：，
由，得，
或，
由和组成方程组，，
解得：，，
所以原方程组的解是，． 

【解析】由得出，求出或，由和组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．
 

21.【答案】解：连接，，交于点，

点是的中点，
，，
在中，，
，
设的半径长为，
在中，，
，
解得：，
的半径长为；
连接，过点作，垂足为，

点是的中点，
，
，
在中，，，
，
，
，
的面积，
，
，
，
在中，，
的值为． 

【解析】连接，，交于点，根据垂径定理可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后设的半径长为，从而在中，利用勾股定理列出关于的方程进行计算，即可解答；
连接，过点作，垂足为，根据已知可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，进而利用面积法求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了垂径定理，解直角三角形，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式，
把，代入，
得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
根据题意得：，
整理得，
解得或，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：选购甲消毒液瓶，选购乙消毒液瓶． 

【解析】先设与之间的函数关系式，用待定系数法求函数解析式即可；
根据甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵元列出方程，解方程即可，注意验根．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
∽，∽．
，．
．
．
，
．
，
．
，
∽．
，即．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
，即．
平行四边形是菱形． 

【解析】由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到∽、∽，再利用相似三角形的性质得结论；
利用“两角对应相等”先说明∽，再利用等腰三角形的三线合一说明，最后利用菱形的判定方法得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：直线，当时，；
当时，则，解得，
，，
抛物线经过、两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点的坐标是．
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的对称轴为直线，
在抛物线对称轴左侧的图象上，
，
将代入，得，
解得，不符合题意，舍去，
，
如图，过点作轴于点，交于点，则，
直线，当时，，
，
点与点关于直线对称，
，
抛物线向上平移个单位，点落在内，
，解得，
的取值范围是得．
作于点，于点，
直线，当时，，
，
，
设，则，
，
当点在直线的左侧，如图，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，解得，不符合题意，舍去，
；
当点在直线的右侧，如图，
，，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，解得，不符合题意，舍去，
，
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】由直线分别与轴、轴交于、两点，求得，，再将，代入，列方程组并且解该方程组，即可求得抛物线的解析式为，再将该解析式配方成顶点式，可求得抛物线的顶点的坐标是；
抛物线的对称轴为直线，则，将代入，得，求得符合题意的值为，则，过点作轴于点，交于点，则，直线，当时，，则，由抛物线向上平移个单位，点落在内，得，即可求得的取值范围是得；
作于点，于点，可求得，则，设，则，所以，当点在直线的左侧，可证明≌，得，则，所以四边形是平行四边形，则，于是得，求得符合题意的得值为，则；当点在直线的右侧，可证明，则，所以，于是得，求得符合题意的值为，则．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

25.【答案】解：，
，
，，
，
，
，，
；
如图，作于，于则四边形是矩形．

，
，
，
，
，
，
．
如图：

当∽时，有，
又，
∽，
，
点，，，四点共圆，且为直径，
，
，，
，
，
．
当∽时，有，

，
，
，
过点作于点，
，
，
，，
，
，
，
解得负值舍去，
，
综上所述，若与相似，的值为或． 

【解析】由直角三角形的性质证明，由锐角三角函数的定义可得出答案；
作于，于则四边形是矩形．证出，求出，则可得出答案；
分两种情况：当∽时，有；当∽时，有，由相似三角形的性质及勾股定理可求出答案．
本题是相似形综合题，考查了锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．