北师大新版八年级下册《第6章+平行四边形》单元测试卷（含详细解析）

这是一份北师大新版八年级下册《第6章+平行四边形》单元测试卷（含详细解析），共24页。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°
2．（3分）如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（　　）

A．22米 B．17米 C．14米 D．11米
3．（3分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝30°，BD＝4，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
4．（3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
5．（3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论 ①MN∥BC，②MN＝AM，下列说法正确的是（　　）

A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC的周长比△ABC的周长长（　　）

A．2cm B．4cm C．5cm D．cm
7．（3分）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AB上，点F在线段CB的延长线上，且3CF＝4CB，四边形BDEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．24
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．2 D．4
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（3，2），点A在x轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧分别交边OA、OC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，恰好过点B，则点A的坐标为（　　）

A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）
10．（3分）用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于（　　）

A．108° B．90° C．72° D．60°
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分） 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　 　．

12．（3分）如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，其中∠1+∠2+∠3+∠4＝α，若∠BOD＝38°，则α的值是　 　．

13．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F．若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为　 　．

14．（3分）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是 　 　．

15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，点E是对角线AC上一动点，点F是边CD上一动点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值是　 　．

16．（3分）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1：2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为　 　．
三、解答题（共52分）
17．（5分）已知两个多边形的内角和为1800°，且这两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数．




18．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，G是CD上一点，满足AF＝CG．
（1）求证：△ADF≌△CBG；
（2）分别延长BG、AD交于点E，若∠E＝45°，∠C＝60°，求∠BGC的度数．

19．（6分）如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，则∠FEC的度数是　 　．


20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和△CDF，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．


21．（7分）如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．

22．（7分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

23．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时两动点均停止运动，设运动时间为ts（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段AP，CQ，PD，BQ的长度；
（2）当运动时间为多少时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？










24．（8分）如图1，O是△ABC内一点，连接OB，OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，连接DE，EF，FG，DG，得到四边形DEFG．
（1）直接判断四边形DEFG的形状．
（2）若O是△ABC外一点，其他条件不变，如图2．
①（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
②连接OA，已知OA＝BC＝10，求四边形DEFG的周长．


参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
2．（3分）如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（　　）

A．22米 B．17米 C．14米 D．11米
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，利用四边形的周长得到即可．
【解答】解：∵点E，D分别是边AC，AB的中点，BC＝6米，
∴DE＝3米，
∴DB＝3米，EC＝5米，
∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质求解．
3．（3分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝30°，BD＝4，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】在Rt△ABD中可求得AB的长，再根据平行四边形的性质可求得CD的长．
【解答】解：∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD＝4，∠A＝30°，
∴AB＝2BD＝8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及直角三角形的性质，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求得AB的长是解题的关键．
4．（3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
【考点】平行四边形的判定．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．（3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论 ①MN∥BC，②MN＝AM，下列说法正确的是（　　）

A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据题意，推出∠B＝∠D＝∠AMN，即可推出结论①，由AM＝DA推出四边形AMND为菱形，因此推出②．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠B＝∠D＝∠AMN，
∴MN∥BC，
∵AM＝DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN＝AM．
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形AMND为菱形．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC的周长比△ABC的周长长（　　）

A．2cm B．4cm C．5cm D．cm
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD＝2 cm，AD＝BC＝4 cm，AO＝CO，BO＝DO．由勾股定理可求AC，CO，BO的长，即可求解．
【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD＝2 cm，AD＝BC＝4 cm，AO＝CO，BO＝DO．
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝6 cm，
∴CO＝3 cm，
∴BO＝＝5 cm，
∴BD＝10 cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝10﹣6＝4（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AB上，点F在线段CB的延长线上，且3CF＝4CB，四边形BDEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．24
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由题意可知△ADE和△DEC同一底DE的高的和为△ABC的边BC上的高，则阴影部分的面积是△ABC的面积的，从而问题得解．
【解答】解：∵3CF＝4CB
∴设BC＝3a，CF＝4a，
∴BF＝DE＝a，
∴BC＝3DE
∵△ADE和△DEC同一底DE的高的和为△ABC的边BC上的高，
∴S阴影＝S△ABC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积公式，掌握阴影部分面积可以看作DE为底，△ABC的BC上的高为高的图形面积是本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．2 D．4
【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝AC＝4，
∴OP′＝AO＝2，
∴PQ的最小值＝2OP′＝4，
故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（3，2），点A在x轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧分别交边OA、OC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，恰好过点B，则点A的坐标为（　　）

A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（2，0）
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】由作法得OB平分∠AOC，利用平行线的性质证明∠ABO＝∠AOB得到AO＝AB，设A（t，0），利用两点间的距离公式得到t2＝（3﹣t）2+22，然后解方程求出t即可得到A点坐标．
【解答】解：由作法得OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠COB＝∠ABO，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AO＝AB，
设A（t，0），
∴t2＝（3﹣t）2+22，解得t＝，
∴A点坐标为（，0）．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
10．（3分）用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于（　　）

A．108° B．90° C．72° D．60°
【考点】剪纸问题．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】动手操作一下，不难得出∠OCD＝180°÷2＝90°．
【解答】解：∠OCD＝180°÷2＝90°，
故选：B．
【点评】主要在考查学生动手操作的能力的同时，也考查了平角的定义．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分） 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　答案不唯一，如：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A+∠B＝180°或∠C+∠D＝180°等　．

【考点】平行四边形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】已知AB∥CD，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可根据两组分别平行的四边形是平行四边形来判定．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴可添加的条件是：AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A+∠B＝180°或∠C+∠D＝180°等．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
12．（3分）如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，其中∠1+∠2+∠3+∠4＝α，若∠BOD＝38°，则α的值是　218°　．

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据五边形的内角和等于540°可得∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB＝540°﹣38°＝502°，再根据平角的定义即可得出α的值．
【解答】解：∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∠BOD＝38°，
∴∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB＝540°﹣38°＝502°，
∵（∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB）+（∠1+∠2+∠3+∠4）＝4×180°＝720°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝720°﹣502°＝218°．
故答案为：218°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．
13．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F．若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为　112°　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB＝∠BDF＝∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF＝∠DBC＝∠DFC＝20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由折叠可得：∠ADB＝∠BDF，
∴∠DBC＝∠BDF，
又∵∠DFC＝40°，
∴∠DBC＝∠BDF＝∠ADB＝20°，
又∵∠ABD＝48°，
∴△ABD中，∠A＝180°﹣20°﹣48°＝112°，
∴∠E＝∠A＝112°，
故答案为：112°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．
14．（3分）如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是 　平行四边形　．

【考点】图形的剪拼．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE＝AC，再根据旋转可得DE＝DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【解答】解：四边形ACE′E的形状是平行四边形；
∵DE是△ABC的中线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，
∴DE＝DE′，
∴EE′＝2DE＝AC，
∴四边形ACE′E的形状是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，以及平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2，点E是对角线AC上一动点，点F是边CD上一动点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值是　　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长；在Rt△BCF'中，BC＝2，∠BCF'＝60°，即可求解；
【解答】解：过点B作BF'⊥CD，交AC于点E'，则BE+EF的最小值为BF'的长；
∵∠BAD＝60°，AD＝2，
∴在Rt△BCF'中，BC＝2，∠BCF'＝60°，
∴BF'＝；
故答案为；

【点评】本题考查最短距离问题；利用垂线段最短将BE+EF的最小值转化为垂线段的长是解题的关键．
16．（3分）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1：2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为　16或20　．
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB＝AE；分两种情况：①当AE＝2，DE＝4时；②当AE＝4，DE＝2时；即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：①当AE＝2，DE＝4时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝16；
②当AE＝4，DE＝2时，
同理得：AB＝AE＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝20；
故答案为：16或20．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
三、解答题（共52分）
17．（5分）已知两个多边形的内角和为1800°，且这两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】本题可设两个多边形的边数分别是2x和5x，利用两个多边形的内角和为1800度，即可列出方程，进而求解．
【解答】解：设两个多边形的边数分别是2x和5x，
则（2x﹣2）•180+（5x﹣2）•180＝1800，
解得x＝2，
则两个多边形的边数分别为4和10．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
18．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，G是CD上一点，满足AF＝CG．
（1）求证：△ADF≌△CBG；
（2）分别延长BG、AD交于点E，若∠E＝45°，∠C＝60°，求∠BGC的度数．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由SAS证明△ADF≌△CBG即可；
（2）由平行线的性质得出∠CBG＝∠E＝45°，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，AD∥BC，
在△ADF和△CBG中，，
∴△ADF≌△CBG（SAS）；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠CBG＝∠E＝45°，
∵∠C＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠C﹣∠CBG＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．（6分）如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，则∠FEC的度数是　135°　．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠A＝∠EBF，∠ADE＝∠BFE，由AAS证明△ADE≌△BFE即可；
（2）由全等三角形的性质得出DE＝EF，由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝CD，得出∠CDF＝∠BEF，证出∠CDF＝90°，DE＝DC，由等腰直角三角形的性质得出∠DEC＝∠DCE＝45°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠A＝∠EBF，∠ADE＝∠BFE，
在△ADE和△BFE中
，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD＝BF，
又AD＝BC，
∴BF＝BC；

（2）解：∵△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠CDF＝∠BEF，
∵DE⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∵DE＝AB，
∴DE＝DC，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠FEC＝135°．
故答案为：135°．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和△CDF，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．

【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，由等边三角形的性质可得BE＝EA＝AB＝CD＝CF＝DF，∠EBA＝∠CDF＝60°，由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得EC＝AF，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC
∵△ABE和△CDF是等边三角形
∴BE＝EA＝AB＝CD＝CF＝DF，∠EBA＝∠CDF＝60°
∴∠ADF＝∠EBC，且AD＝BC，BE＝DF
∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴EC＝AF，且AE＝CF
∴四边形AECF为平行四边形
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．
21．（7分）如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．

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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM∥AN，AM∥CN即可；
（2）首先证明△MDE≌△NBF，推出ME＝NF＝1，在Rt△DME中，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
∴DE＝BF＝8，
∵FN＝6，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（7分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由垂线的性质得出∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF；
（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG＝CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AGE和△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（AAS）；
（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG，如图所示：
由（1）得：△AGE≌△CHF，
∴AG＝CH，
∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴线段GH与AC互相平分．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时两动点均停止运动，设运动时间为ts（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段AP，CQ，PD，BQ的长度；
（2）当运动时间为多少时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？

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【答案】（1）当0＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝4t cm，BQ＝（10﹣4t）cm；
当＜t≤5时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣10）cm，CQ＝（20﹣4t）cm；
当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，CQ＝（40﹣4t）cm．
（2）4s或s或8s．
【分析】（1）分三种情况分别求出即可；
（2）由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当0＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝4t cm，BQ＝（10﹣4t）cm；
当＜t≤5时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣10）cm，CQ＝（20﹣4t）cm；
当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，CQ＝（40﹣4t）cm．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P，D，Q，B为顶点的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当0＜t≤时，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（10﹣4t）cm，
∴10﹣t＝10﹣4t，
解得t＝0（不合题意，舍去）；
当＜t≤5时，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣10）cm，
∴10﹣t＝4t﹣10，
解得t＝4；
当5＜t≤时，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得t＝；
当＜t≤10时，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得t＝8．
综上所述，当运动时间为4s或s或8s时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况进行讨论是解题的关键．
24．（8分）如图1，O是△ABC内一点，连接OB，OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，连接DE，EF，FG，DG，得到四边形DEFG．
（1）直接判断四边形DEFG的形状．
（2）若O是△ABC外一点，其他条件不变，如图2．
①（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
②连接OA，已知OA＝BC＝10，求四边形DEFG的周长．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）四边形DEFG是平行四边形，理由见解析；
（2）①成立，理由见解析；
②30．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，进而得到DG∥EF，DG＝EF，根据平行四边形的判定即可证得四边形DEFG是平行四边形；
（2）①方法同（1）；
②根据三角形中位线定理得到DG＝EF＝BC＝10，DE＝FG＝AO＝5，根据平行四边形的周长公式即可求出四边形DEFG的周长．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
在△OBC中，
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）①成立．证明如下：
∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
②∵OA＝BC＝10，
∴BC＝20，
由①知DG＝EF＝BC＝10，
D，E分别是AB，OB的中点，
∴DE＝AO＝×10＝5，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE＝FG＝5，
∴四边形DEFG的周长＝DG+EF+DE+FG＝30．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线定理，熟记“三角形的中位线，平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决问题的关键．
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