2023年福建省漳州市中考数学二检试卷（含解析）

2023年福建省漳州市中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“知”字相对的面上的字是(    )

A. 就
B. 是
C. 力
D. 量

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  将一副三角尺和直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. “瓮中捉鳖”是必然事件 B. “水中捞月”是必然事件
C. 为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 D. 为了解一批牛奶的质量，选择普查

7.  在平面直角坐标系中，将点先向左平移个长度单位，再向上平移个长度单位得到点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是(    )

A. ， B. ， C.  D.

10.  如图，是的直径，点为延长线上一点，与相切于点，点在上，且，连接，若，则下列结论错误的是(    )

A. 四边形是菱形 B. 是的切线
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算：          ．

12.  如图，在中，，是的中点，若，则的长是______ ．

13.  一组数据为：，，，，，，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的中位数是______ ．

14.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上若，则 ______ ．

15.  幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图，将个数填在三行三列的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方图的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则__________．
 

16.  抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为且以下结论：；；；其中正确的结论是______ 写出所有正确结论的序号
 

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：
 

18.  本小题分
如图，点，分别在菱形的边，上，且求证：．

19.  本小题分
化简求值：，其中．

20.  本小题分
如图，湖中有两段笔直的观景栈道和为了计算，两点之间的距离，测量得，，米，求，两点之间的距离参考数据：，，
 

21.  本小题分
某中学为了提高学生的身体素质，决定在年月举办“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备经调查，某公司有、两种系列的体育器材可供选择，该公司年每套系列体育器材的售价为元，经过连续两次降价，年月每套售价为元．
求每套系列体育器材这两次的平均下降率；
年月该学校经过招标，决定采购该公司、两种系列的体育器材共套，采购专项经费总计不超过万元，采购合同规定：每套系列体育器材售价为元，每套系列体育器材售价为元，求系列体育器材最多可购买多少套？

22.  本小题分
为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩得分取正整数，满分为分进行统计，绘制了两幅不完整的统计图．

请补全频数分布直方图，并写出与；
学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案：
方案一：成绩位于组的同学，每人奖励元，成绩位于组的同学，每人奖励元；
方案二：通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额单位：元．
请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少？

23.  本小题分
如图，在中，，点在边上．
求作：点，使四边形是平行四边形；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
以中▱的边为直径作交的延长线于点，若，求证：．

24.  本小题分
在矩形中，，为上一点，将沿折叠，得到．
如图，若点恰好在边上，点在上，且，连接求证：．
如图，若点在矩形内部，延长交边于点，延长交边于点，连接，且，，求证：．

 

25.  本小题分
已知二次函数的最小值为，且其图象过点．
求，的值；
已知点，．
(ⅰ)若直线与抛物线相交于两点，求的最大值；
(ⅱ)已知点是抛物线上异于其顶点的任意一点，过作垂直轴于，的中点为请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
直线一定经过的外心；直线一定经过的重心；直线一定经过的内心．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
所给的四个实数中，最小的是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：由图可知，原正方体中与“知”字相对的面上的字是“是”．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的空间图形，从相对面入手是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、用同底数的幂相乘法则计算；
B、用积的乘方法则计算；
C、用同底数的幂相除法则计算；
D、合并同类项．
本题考查同底数的幂相乘、积的乘方、同底数的幂相除、合并同类项，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
在数轴上表示为：

故不等式组的解集为：．
故选：．
利用解一元一次不等式的方法对每个不等式进行求解，再确定不等式组的解集即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，数轴，解答的关键是熟练掌握不等式组的解集的确定方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，，
，，
，
．
故选：．
由题意可得：，，，则可求得，由平行线的性质可得，再由补角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：“瓮中捉鳖”是必然事件，故A符合题意；
B.“水中捞月”是不可能事件，故B不符合题意；
C.为了审核书稿中的错别字，选择全面调查，故C不符合题意．
D.为了解一批牛奶的质量，采用抽样调查，故D不符合题意．
故选：．
根据概率的意义、抽样调查、随机事件的定义解决此题．
本题主要考查随机事件、抽样调查，熟练掌握抽样调查、随机事件是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点先向左平移个长度单位，再向上平移个长度单位得到点，
点的横坐标为，纵坐标为，
的坐标为．
故选：．
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，当时，
观察图象可知，，
，
符合题意．
故选：．
根据图象，当时，，构建不等式可得结论．
考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象的知识，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：．

利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，

是的直径，与相切于点，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是的半径，
是的切线，故选项B正确；
，
，
，
，
，
四边形是菱形，故选项A正确；
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选项C正确；
，
，
，故选项D错误．
故选：．
根据圆周角定理及切线的性质可得，再两次利用全等三角形的判定与性质可得，从而判断选项B；利用平行线的性质及菱形的判定方法可判断选项A；根据全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及三角函数可判断选项C；最后由线段的倍分关系可判断选项D．
此题考查的是切线的判定与性质、菱形的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握绝对值的意义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．
【解答】
解：因为，
所以．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，为的中点，，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记其性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
中位数．
故答案是．
由于每个数据都是这组数据的众数，根据众数定义可知，再根据中位数的计算方法进行计算即可．
本题考查了众数、中位数，解题的关键是掌握众数、中位数的计算方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，可证是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设右下角方格内的数为，
根据题意可知：，
解得，
根据题意得：，
解得，
则．
故答案为：．
直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出、的值，再根据任何一个不等于的数的次幂都等于，即可得出答案．
此题主要考查了有理数的乘方，推理与论证，有理数的加法，正确得出的值是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为，由题意得，抛物线的对称轴为，，开口向上．
，且，
．
则抛物线大致图象如下：

，．
正确．
由图可得：当时，，即，
．
当时，，即，
．
．
．
正确．
，且，
．
．

正确．
故答案为：．
由题意，依据函数解析式，求出对称轴，再由抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为且，借助两个之和可得另一根的范围，进而对给定结论逐一判断即可．
本题考查了二次函数的图象及性质，需要画出草图及分析，同时掌握不等式的基本推导是解题的关键．
 

17.【答案】解：
得：，分
，分
把代入得：分
分 

【解析】本题用加减消元法或代入消元法均可．
这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据菱形的性质可得，，再证明≌，可得结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为．
，
．
．
．
在中，
，，



．



．
．
米．
答：、两点之间的距离为米． 

【解析】过点作在中，先利用直角三角形的边角间关系求出、，再利用等腰三角形的性质求出，最后利用线段的和差关系求出．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每套系列体育器材这两次的平均下降率为；
设购买套系列体育器材，则购买套系列体育器材，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：系列体育器材最多可购买套． 

【解析】利用该公司年月每套系列体育器材的售价该公司年每套系列体育器材的售价每套系列体育器材这两次的平均下降率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设购买套系列体育器材，则购买套系列体育器材，利用总价单价数量，结合采购专项经费总计不超过万元，可得出关于的一元二次方程，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：组有人，占比，
参赛人数为：人，
组有：人，
补全频数分布直方图如下：

组占，
组人数为：人，
即；
组有人数：人，
组在扇形图中的圆心角度数为：，
即，
故：，；
方案一：学生所获奖金的平均数为：元，
方案二：画树状图如下：

由树状图可知，一共有种等可能的结果，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种．
和为的概率为，和为的概率为，和为的概率为，
学生所获奖金的平均数为：元．
，
学校采用方案二奖金总额较少． 

【解析】先求出参赛总人数，再根据组占比求出组人数，补全频数分布直方图即可；
根据组所占比例和参赛总人数即可求出的值；
先求出组所占比例，再乘以，即可求出的值；
直接求出方案一学生所获奖金的平均数；方案二中，先用列表法或树状图法求出摸到不同金额奖金的概率，计算所获奖金的平均数，与方案一比较，即可作出判断．
本题考查频数分布直方图，扇形图，列表法和树状图法求等可能事件的概率．能从统计图中获取有用信息，会运用列表法和树状图法求等可能事件的概率是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，四边形为所求；

证明：连接，，如图，

，
，
是的直径，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧相交于点，则根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形可判断四边形为平行四边形；
连接，，如图，利用圆心角、弧、弦的关系由得到，根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，，则利用平行线的性质得到，然后证明≌得到，从而得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
由折叠可得：，，
设，则，
在中，
，
，
；
连接，如图：

根据折叠的性质得，，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
由折叠可知，
． 

【解析】由四边形是矩形，折叠可得：，，设，可得，在中，，而，即得；
连接，根据折叠的性质得，，设，在中，有，解得，证明∽，有，可得，，故EF，而，有，解可得，又，从而．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与应用，勾股定理及应用，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是求出的长度．
 

25.【答案】解：二次函数的最小值为，
，
二次函数的图象经过，
，
，
，；

由可知抛物线的解析式为，
直线与抛物线相交于两点，
，
，
设，
当时，随的增大而减少，当且仅当时，取得最大值，
当时，随的增大而增大，当且仅当时，取得最大值，
因此当时，取得最大值；

直线一定经过的内心．
理由：如图，取的中点，连接．

设，则，，
，，分别是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
直线一定经过的内心． 

【解析】首先根据最小值为，判断出，再利用待定系数法求出即可；
构建二次函数，理由二次函数的性质解决问题；
直线一定经过的内心．如图，取的中点，连接证明，推出平分，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，三角形的内心，外心，重心等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．