2021年福建省漳州市中考数学二检试卷

这是一份2021年福建省漳州市中考数学二检试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年福建省漳州市中考数学二检试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（4分）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（　　）
A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103
4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（　　）

A．8 B．11 C．16 D．17
6．（4分）如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．（4分）某校准备为八年级学生开设A、B、C、D、E、F共6门选修课，随机抽取了部分学生对“我最喜欢的一门选修课”进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完整）．下列说法正确的是（　　）
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40

48

80


A．这次被调查的学生人数为480人
B．喜欢选修课C对应扇形的圆心角为60°
C．喜欢选修课A的人数最少
D．这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为80人
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD＝35°，∠ACB＝45°，则∠BAD等于（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
9．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）若直线y＝kx+k+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线y＝2x﹣1交点的横坐标a的取值范围为（　　）
A．a＜ B．0＜a＜ C．＜a＜ D．a＞
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置．
11．（4分）计算：20210＝　 　．
12．（4分）分解因式：a2﹣9＝　 　．
13．（4分）在菱形ABCD中，若对角线AC＝8，BD＝5，则菱形ABCD的面积为　 　．
14．（4分）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是　 　．

15．（4分）如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝，则CD的长为　 　．

16．（4分）已知直线y＝ax与双曲线y＝相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1x2+2x1的最大值是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置解答．
17．（8分）解方程：＝．
18．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE＝BF．求证：CE＝DF．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝5，AC＝12，求BD长．

21．（8分）为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100个，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？
22．（10分）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
甲
78
79
81
82
x
88
93
95
乙
75
80
80
83
85
90
92
95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且＝，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．

24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点P、Q分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连接BE交PQ于点H．
（1）求证：∠APE＝∠GQF；
（2）求证：PQ＝BH；
（3）若sin∠GQF＝，PQ＝3，求FG的长．

25．（14分）已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合．
（1）求a的值；
（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点．
①求t的取值范围；
②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值．

2021年福建省漳州市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
2．（4分）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，中层和上层的右边分别是一个小正方形．
故选：B．
3．（4分）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（　　）
A．7100 B．0.71×104 C．71×102 D．7.1×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7100用科学记数法表示为：7.1×103．
故选：D．
4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、正六边形中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（　　）

A．8 B．11 C．16 D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11，
故选：B．
6．（4分）如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】估计的范围即可．
【解答】解：∵＜＜．
∴3＜＜4．
数轴上在这个范围内的只有点P．
故选：C．
7．（4分）某校准备为八年级学生开设A、B、C、D、E、F共6门选修课，随机抽取了部分学生对“我最喜欢的一门选修课”进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完整）．下列说法正确的是（　　）
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40

48

80


A．这次被调查的学生人数为480人
B．喜欢选修课C对应扇形的圆心角为60°
C．喜欢选修课A的人数最少
D．这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为80人
【分析】根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由统计图可得，
这次被调查的学生有：80÷20%＝400（人），故选项A错误；
喜欢选修课C对应扇形的圆心角为：360°×＝43.2°，故选项B错误；
喜欢选修课A的人数最少，故选项C正确；
这次被调查的学生喜欢选修课F的人数为：400﹣40﹣48﹣80﹣400×（15%+25%）＝72（人），故选项D错误；
故选：C．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD＝35°，∠ACB＝45°，则∠BAD等于（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得∠ADB的度数，然后利用三角形内角和定理求得答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵∠ABD＝35°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣35°﹣45°＝100°，
故选：A．
9．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．
故选：A．
10．（4分）若直线y＝kx+k+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线y＝2x﹣1交点的横坐标a的取值范围为（　　）
A．a＜ B．0＜a＜ C．＜a＜ D．a＞
【分析】由直线y＝kx+k+2与x轴的交点可得．分两种情况讨论，即可得﹣2＜k＜0．联立两条直线解析式即可得交点横坐标a＝，由k的范围即可确定出a的范围．
【解答】解：∵直线y＝kx+k+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，
∴k≠0．
令y＝kx+k+2＝0，解得：x＝＞0，
即﹣1﹣＞0，得．
①当k＞0时，解得k＜﹣2，与题设矛盾；
②当k＜0时，解得k＞﹣2，所以﹣2＜k＜0．
当直线y＝kx+k+2与直线y＝2x﹣1相交时，
kx+k+2＝2x﹣1，解得：x＝，
即a＝，
又a＝＝＝，
∵﹣2＜k＜0，
∴0＜﹣k＜2，
∴2＜2﹣k＜4，
∴＜，
∴＜，
∴．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置．
11．（4分）计算：20210＝　1　．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：20210＝1．
故答案为：1．
12．（4分）分解因式：a2﹣9＝　（a+3）（a﹣3）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+3）（a﹣3）．
13．（4分）在菱形ABCD中，若对角线AC＝8，BD＝5，则菱形ABCD的面积为　20　．
【分析】由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：菱形ABCD的面积＝＝＝20，
故答案为：20．
14．（4分）如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是　　．

【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
【解答】解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为，
∴黑色三角区的面积为：×＝5，
飞镖游戏版的面积为：25，
∴击中黑色三角形区域的概率是：＝．
故答案为：．
15．（4分）如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝，则CD的长为　　．

【分析】由旋转的性质得AD＝AB＝，根据三角形的内角和可以得到∠DAB＝∠ADB＝∠B＝60°，等角对等边AD＝AB＝DB＝，在Rt△CAB中，30°对应的直角边是斜边的一半，即得到CD＝BC﹣BD＝．
【解答】解：由旋转得：AD＝AB＝，
∵在Rt△ABC中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AD＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝60°，
∵∠DAB+∠ADB+∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠ADB＝∠B＝60°，
∴AD＝AB＝DB＝，
在Rt△CAB中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°，
∴AB＝BC，
∴BC＝2AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣＝．
故CD的长为．
16．（4分）已知直线y＝ax与双曲线y＝相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1x2+2x1的最大值是　1　．
【分析】y＝ax和y＝这两个函数图象都是关于原点对称的中心对称图形，可以得出点P与点Q关于原点对称，等量代换得m＝﹣x12+2x1，二次函数开口向下，当二次函数为顶点时有最大值，
【解答】解：∵y＝ax与y＝相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且这两个函数图象都是关于原点对称的中心对称图形，
∴点P与点Q关于原点对称，
∴x2＝﹣x1，
∴x1x2+2x1＝x1•（﹣x1）+2x1＝﹣x12+2x1，
设m＝﹣x12+2x1，
则m是x1的二次函数，
∵﹣1＜0，开口向下，二次函数有最大值，
∴m有最大值，
m最大＝＝1，
即x1x2+2x1的最大值为1，
故答案为：1．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置解答．
17．（8分）解方程：＝．
【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后根据一元一次方程的解法进行求解，最后进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（2x﹣1）将分式方程化为整式方程，得
4x﹣2＝3x+3．…（1分）
移项，得4x﹣3x＝3+2，
合并同类项得，x＝5．…（2分）
检验：当x＝5时，（x+1）（2x﹣1）＝（5﹣1）（2×5﹣1）＝36≠0，
∴x＝5是原方程的根．…（4分）
故原分式方程的根是x＝5．
18．（8分）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y，其中x＝3，y＝﹣1．
【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后求出答案即可．
【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣x2+2xy）÷2y
＝（6xy+4y2）÷2y
＝3x+2y，
当x＝3，y＝﹣1时，原式＝3×3+2×（﹣1）＝7．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，AE＝BF．求证：CE＝DF．

【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°，然后求出BE＝CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，
即BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（HL），
∴CE＝DF．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC＝5，AC＝12，求BD长．

【分析】（1）已知△ABC是直角三角形，要使△CDB～△ACB，则△CDB也是直角三角形，因此我们需要作D点，使得CD⊥AB；
（2）根据勾股定理先求出AB的长度，再根据第（1）问的结论，结合相似三角形的性质，列出等式＝，代入数值即可求解出BD的长度．
【解答】解：（1）根据作图过程可知CD⊥AB，

∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB，
又∵∠CBD＝∠ABC，
∴△CDB～△ACB；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝＝13，
由（1）可知△CDB～△ACB，
∴＝，
即＝，
∴BD＝．
21．（8分）为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100个，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？
【分析】设完成计划需购买x个篮球，需要投入的费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于x的函数关系式，由购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：设完成计划需购买x个篮球，需要投入的费用为w元，
依题意得：w＝80（1+20%）x+36（100﹣x）＝60x+3600．
∵购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，
∴80（1+20%）x≥36（100﹣x），
解得：x≥27．
又∵x是整数，
∴x的最小值为28．
∵k＝60＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w的最小值为60×28+3600＝5280．
答：为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．
22．（10分）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
甲
78
79
81
82
x
88
93
95
乙
75
80
80
83
85
90
92
95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【分析】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可；
（2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析．
解法2：从概率的角度以及数据的变化趋势分析．
【解答】解：（1）依题意可知
甲的中位数为，乙的众数为80，
∴＝80+3，
解得x＝84；
（2）解法一：派甲参赛比较合适．
理由如下：
＝×（70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5）＝85，
＝×[（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]＝35.5，
＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]＝41，
因为＝，＜，
所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
解法二：派乙参赛比较合适．
理由如下：
从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率P1＝，
乙获得8（5分）以上（含85分）的概率P2＝＝，
因为P1＜P2，
所以派乙参赛比较合适．
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计或概率的角度分析，给出其它合理回答，同样给分．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且＝，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．

【分析】（1）连接OD．根据圆周角定理可得∠CAD＝∠DAB，再根据等腰三角形的性质即可结论；可以两种方法证明；
（2）连接BC，交OD于点F，根据直径所对圆周角是直角，利用勾股定理即可求出结果．
【解答】解法一：（1）如图，连接OD．
∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接BC，交OD于点F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6．
∵AC＝2，
∴BC＝＝4，
∵AE∥OD，OA＝OB，
∴BF＝CF＝2，OF＝AC＝1，∠BFO＝∠ACB＝90°，
∴FD＝OD﹣OF＝3﹣1＝2，
在Rt△CFD中，CD＝＝＝2．
解法二：（1）如图，连接OD．
∵＝，
∴∠DAB＝∠CAD．∠DOB＝2∠DAB，
∵∠EAB＝∠DAB+∠CAD＝2∠DAB，
∴∠DOB＝∠EAB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线，
（2）解：同解法一．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点P、Q分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，EF交CD于点G，连接BE交PQ于点H．
（1）求证：∠APE＝∠GQF；
（2）求证：PQ＝BH；
（3）若sin∠GQF＝，PQ＝3，求FG的长．

【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余和矩形ABCD沿PQ折叠即可得到证明；
（2）作QM⊥AB于M，HN⊥AB于N，利用对折证明QM＝BN＝AB，∠PQM＝∠HBP，从而△PQM≌△HBN，即可得到答案；
（3）sin∠APE＝sin∠GQF＝，设EA＝3k，EP＝5k，则AP＝4k，BP＝EP＝5k，AB＝AP+BP＝9k，在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2可求出k，从而可求出DE，再根据△EAP∽△GDE，求出EG，即可得到答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90o．
∴∠AEP+∠APE＝90°，
由折叠的性质，得∠PEF＝∠ABC＝90°，
∴∠AEP+∠DEG＝90°，
∴∠DEG＝∠APE，
∵∠F＝∠C＝∠D＝90o，∠DGE＝∠FGQ，
∴∠DEG＝∠GQF，
∴∠APE＝∠GQF；
（2）作QM⊥AB于M，HN⊥AB于N，如图：

∵QM⊥AB于M，
∴QM＝BC，∠PQM+∠QPM＝90°，AE∥HN∥BC，
∵矩形ABCD沿PQ折叠，使点B落在AD边上的点E处，点C落在点F处，
∴PQ⊥BE，EH＝BH＝BE，
∴AN＝BN＝AB，
∵AB＝2BC，
∴BC＝AB，
∴QM＝BC＝BN，
∵∠PQM+∠QPB＝90°，∠HBP+∠QPB＝90°，
∴∠PQM＝∠HBP，
∵∠QMP＝∠BNH＝90°，
∴△PQM≌△HBN（ASA），
∴PQ＝BH；
（3）

∵∠APE＝∠GQF，
∴sin∠APE＝sin∠GQF＝，
设EA＝3k，EP＝5k，则AP＝4k，
∴BP＝EP＝5k，AB＝AP+BP＝9k，
∵PQ＝3，
∴BE＝2BH＝2PQ＝6，
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
∴（3k）2+（9k）2＝（6）2，
∴k＝2或k＝﹣2（舍去），
∴EA＝6，EP＝10，AP＝8，AB＝18，
∴AD＝9，
∴DE＝AD﹣EA＝3，
∵∠A＝∠D，∠DEG＝∠APE，
∴△EAP∽△GDE，
∴＝，即＝，
∴GE＝，
∴FG＝EF﹣GE＝9﹣＝．
25．（14分）已知面积为1的等腰直角三角形的三个顶点均在抛物线y＝ax2+bx（a、b为常数，且a＞0）上，其中直角顶点与抛物线顶点重合．
（1）求a的值；
（2）若直线y＝t（t≤4）与抛物线y＝ax2+bx（a＞0）有公共点．
①求t的取值范围；
②求关于t的函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值．
【分析】（1）根据抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，所以根据抛物线的对称性，（﹣+1，﹣+1）在抛物线上，代入抛物线得a＝1，
（2）①因为y＝x2+bx与直线y＝t（t≤4）有公共点，把y＝t代入y＝x2+bx中，满足△≥0，可得t的取值范围；②因为y＝t2+bt开口向上，且对称轴为直线t＝﹣，﹣2＜b＜2，由①得﹣≤t≤4，即﹣1≤t≤4，
根据抛物线的性质离上离对称轴越远的点，对应的函数值越大，
【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，
顶点坐标为，（﹣，﹣），
所以根据抛物线的对称性，面积为1的等腰直角三角形一个顶点（﹣+1，﹣+1）在抛物线上，
∴﹣+1＝a（﹣+1+）2﹣，
解得a＝1．
（2）①∵y＝x2+bx与直线y＝t（t≤4）有公共点，
∴把y＝t代入y＝x2+bx中，
得x2+bx﹣t＝0
由题意，得△≥0，即b2+4t≥0，
解得t≥﹣，
∴t的取值范围是﹣≤t≤4，
②因为y＝t2+bt开口向上，且对称轴为直线直线t＝﹣，
所以抛物线上离对称轴越远的点，对应的函数值越大，
∵﹣2＜b＜2，
∴对称轴的范围：﹣1≤﹣≤1，
由①知﹣≤t≤4，
∵﹣2＜b＜2，
∴﹣1≤﹣≤0，
∴直线x＝4离对称轴t＝﹣最远，
∵开口向上时，抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，
所以当t＝4时，y的最大值为16+4b，
综上，函数y＝at2+bt（﹣2＜b＜2）的最大值为16+4b．