2023年福建省龙岩市中考数学二检试卷（含解析）

2023年福建省龙岩市中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若在单词“数学”中任意选择一个字母，则事件“所选字母为元音字母”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  我国古代数学名著孙子算经中记载了一道数学趣题：一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，若将点绕原点顺时针旋转得点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知反比例函数的图象如图所示，若点的坐标为，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中，，，，点不与重合是线段上的动点，将沿翻折得，当时，四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  一元二次方程的解为______．

12.  若某公司名员工年薪的具体情况如表：

则该公司全体员工年薪的众数是______ 万元．

13.  若三角形的三边的长都是整数，其中两边长分别为和，则第三边的长可以是______ 只需写出一个符合条件的整数

14.  若圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面展开图的面积是______．

15.  龙岩市某校八年级“数学好玩”兴趣小组利用“五一”假期开展数学活动．
小组发现：水龙头关闭不严会造成漏水现象．
问题提出：如果每户家庭大约有个水龙头关闭不严，那么山全市一天会浪费多少水？
大胆设问：漏水量与漏水时间存在一定的数量关系．
小组成员小帅：我从一个关闭不严的水龙头分钟收集到毫升的水；
小组成员小蒙：我在小帅的同一个关闭不严的水龙头中，分钟收集到毫升的水；
小组成员小芳：据龙岩市统计局官网“龙岩统计年鉴”中显示，年龙岩市全市总户数为万户；
小组组长小蕾：假设每个关闭不严的水龙头漏水均匀且速度相同，根据小芳所获得的信息，可估计全市每天大约有万个水龙头因关闭不严漏水这样，就可以计算出全市一天因水龙头关闭不严大约会造成多少水资源浪费了．
请你根据该“数学好玩”兴趣小组提供的信息，估算龙岩市每天因万个水龙头关闭不严而造成浪费的水有______ 毫升用科学记数法表示．

16.  若抛物线经过，两点，则下列结论：；；当时，函数值随的增大而增大．
其中结论一定正确的有______ 写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，点，是直线上的两点，且，连接，，，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，点是的中点，直线与相切于点，直线与切线相交于点，与相交于另一点，连接，．
求证：；
若，求的度数．

21.  本小题分
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：
频数分布表中的 ______ ， ______ ；
教育部规定中小学生每天在校体育锻炼时间不少于小时若该校九年级共有名学生，试估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数．

22.  本小题分
近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单含酒店、景点门票同比增长超世界文化遗产福建土楼龙岩永定是热门的旅游目的地之一某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多元；用元购进甲种纪念品和用元购进乙种纪念品的数量相同专卖店将每个甲种纪念品售价定为元，每个乙种纪念品售价定为元．
每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
根据市场调查，专卖店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种纪念品共个，假设这个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．

23.  本小题分
如图，已知中，，．
求作点关于直线的对称点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下连接，，求证：．

24.  本小题分
在中，，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转到，与在的同一侧，且，过点作于点．
如图，若，求的度数；
求证：，，三点在同一直线上；
如图，若，，求的长．
 

25.  本小题分
如图，直线与坐标轴的交点分别为点和点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点，点是线段上的动点，连接，在上方作，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
当平分时，求的长；
已知点在轴上，且，连接交于点，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：

故选：．
根据左视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项符合题意；
D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意；
故选：．
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案．
此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握平移的特点．
 

4.【答案】 

【解析】解：结果是，故本选项不符合题意；
B.结果是，故本选项不符合题意；
C.完全平方公式展开后缺少积项，故本选项不符合题意；
D.结果是，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：单词“数学”中一共有个字母，其中元音字母有：、、、这个，
所选字母为元音字母．
故选：．
先统计出单词“数学”中所有字母的个数，以及其中元音字母的个数，再利用概率公式求出概率即可．
本题考查概率公式的应用，解题的关键是掌握概率公式，即用事件的结果数所有可能结果数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为，得：，
解集在数轴上表示为．
故选：．
先解出不等式的解集，即可判断哪个选项中的解集符合题意．
本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握在数轴上表示解集：一定大小，二定空实，三定方向．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
故选：．
根据题意可得等量关系：大马数小马数；大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作轴于，过作轴于．
，，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
的坐标是．
故选：．
首先过作轴于，过作轴于，然后证明≌，可得，，进而可得答案．
此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作轴于，交双曲线于，
点的纵坐标为，横坐标为，
，
，
故选：．
根据待定系数法即可得到结论．
本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：
中，，，
，，
，
，
，
，
由沿番折得可得，
和都是等边三角形，
，
四边形为菱形，
四边形的面积为：．
故选：．
过点作于点，求出，，根据等积法求出，证明，得出四边形为菱形，根据菱形面积公式求出结果即可．
本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．
 

11.【答案】， 

【解析】解：


，，
故答案为：，．
利用直接开平方法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中万元是出现次数最多的，故众数是万元；
故答案为：．
根据众数的定义分别求出该公司名员工年薪制众数．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设第三边长为，
三角形的两边长分别为和，
第三边的取值范围：，即，
三角形的三边的长都是整数，
第三边的值可为、、．
故答案为：答案不唯一．
设第三边长为，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，然后取符合条件的整数值即可．
此题主要考查三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长为，
它的侧面积，
故答案为：．
利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么侧面积底面半径母线长．
考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：


毫升，
故答案为：．
根据题意列出算式计算即可．
本题考查有理数的运算，涉及科学记数法，解题的关键是读懂题意，列出算式．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，两点，
，解得，
，
，，
，
成立，故正确：
将代入可得：
，
当时，，
当时，，
不一定成立，故不一定正确：
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，当时，函数值随的增大而增大，故正确．
故答案为：．
先用待定系数法求得函数解析式、，再根据可知，则，则成立，即可判定；将、代入可得，再分和两种情况确定的正负，即可判定；先求出抛物线的对称轴，然后再根据二次函数的性质即可判定．
本题主要考查了二次函数的性质、解不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和负整数指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和负整数指数幂的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，结合，利用可判断≌，继而得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，注意掌握平行四边形的对边平行且相等．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，
原式
． 

【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】证明：连接，如图，
直线与相切于点，
．
点是的中点，
，
；
解：由知：，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，利用圆的切线的性质定理，垂径定理和同垂直第三条直线的两直线平行解答即可；
利用的结论和直角三角形的性质得到，利用圆周角定理和已知条件求得的度数，再利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，垂径定理，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质定理，连接经过切点的半径是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意可知，，
，，
故答案为：，；
名，
答：估计该校九年级学生达到教育部规定的体育锻炼时间的人数为名．
根据“频率频数总数”可得的值，进而得出、的值；
利用样本估计总体的思想解答即可．
本题考查频数率分布表、扇形统计图，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

22.【答案】解：设每个甲种纪念品的进阶是元，则每个乙种纪念品的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲种纪念品的进阶是元，每个乙种纪念品的进价是元；
设该专卖店购进种纪念品个，则购进乙种纪念品个，
由题意得：，
解得：，
设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
，且为正整数，
的最大值是，
当时，取最大值，的最大值，
此时，，
答：该专卖店购进种纪念品个，乙种纪念品个，获得的销售利润最大． 

【解析】设每个甲种纪念品的进阶是元，则每个乙种纪念品的进价是元，由题意：用元购进甲种纪念品和用元购进乙种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设该专卖店购进种纪念品个，则购进乙种纪念品个，由题意：专卖店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种纪念品共个，列出一元一次不等式，解得，再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为元，由题意得出关于的一次函数，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
 

23.【答案】解：如图所示；
证明：点关于直线的对称点是，
，，
，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
，
． 

【解析】根据轴对称的性质作图即可；
根据轴对称的性质得到，，根据平行线判定定理得到，推出四边形是等腰梯形，得到，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了作图轴对称变换，等腰梯形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，，
，
平分，
，
，
，
；
证明：方法一：
如图，连接，过点作于点，则，
由旋转得，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，三点在同一直线上；
方法二：
如图，连接，
在中，，
，
，，
，，
，
中，，
平分，
，
，
，
，
．
，
三点在同一直线上；
方法三：
如图，连接，过点作于，
，即，平分．
，，
≌．
，
，，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，，三点在同一直线上；
解：解法一：如图，过点作于，
，即，平分，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，则，，
，，
∽，
，即，
，
．
解法二：如图，过点作于，
，即，平分，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】根据角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出，即可求得，从而求得；
连接，过点作于点，根据同角的余角相等得出，根据等腰三角形三线合一得出，即可得出，从而得出，由，得出，即可证得结论；
过点作于，通过证得≌，得出，则，利用勾股定理求得，即可得出，得出，，通过证得∽，求得，利用勾股定理求得．
本题是几何变换的综合题，考查了角平分线的性质，选择的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线的解析式为，当时，；当时，，
，，
抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，，
当平分时，，
，
，，
点在抛物线的对称轴上，点，的纵坐标相同，
当时，，
，
，整理得：，
解得：，
点在上方的抛物线上，
点的坐标为，
；
由，，得，
，，
，
设，则，
在中，根据勾股定理，，
解得：，
，，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
由，，可知，
设，则，代入上式，，
整理得，，
解得：，
或，
过点作于点，则∽，

，
当时，，
解得：，
，点的坐标为；
当时，，
解得：，
，点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】求出，，代入抛物线，解方程组可得出答案；
证出，，则点在抛物线的对称轴上，点，的纵坐标相同，可求出点的坐标，则可得出答案；
证出∽，由相似三角形的性质得出，过点作于点，则∽，由相似三角形的性质列出方程可得出答案．
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的解析式的求法，二次函数的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度．