2023年福建省莆田市中考数学二检试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列四个数中,最大的数是( )
A. −3 B. 0 C. 5 D. 2
2. 下列四个几何体中,主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术.根据中国信通院发布的最新数据测算,预计2023年我国人工智能市场规模达到3043亿元.其中304300000000用科学记数法表示为( )
A. 3043×108 B. 304.3×109 C. 3.043×1011 D. 0.3043×1012
4. 达芬奇椭圆规是画椭圆的一种工具,如图所示,当滑标M在滑槽EF内往复运动,滑标N在滑槽GH内随之运动,将笔尖放置于D处即可画出椭圆,则画出的椭圆是( )
A. 是轴对称图形,也是中心对称图形
B. 是轴对称图形,不是中心对称图形
C. 不是轴对称图形,但是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
5. 下列各式中,计算结果是a12的是( )
A. a3⋅a4 B. (a3)4 C. a12÷a D. a6+a6
6. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,设货架上原有鸡蛋的质量(单位:g)平均数和方差分别为x−,s2,该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为x−1,s12,则下列结论一定成立的是( )
A. x−
第一步先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出;
第二步往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置:第三步往船上再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,发现水位也恰好到达标记位置.
已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,根据以上方法可列出的方程是( )
A. 20x+3×120=(20+1)x+120 B. 20x+3×120=(20+1)x−120
C. 20x−3×120=(20+1)x+120 D. 20x−3×120=(20+1)x−120
8. 如图,在⊙O中,∠AOB=120°,点C在AB上,连接AC,BC,过点B作BD⊥AC的延长线于点D,当点C从点A运动到点B的过程中,∠CBD的度数( )
A. 先增大后减小
B. 先减小后增大
C. 保持不变
D. 一直减小
9. 圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表AC垂直圭BC.已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为α,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为β,若表AC的长为m,则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为( )
A. mtanα−mtanβ B. mtanα−mtanβ
C. msinα−mcosβ D. msinα−mcosβ
10. 如图,在△ABD中,AD
A. 菱形→矩形→正方形 B. 矩形→菱形→正方形
C. 菱形→平行四边形→矩形 D. 矩形→平行四边形→菱形
二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)
11. 不等式3x+2>5的解集为______ .
12. 投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子,则向上一面是奇数的概率是______ .
13. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=40°,D为斜边AC的中点,则∠BDC的度数为______ .
14. 在平面直角坐标系xOy中,若直线y= 3x与双曲线y=kx相交,则实数k的值可以是______ .(只需写出一个符合条件的实数)
15. 阅读下列材料:“为什么32不是有理数”,完成问题.
证明:假设32是有理数,
那么存在两个互质的正整数n,m,使得32=nm,则______ .
∵n3是2的倍数,
∴ ______ ,
可设n=2t(t为正整数),则n3=8t3,
∴ ______ ,即4t3=m3,
∴ ______ ,
∴m,n都是2的倍数,不互质,与假设矛盾.
因此假设不成立,即32不是有理数.
将下列选项依次填入材料中的画线处,正确的顺序是______ .(填上序号)
①8t3=2m3;②n3=2m3;③m是2的倍数;④n是2的倍数.
16. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x1,x2,x3,x4,x5为实数,当x=x1及x=x2+x3+x4+x5时(其中x1≠x2+x3+x4+x5),函数值均为5,当x=x1+x2时,函数值为p,当x=x3+x4+x5时,函数值为q,则p−q= ______ .
三、解答题(本大题共9小题,共86.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题8.0分)
计算:3tan30°− 9+(13)−1.
18. (本小题8.0分)
如图,点D,E分别在线段AB,AC上,AB=AC,∠ADC=∠AEB=90°,求证:BD=CE.
19. (本小题8.0分)
先化简,后求值:(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1,其中a= 2+1.
20. (本小题8.0分)
在贯彻落实“五育并举”的工作中,某校在课后服务中开设了多门校本选修课.为了了解全校学生对“莆田地方特色美食烹饪”,“中华传统文化美德讲习”,“莆田传统节日习俗赏析”和“莆田民俗体育项目传承”4门选修课的喜爱情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,形成了如下调查报告(不完整):
调查目的
了解xx中学学生对4门选修课的喜爱情况
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学学生
调查内容
1.你的性别是( )
A.男
B.女
2.下列4门选修课中,你最喜欢的是(只能单选)( )
A.莆田地方特色美食烹饪
B.中华传统文化美德讲习
C.莆田传统节日习俗赏析
D.莆田民俗体育项目传承
填完后,请将问卷交给数学课代表.
数据的收集、整理与描述
男生最喜欢选修课的人数统计图
100名女生最喜欢选修课的人数统计图
调查结论
…
请根据以上调查报告,解答下列问题:
(1)求参与本次抽样调查的男生人数及选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数;
(2)国家提倡发展体育运动,该学校现有女生800名,请估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数.
21. (本小题8.0分)
(1)如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AO平分∠BAC交BC于点O,以OB为半径作⊙O.判断直线AC是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如图2,某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路,∠ABC=90°.现要修一条圆弧形水上栈道,要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O,圆心在BC上且与AB,CD相切.求作⊙O.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
22. (本小题10.0分)
如图,△ABC内接于⊙O,AO的延长线交⊙O于点D,交BC于点E,过点D作DF//BC交⊙O于点F,连接CF,CD.
(1)若CF//AD,求证:AC=CE;
(2)求证:点O到AB的距离等于12CF的长.
23. (本小题10.0分)
根据以下思考,探索完成任务.
曼哈顿距离的思考
问题背景
很多城市街道交织成格,行人和车辆沿网格线行走,城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线.定义城市内街道上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的距离为dPQ=|x2−x1|+|y2−y1|,称为曼哈顿距离(简称为曼距),曼哈顿距离也叫出租车几何,是在19世纪由赫尔曼⋅闵可夫斯基提出来的.
素材1
如图,在平面直角坐标系中,点B(−3,−2)与点C(2,2)之间的曼距dBC=|−3−2|+|−2−2|=5+4=9,可得矩形BKCQ上及内部的任意格点(坐标为整数的点)为G,都有dBG+dCG=9.
素材2
在城市里有一个社区,其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示(如图).该社区内有数个火警高危点,为了消防安全,拟在某个格点位置设立消防站D,其中格点位置四通八达.
任务1
探求消防站位置
若火警高危点A(3,0),消防站D的坐标为(−1,n),且与点A的曼距dDA=5,请求出消防站D的位置;
任务2
选择最适合位置
若火警高危点B(−3,−2),C(2,2),按设计要求|dDB−dDC|最小,则下列5个点中最适合设为消防站D的是______ ;(写出所有正确的序号)
A.(−1,0)
B.(1,−2)
C.(3,1)
D.(−2,−1)
E.(2,−2)
任务3
拟定最短曼距方案
如图,一条笔直的公路起点为E(0,4 5),点F( 5,2 5)为公路上一点.若消防站D在原点处,请探究消防站D到公路EF(即射线EF)上一点H的曼距dDH的最小值.
24. (本小题12.0分)
在矩形ABCD中,点E为线段CD上一动点,将△BCE沿BE折叠得到△BFE,点C的对应点是F,连接DF.
(1)如图1,BC>12AB,若点E为CD的中点时,过点F作PQ⊥BC于点Q,分别交AD,BE于点P,H.给出下列结论:
①DF//EH;
②HF=PF+HQ;
③△EFH为等边三角形,请任意选择一个你认为正确的结论加以证明:
(2)如图2,若BC=3,AB=4.
①在点E运动过程中,当DF取得最小值时,求DE的长;
②设CE=x,tan∠ABF为y,求y关于x的函数关系.
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=(x+t)2+t+2,其中t是实数.
(1)已知三个点(1,0),(2,0),(2,4),其中有一个点可以是抛物线的顶点,请选出该点并求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点A在抛物线上且其横坐标为4,过点A作AB⊥x轴于点B.点P为抛物线的顶点,连接PA.点Q为抛物线对称轴左侧上一点,AQ延长线交x轴于点C,QP延长线交AB延长线于点D,连接CD.
①若PA平分∠CAB时,求点Q的坐标;
②设S△PAC=S1,S△BCD=S2,判断S1S2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:∵ 5>2>0>−3,
∴所给的四个数中,最大的数是 5.
故选:C.
正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
此题主要考查了实数大小比较的方法,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.【答案】A
【解析】解:圆锥的主视图是三角形,故A选项合题意;
球的主视图是圆,故B选项不合题意,
三棱柱的主视图是长方形(长方形部分有一条纵向的虚线),故C选项不符合题意,
圆柱的主视图是长方形,故D选项不合题意.
故选:A.
根据主视图的定义即可直接选出答案.
本题主要考查了简单几何体的三视图,牢记常见的几何体的三视图是解答本题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:304300000000=3.043×1011.
故选:C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.【答案】A
【解析】解:画出的椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.
故选:A.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
此题考查了轴对称图形和中心对称图形,掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键.
5.【答案】B
【解析】解:A.a3⋅a4=a7,故此选项不合题意;
B.(a3)4=a12,故此选项符合题意;
C.a12÷a=a11,故此选项不合题意;
D.a6+a6=2a6,故此选项不合题意.
故选:B.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则,分别化简进而得出答案.
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.
6.【答案】C
【解析】解:∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,
∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2>该顾客选购的鸡蛋的质量方差s12,而平均数无法比较.
故选:C.
根据方差的意义求解.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
7.【答案】A
【解析】解:由题意得出等量关系为:
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重,
∵已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,
∴20x+3×120=(20+1)x+120.
故选:A.
利用题意找出等量关系,将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论.
本题主要考查了一元一次方程的应用,利用题意正确找出等量关系是解题的关键.
8.【答案】C
【解析】解:如图,在优弧AB上任取一点E,连接AE,BE,
∵四边形AEBC是⊙O的内接四边形,
∴∠BCD=∠AEB=12∠AOB=60°,
∵BD⊥AD,
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD+∠CBD=90°,
∴∠CBD=90°−∠BCD=30°,
因此∠CBD的大小不变,
故选:C.
根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理,三角形内角和定理进行计算即可.
本题考查圆周角定理,圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理,掌握圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提.
9.【答案】B
【解析】解:在Rt△ACD中,AC=m,∠ADC=β,
∴CD=ACtanβ=mtanβ,
在Rt△ACB中,∠ABC=α,
∴BC=ACtanα=mtanα,
∴BD=BC−CD=mtanα−mtanβ,
故选:B.
先在Rt△ACD中,利用锐角三角函数的定义求出CD的长,然后在Rt△ACB中,利用锐角三角函数的定义求出BC的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.
本题考查了解直角三角形的应用,平行投影,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
10.【答案】D
【解析】解:∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE,
∴△ABD≌△ACE,BD=BF,∠CAB=∠DAE=90°,∠DBF=90°,
∴CE=BD=BF,AE=AD,∠ACE=∠ABD,
①当∠DAB逐渐变大,B、D、E三点共线之前时,如图,
∵∠COE=∠AOB,
∴∠ECO+∠CEO=∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OBD+∠ABD,
又∵∠ACE=∠ABD,
∴∠ECO=∠OAB+∠OBD=90°+∠OBD,
∴∠CEB+∠EBF=90°+∠OBD+90°+∠OBD=180°,
∴BF//CE,
又∵BF=CE,
∴四边形BFCE是平行四边形;
②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时,
∵∠DAE=90°,AE=AD,
∴∠ADE=∠AED=45°,
∴∠ADB=135°=∠AEC,
∴∠DEC=90°,
又∵∠DBF=90°,
∴BF//CE,
又∵BF=CE,
∴四边形BFCE是平行四边形,
又∵∠DEC=90°,
∴四边形BFCE是矩形;
③当∠DAB逐渐变大,B、D、E三点共线,∠DAB=135°之前时,
∵∠CEB+∠EBF
=∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF
=∠ADB+(∠AEB+∠ABE)+∠ABD+∠DBF
=(∠ADB+∠ABD)+(∠AEB+∠AE)+∠DBF
=180°−∠ADB+180°−∠EAB+90°
=180°×2+90°−(∠DAB+∠EAB)
=180°×2+90°−(360°−∠DAE)
=180°×2+90°−360°+∠DAE
=90°+∠DAE
=180°,
∴BF//CE,
又∵BF=CE,
∴四边形BFCE是平行四边形,
④当∠DAB=135°时,
∴∠EAB=360°−∠DAE−∠DAE=135°=∠DAB,
又∵AD=AE,AB=AB,
∴△ADB≌△AEB(SAS),
∴BD=BE=CE,
由③同理可证∠CEB+∠EBF=180°,
∴BF//CE,
又∵BF=CE,
∴四边形BFCE是平行四边形,
又∵BE=CE,
∴四边形BFCE是菱形;当∠DAB=135°后时,
由③同理可证∠CEB+∠EBF=180°,
∴BF//CE,
又∵BF−CE,
∴四边形BFCE是平行四边形.
当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中,四边形BFCE的形状依次是:平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形.
故选:D.
分∠DAB逐渐变大,B、D、E=点共线之前;B、D、E三点共线时:B、D、E三点共线后,∠DAB=135°之前;∠DAB=135°时;∠DAB=135°后,讨论即可.
本题考查旋转变换的性质,平行四边形的判定和性质,矩形的判定和性质,菱形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题.
11.【答案】x>1
【解析】解:移项得,3x>5−2,
合并同类项得3x>3.
系数化为1得x>1.
故答案为:x>1.
根据一元一次不等式的解法,移项,合并同类项即可得解.
本题考查了解简单不等式的能力,解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错,解不等式要依据不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
12.【答案】12
【解析】解:在正方体骰子中,朝上的数字为奇数的情况有3种,分别是:1,3,5;
∵骰子有6面,
∴朝上的数字为奇数的概率是3÷6=12.
故答案为:12.
在正方体骰子中,写有奇数的有3面,一共有6面,根据概率公式:概率=所求情况数与总情况数之比求解即可.
本题考查了概率公式,明确概率的意义是解答的关键,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
13.【答案】80°
【解析】解:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=40°,
∴∠ACB=90°−40°=50°,
又∵D为AC的中点,
∴BD=AD=CD=12AB,
∴∠DBC=∠ACB=50°,
∴∠BDC=180°−∠ACB−∠DBC=80°.
故答案为:80°.
首先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数,再根据直角三角形斜边的中线的性质结合等腰三角形的性质求出∠DBC的度数,最后根据三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数.
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,根据直角三角形斜边上的中线的性质证得BD=CD是解决问题的关键.
14.【答案】1
【解析】解:∵直线y= 3x经过一、三象限,
∴若直线y= 3x与双曲线y=kx相交,则双曲线y=kx在一、三象限,
∴k>0,
∴k的值可以为1,
故答案为:1.
根据正比例函数和反比例函数的性质即可判断k>0,据此写出实数k的值即可.
本题是反比例函数与一次函数的交点问题,熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键.
15.【答案】②n3=2m3 ④n也是2的倍数 ①8t3=2m3 ③m是2的倍数 ②④①③
【解析】证明:假设32是有理数,
那么存在两个互质的正整数n,m,使得32=nm,则②n3=2m3,
∵n3是2的倍数,
∴④n是2的倍数,
可设n=2t(t为正整数),则n3=8t3,
∴①n是2的倍数,即4t3=m3,
∴③m是2的倍数,
∴m,n都是2的倍数,不互质,与假设矛盾.
因此假设不成立,即32不是有理数.
将下列选项依次填入材料中的画线处,正确的顺序是②④①③,
故答案为:②n3=2m3,④n是2的倍数,①n是2的倍数,③m是2的倍数,②④①③.
根据题意利用反证法假设32是有理数,进而利用假设得出矛盾,从而得出假设不成立原命题正确.
此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用,正确掌握反证法的基本步骤是解题关键.
16.【答案】0
【解析】解:∵当x=x1+x2及x=x2+x3+x4+x3时(其中x1≠x2+x3+x4+x5),函数值均为5,
∴二次函数对称轴为直线x=x1+x2+x3+x52,
∵当x=x1+x2时,函数值为P,当x=x3+x4+x5时,函数值为q,
∴点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)都在二次函数图象上,
∵点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)的中点坐标为(x1+x2+x4+x52,p+q2),
∴点(x1+x2,p)(x3+x4+x5,q)的中点在二次函数的对称轴上,
∴点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称,
∴P=q,
∴p−q=0,
故答案为:0.
先根据题意得到二次函数对称轴为直线x=x1+x2+x3+x52,进而得到点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)都在二次函数图象上,由于点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)的中点坐标为(x1+x2+x3+x4+x52,p+q2),即可证明点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称,则P=q,即可得到p−q=0.
本题主要考查了二次函数的性质,正确推出点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称是解题的关键.
17.【答案】解:原式=3× 33−3+3
= 3−3+3
= 3.
【解析】利用特殊角的三角函数值,算术平方根的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可.
本题主要考查了实数的运算,特殊角的三角函数值,算术平方根的意义和负整数指数幂的意义,熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.
18.【答案】证明:在△ABE与△ACD中,
∠A=∠A∠AEB=∠ADC=90°AB=AC,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AD=AE,
∴AB−AD=AC−AE,
即BD=CE.
【解析】利用AAS可判定△ABE≌△ACD,从而有AD=AE,即可求得BD=CE.
本题主要考查全等三角形的判定与性质,解答的关键是对全等三角形的判定定理的掌握与运用.
19.【答案】解:原式=(a+1a+1−aa+1)÷(a+1)(a−1)(a+1)2
=1a+1⋅a+1a−1
=1a−1,
当a= 2+1时,
原式=1 2+1−1= 22.
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算即可.
本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
20.【答案】解:(1)参与本次抽样调查的男生人数为45÷30%=150(人),
则A组人数为150−(45+39+51)=15(人),
答:参与本次抽样调查的男生人数为150人,选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数为15人;
(2)800×(1−35%−27%−25%)=104(人),
答:估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数为104人.
【解析】(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数,总人数减去B、C、D组人数可得A组人数;
(2)女生总人数乘以女生样本中D组人数所占百分比可得答案.
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体,从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键.
21.【答案】解:(1)直线AC是⊙O的切线,
理由:过O作OD⊥AC于D,如图1所示:
∵∠ABC=90°,AO平分∠BAC交BC于点O,以OB为半径作⊙O,
∴OD=OB,
∴直线AC是⊙O的切线;
(2)如图2所示:⊙O即为所求.
【解析】(1)根据“d=r”进行证明;
(2)根据切线长定理作图.
本题考查了作图的应用与设计,掌握切线的判定定理是解题的关键.
22.【答案】证明:(1)∵CF//AD,
∴∠AEC=∠ECF,
∵DF//BC,
∴∠ECF+∠CFD=180°,
∴∠AEC+∠CFD=180°,
∵四边形ADFC是⊙O的内接四边形,
∴∠EAC+∠CFD=180°,
∴∠AEC=∠EAC,
∴AC=CE;
(2)过O作OG⊥AB于G,连接BD,如图:
∵DF//BC,
∴BD=CF,
∴BD=CF,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∵OG⊥AB,
∴∠AGO=90°,
∴∠ABD=∠AGO,
∴OG//BD,
∵AO=OD,
∴OG是△ABD的中位线,
∴OG=12BD,
∴OG=12CF,
∴点O到AB的距离等于12CF的长.
【解析】(1)由CF//AD,得∠AEC=∠ECF,而DF//BC,有∠ECF+∠CFD=180°,又四边形ADFC是⊙O的内接四边形,知∠EAC+∠CFD=180°,故∠AEC=∠EAC,得AC=CE;
(2)过O作OG⊥AB于G,连接BD,由DF//BC,可得BD=CF,根据AD是⊙O的直径,OG⊥AB,可得OG//BD,又AO=OD,故OG是△ABD的中位线,有OG=12BD,从而点O到AB的距离等于12CF的长.
本题考查考查三角形外接圆与外心,垂径定理,解题的关键是掌握圆的相关性质和三角形中位线定理.
23.【答案】ABE
【解析】解:任务1:∵dDA=5,
∴|1−3|+|n−0|=5,
∴4+|n|=5,
∴n=±1,
∴消防站D的位置为(−1,−1)或(−1,1);
任务2:当选(−1,0)作为D点时,
∵B(−3,−2),C(2,2),
∴dDB=|3−(−1)|+|−2−0|=2+2=4,dDC=|2−(−1)|+|2−0|=3+2=5,
∴|dDB−dDC|=|4−5|=1;
同理当(1,:−2)作为D点时,|dDBdDC|=1;
当(3,1)作为D点时,|dDBdDC|=7;
当(−2,−1)作为D点时,|dDBdDC|=5.
∴当选则(−1,0)或(1.−2)或(2,−2)时|dDBdDC|最小,
故答案为:ABE;
任务3:设直线EF的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴ 5k+b=2 5b=4 5,
∴k=−2b=4 5,
∴直线EF的解析式为y=−2x+4 5,
设H(m,−2m+4 5),
∴dDH=|m−0|+|−2m+4 5|,∖
当0≤m≤2 5时,dDE=m−2m+4 5,
∴此时当m=2 5时,dDH有最小值2 5;
当m>2 5时,dDH=m+2m−4 5=3m−4 5,
∴此时dDH>2 5,
综上所述,dDH得到最小值2 5
任务1:根据曼哈顿距离的定义进行求解即可;
任务2:分别算出五个点作为D点时|dDB−dDC|的值即可得到答案;
任务3:先求出直线EF的解析式为y=−2x+4 5,设H(m,−2m+4 5),则dDH=|m|+|−2m+4 5|,再分当0≤m≤2 5时,当m>2 5时,两种情况求出dDH的最值情况即可得到答案.
本题主要考查了坐标与图形,一次函数与几何综合,正确理解题意是解题的关键.
24.【答案】解:(1)选①,证明如下:
∵E为CD的中点,
∴CE=DE,
由折叠的性质可知CE=EF,∠CEB=∠BEF,
∴EF=DE,
∴∠EFD=∠EDF,
∵∠CEF=∠CEB+∠BEF=∠EFD+∠EDF,
∴2∠BEF=2∠EFD,
即∠BEF=∠EFD,
∴DF//EH;
选②,证明如下:∵PQ⊥BC,CD⊥BC,∠PDC=90°,
∴四边形PDCQ是矩形,
∴PQ//CD,PQ=CD,
∴∠FHE=∠HEC,
由折叠的性质可知CE=EF,∠CEB=∠BEF,
∴∠FEH=∠FHE,
∴FH=EF=CE=DE,
∵PF+FH+QH=DE+CE,
∴PF+QH=FH;
根据现有条件无法证明③;
(2)①由折叠的性质可得BF=BC=3,CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°,
∴点F在以B为圆心,3为半径的一段圆弧上运动,
∴当B、D、F三点共线时,DF取得最小值,
设DE=x,则CE=EF=CD−DE=4−x,
在Rt△DBC中,由勾股定理得BD= BC2+CD2=5,
∴DF=BD−BF=2,
在Rt△DFE中,由勾股定理得DE2=DF2+EF2,
∴x2=22+(4−x)2,
解得x=52,
∴DE=52;
②如图,当0
∴BH=CE=x.
∵EH//BC,
∴∠GEB=∠EBC,
由折叠可得:∠EBC=∠FBE,
∴∠FBE=∠GEB,
∴GE=BG.
在Rt△BHG中,tan∠ABF=HGBH=y,
∴HG=BH⋅y=xy,
∴GE=BG=3−xy,
在Rt△BHG中,x2+(xy)2=(3−xy)2,
∴y=9−x26x;
当3
同理可得BH=x,GH=xy,则BG=GE=3+xy,
在Rt△BHG中,x2+(xy)2=(3+xy)2,
∴y=x2−96x.
综上所述,y关于x的函数关系式为y=9−x26x(0
(2)①由折叠的性质可得BF=BC=3,CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°,则点F在以B为圆心,3为半径的一段圆弧上运动,故当B、D、F三点共线时,DF取得最小值,设DE=x,则CE=EF=4−x,求出BD=5,则DF=2,在Rt△DFE中利用勾股定理建立方程x2=22+(4−x)2,解方程即可求出DE=52;
②分两种情况,分别用x、y表示出BG,GH,BH的长,再在Rt△BHG中利用勾股定理求出对应的函数关系式即可.
本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,折叠的性质,解直角三角形,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,灵活运用所学的知识并利用分类讨论思想是解题的关键.
25.【答案】解:(1)∵y=(x+t)2+t+2,
∴顶点坐标(−t,t+2),
∴顶点坐标在直线y=−x+2上运动,
∴(2,0)满足条件,
∴抛物线的解析式为y=(x−2)2;
(2)①过点P作PE⊥AP交AQ于点E,过点E作EH⊥x轴于点H.
∵点A在抛物线上且横坐标为4,
∴A(4,4),P(2,0),
∴AB=4,PB=2,AP=2 5,
∵∠EPA=∠ABC=∠EHP=90°,
∴∠EPH+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,
∴∠EPH=∠PAB,
∵PA平分∠BAC,
∴∠PAB=∠PAC,
∴tan∠EAP=tan∠EPH=tan∠PAB=12,
∴PE= 5,EH=1,PH=2,
∴E(0,1),
∴直线AQ的解析式为y=34x+1,
由y=34x+1y=(x−2)2,解得,x=4y=4或x=34y=2516,
∴Q(34,2516);
②是定值.
理由:如图,设Q(m,(m−2)2),其中0
由①可知A(4,4),P(2,0),
∴直线AQ的解析式为y=(m−2)x+4−2m,
直线PQ的解析式为y=(m−2)x+4−2m,
∴C(4−4m,0),D(4,2m−4),
∴PC=2−4+4m=4m−2,
∵S1=12⋅AB⋅PC=2(4m−2),S2=12⋅BD⋅BC=12×(4−4+4m)×(4−2m)=2(4m−2),
∴S1S2=1.
【解析】(1)判断出抛物线的顶点的运动轨迹,可得结论;
(2)①过点P作PE⊥AP交AQ于点E,过点E作EH⊥x轴于点H.解直角三角形判断出点E的坐标,可得结论;
②是定值.如图,设Q(m,(m−2)2),其中0
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