2023年福建省宁德市中考数学二检试卷（含解析）

2023年福建省宁德市中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，、分别是、的中点．若，则的长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

3.  国家统计局发布数据显示，年出生人口人数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列几何体中，三种视图完全相同的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  以下调查中，最适合采用抽样调查的是(    )

A. 调查某班学生的视力情况 B. 了解一沓钞票中有没有假钞
C. 了解某批次汽车的抗撞击能力 D. 检查神舟飞船的设备零件的质量情况

7.  如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知函数与图象都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，则函数的表达式是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”若等边三角形的边长为，则该“莱洛三角形”的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，若和的面积都为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是______ ．

12.  比大且比小的整数是______ ．

13.  方程的解是______．

14.  如图，，，相交于点，若：：，，则的长是______ ．

15.  在一个不透明的口袋中装有个球，分别标记为，，，，，它们除数字外无其他差别小明从口袋中随机摸出一个球后摇匀，再由小红从剩余的球中随机摸出一个球，则摸到的数字小红比小明大的概率是______ ．

16.  如图，将矩形沿折叠，使顶点落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点落在上点处，连接小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 ______

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
如图，已知点，，，在同一直线上，，，求证：≌．

20.  本小题分
某校为了落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，培养学生的劳动意识，开展了系列宣讲活动为了解本次宣讲活动效果，现从九年级随机抽取若干名学生，调查他们宣讲前后平均每周劳动时间情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表：
宣讲前平均每周劳动时间频数统计表

请根据图表中的信息，解答下列问题：
频数统计表中 ______ ，宣讲前平均每周劳动时间的中位数落在______ 组；
求宣讲后平均每周劳动时间的平均数每组中各个数据用该组的中间值代替，如的中间值为；
教育部规定中学生每周劳动时间不低于小时，若该校九年级共有名学生，则宣讲后有多少名学生达到要求？

21.  本小题分
问题呈现：数学活动课上，老师出示了一个问题：将一个四边形沿某一条直线分割成两部分，重新再拼成一个新的特殊四边形．

初步操作：如图，已知矩形，小明按以下操作得到了新四边形．
在上截取点，使得；
沿直线把矩形分割成两部分，将沿平移得到．
理性思考：连接，，小明发现请根据上述操作中得到的条件，帮助小明证明这个结论．
深入探究：如图，已知平行四边形，请按要求拼接出下列指定的新特殊四边形画出裁切线和拼接后的四边形，并标注必要的条件和字母
在图中拼接出一个矩形；
在图中拼接出一个菱形．

22.  本小题分
北京时间年月日晚，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”成功入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录福鼎白茶由于独特的制茶工艺和口感深受人们喜爱，也造福了一方茶农茶农王二伯家有荒野茶园和修剪茶园共亩，今年清明节前共采茶青新鲜茶叶千克，已知荒野茶园平均每亩采茶青千克，修剪茶园平均每亩采茶青千克．
王二伯家有荒野茶园和修剪茶园各多少亩？
由于荒野茶园便于管理，且荒野茶口感与销路优于修剪茶，王二伯计划将部分修剪茶园改造为荒野茶园，使得明年清明节前荒野茶园所采茶青的总产量不低于修剪茶园若根据今年清明节前茶青的亩产测算，王二伯至少需要将多少亩修剪茶园改造为荒野茶园？

23.  本小题分
如图，已知内接于，是的直径．
尺规作图：确定点，的位置，使得点是的中点，交直线于点；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，求证：是的切线；
连接，交于点，若，，求的长．

24.  本小题分
如图，已知和都是等腰直角三角形，，，将绕点旋转，使得点落在内部，连接，．
求证：∽；
当时，求的值；
延长，交直线于点，连接写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线直线与抛物线交于，两点点在点的左侧，点是直线下方抛物线上的一个动点，点在抛物线对称轴上．
求抛物线的表达式；
当点在轴上，且和的面积相等时，求的值；
求证：当四边形是平行四边形时，不论为何值，点的坐标不变．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数计算即可得解．
本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】
解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：将数据科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的方法可以判断；根据积的乘方可以判断；根据单项式除以单项式可以判断；根据完全平方公式可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意；
B.圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
C.圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
D.三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
 

6.【答案】 

【解析】解：调查某班学生的视力情况，适合全面调查，故选项不符合题意；
B.了解一沓钞票中有没有假钞，适合全面调查，故选项不符合题意；
C.了解某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项符合题意；
D.检查神舟飞船的设备零件的质量情况，适合全面调查，故选项不符合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
故BC．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数与图象都经过轴上的点，分别与轴交于，两点，且，两点关于原点对称，
函数与图象关于轴对称，
，即．
故选：．
根据关于轴对称的点的坐标特征即可求得．
本题考查了两条直线相交问题，考查了一次函数图象与几何变换，关于轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
 

9.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
的长，
“莱洛三角形”的周长等于的长．
故选：．
由弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，求出的长，即可解决问题．
本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，，以，作底，高相同，
，即为的中点，
设，，
由中点坐标公式得，，
在反比例函数的图象上，
，

过点作轴于，
则，，
，
，
，
．
故选：．
由得，，设，，由中点坐标公式得，，代入解析式得到，过点作轴于，利用，可求出．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用设坐标法表示三角形的面积是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质两直线平行，同位角相等解答即可．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理两直线平行，同位角相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
比大且比小的整数是．
故答案为：．
根据和取值范围判断即可．
本题考查了二次根式的估计．确定二次根式的取值范围是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
：：，，
，
解得．
故答案为：．
根据证得∽，根据相似三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据判定三角形相似．
 

15.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸到的数字小红比小明大的结果有种，
摸到的数字小红比小明大的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中摸到的数字小红比小明大的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，由折叠的性质得，四边形是正方形，，
，
，
是由绕某一点旋转得到的，
，
，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
作的垂直平分线，的垂直平分线，它们的交点为，连接，，
则点就是旋转中心，
垂直平分，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠及旋转的性质得到：在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，作的垂直平分线，的垂直平分线，它们的交点为，连接，，则点就是旋转中心，就是旋转角，求出，再求出旋转角的度数即可．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，折叠的性质等知识，知道旋转中心位于每一对对应点的垂直平分线上，正确找出旋转中心与旋转角是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式．
当时，原式． 

【解析】先对括号里的分式通分，计算出来后，再把除法转化为乘法，最后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值．解题的关键是对分式的分子、分母要进行因式分解．
 

18.【答案】解：

． 

【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、二次根式化简个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等知识点的运算．
 

19.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据证明≌即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：；
根据中位数的定义可知，中位数是第和第个数据的平均数，
组和组的人数和为人，
宣讲前平均每周劳动时间的中位数落在组．
故答案为：，；
，
答：宣讲后平均每周劳动时间的平均数是；
名，
答：宣讲后有名学生达到要求．
根据组的频数和频率计算抽取的总人数，然后利用组的频率计算即可；根据抽取的总人数判断中位数落在哪个组即可；
计算各个组的组中值，然后计算平均数即可；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率频数数据总数是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：问题呈现：解法一：由沿平移得至，
，．
四边形是平行四边形．
，
▱是菱形．
；
   解法二：由沿平移得到，
，．
即．
四边形是矩形，
．
，
．
四边形是菱形．
．
 初步操作：

四边形就是所要拼接的矩形．
理性思考：

证明：四边形是平行四边形，
，，
由作法知，，，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；

证明：四边形是平行四边形，
，，
由作法知，，，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形． 

【解析】问题呈现：解法一：先判断出四边形是平行四边形，进而得出▱是菱形，即可得出结论；
 解法二：先判断出，进而判断出，得出四边形是菱形，即可得出结论；
初步操作：过点，作的垂线，即可得出结论；
过点，作的垂线，即可得出结论；
理性思考：在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，即可得出结论；
在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，即可得出结论；
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定，矩形的性质，掌握菱形的性质和判定和解本题的关键．
 

22.【答案】解：设王二伯家有荒野茶园亩，修剪茶园亩，
根据题意得：，
解得：．
答：王二伯家有荒野茶园亩，修剪茶园亩；
设王二伯需要将亩修剪茶园改造为荒野茶园，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：王二伯至少需要将亩修剪茶园改造为荒野茶园． 

【解析】设王二伯家有荒野茶园亩，修剪茶园亩，根据“茶农王二伯家有荒野茶园和修剪茶园共亩，今年清明节前共采茶青新鲜茶叶千克”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设王二伯需要将亩修剪茶园改造为荒野茶园，根据改造后明年清明节前荒野茶园所采茶青的总产量不低于修剪茶园，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：如图：

证明：设交于，
点是弧的中点，
，
经过圆心，
，，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，，，
由勾股定理得，
，点是弧的中点，
是的垂直平分线，
，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
在中，． 

【解析】作的垂直平分线交于点，再过点作的垂线即可；
根据垂径定理证得，，然后根据平行线的性质得出，即可证得是的切线；
利用勾股定理求得，由是的垂直平分线得出、，进而求得，通过证得∽，得到，进而即可求得．
本题考查了作图复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】证明：和都是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
∽；

解：当时，，
，
，
∽，
，
，
，，共线，
在中，，
，
；

解：结论：．
理由：设，交于点，作交于点．

由可知∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
． 

【解析】根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似；
证明，，共线，利用勾股定理求出，可得结论；
结论：设，交于点，作交于点证明≌，推出，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
 

25.【答案】解：与轴交于点，对称轴是直线，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
解：分别过点，作的垂线，垂足为，，连接交于点，如图，

则．
的面积，的面积，和的面积相等，
，
．
在和中，
，
≌，
，
即点为的中点，
对称轴是直线，
，
，

点在直线上，
，
．
证明：由题意得：直线与抛物线交于，两点，
，
．
．
点，两点的横坐标为方程的两根，
．
连接交于点，如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
点在抛物线上，
，
点的坐标为．
当四边形是平行四边形时，不论为何值，点的坐标不变． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
分别过点，作的垂线，垂足为，，连接交于点，利用三角形的面积公式和已知条件得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用线段中点的坐标的性质求得点的坐标，再利用待定系数法列出关于的方程，解方程即可得出结论；
将直线与抛物线的解析式联立，利用一元二次方程根与系数的关系得到点，的横坐标的关系，利用平行四边形的对角线互相平分得到，，再利用线段中点的横坐标的特征，利用不同的式子表示出点的横坐标，从而得到点的横坐标为，进而求得点的坐标，则点的坐标保持不变．
本题主要考查了抛物线的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，线段中点的坐标的特征，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．