2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中小于的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  清袁牧的一首诗苔中写道“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  正在发展中的西安地铁给百姓的出行带来了极大的便利，它也逐渐成为低碳环保的最佳出行选择，如图，在正方体展开图的六个面上分别写了“市”“内”“请”“乘”“地”“铁”六个字，然后将其围成一个正方体，使得从前面看到“地”，从右边看到“乘”，则从上面看到是应该是(    )

A. “铁” B. “请” C. “内” D. “市”

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击次，然后从他们的成绩平均数环及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．

根据以上图表信息，参赛选手应选(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  九章算术是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平；再一次折叠，使点落到上点处，并使折痕经过点，展平纸片后的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实______ ．

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是______．

14.  如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，求：阴影部分的面积结果保留 ______ ．

15.  如图，在菱形中，，，点为边上一点，，点为边上的一动点，沿将翻折，点落在点处，当点在菱形的对角线上时，的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中，．

17.  本小题分
某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了名学生分成甲、乙两组，每组各人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析满分分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般收集整理的数据制成如下两幅统计图：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
已知该校八年级有人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
请您写出两条提高网络安全意识的建议．

18.  本小题分
小明想测量一颗参天大树的高度，如图所示，在一个阳光明媚的上午某一时刻，大树的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，小明测得落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，，同一时刻，光线与水平面的夹角为，米的竖立标杆在斜坡上的影长为米，求旗杆的高度结果精确到米参考数据：，，

19.  本小题分
已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点．
求，的值；
在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时的取值范围．

20.  本小题分
俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型记作和导弹记作两种模型，若购进种模型件，种模型件，需要元；若购进种模型件，种模型件，需要元．
求购进，两种模型每件分别需多少元？
若销售每件种模型可获利润元每件种模型可获利润元商店用万元购进模型，且购进种模型的数量不超过种模型数量的倍，设总盈利为元，购买种模型件，请求出关于的函数关系式，并求出当为何值时，销售利润最大，并求出最大值．

21.  本小题分
如图，是矩形的对角线．
求作，使得与相切要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，设与相切于点，，垂足为若直线与相切于点，求的值．
 

22.  本小题分
某公司生产型活动板房成本是每个元．图表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
按如图所示的直角坐标系，抛物线可以用表示．求该抛物线的函数表达式；
现将型活动板房改造为型活动板房．如图，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为元已知，求每个型活动板房的成本是多少？每个型活动板房的成本每个型活动板房的成本一扇窗户的成本
根据市场调查，以单价元销售中的型活动板房，每月能售出个，而单价每降低元，每月能多售出个．公司每月最多能生产个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价元定为多少时，每月销售型活动板房所获利润元最大？最大利润是多少？
 

23.  本小题分
已知直线，点是直线上一点，点是直线上一点，与直线、不垂直，点为线段的中点．
操作发现：直线，，垂足分别为、，当点与点重合时如图所示，连接，请直接写出线段与的数量关系：______．
猜想证明：在图的情况下，把直线向上平移到如图的位置，试问中的与的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
延伸探究：在图的情况下，把直线绕点旋转，使得如图所示，若两平行线、之间的距离为求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意．
故选：．
先算绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值等知识点，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示，
为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正方体的展开与折叠，得出折叠后重合的顶点和边是正确判断的前提．
根据正方体的展开与折叠，折叠后，正方体的边重合，再根据方向判断结果即可．
【解答】
解：根据正方体的展开与折叠，
“地”的上边，与“市”的上边折叠后重合在一起，
当从前面看到“地”，从左边看到“乘”，则从上面看到的形状应该是“市”，
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：不能合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及单项式乘除单项式、完全平方公式分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及单项式乘除单项式、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
．
故选：．
根据平角的定义可得，进而求得，由两直线平行，同位角相等即可解答．
本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知丁射击次的成绩为：、、、、、、、、、，
则丁的成绩的平均数为：，
丁的成绩的方差为：，
丙和丁的平均数大，丁的成绩的方差最小，
丁的成绩好且最稳定，
参赛选手应选丁，
故选D．
根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．
本题考查的是方差的概念、性质以及方差的计算，方差的计算公式是：、方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

7.【答案】 

【解析】解：设经过天相遇，
根据题意得：，
，
故选：．
设总路程为，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程大雁的路程总路程列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：由题意可得：，，，
则，故A，
则，
，
，
，
．
故选：．
直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，即，
解得．
故的取值范围为：；
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，、交于点，如右图所示，
六边形是正六边形，的长约为，
，，和约为，
约为，
故选：．
根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形的边长．
本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
 

11.【答案】用两颗钉子就可以把木条固定在墙上答案不唯一 

【解析】解：举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：用两颗钉子就可以把木条固定在墙上答案不唯一．
故答案为：用两颗钉子就可以把木条固定在墙上答案不唯一．
根据直线的性质进行解答即可．
此题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
故原不等式组的解集为．
故答案为：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，依此即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
 

13.【答案】 

【解析】解：四名同学排列共有：种，
九年级同学排在前面的情况为：
九、九、七、八；
九、九、八、七；
九、九、七、八；
九、九、八、七．
共种；前两名都是九年级同学的概率是：．
利用列举法求出四名同学排列的所有情况，再根据概率公式解答即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，，，
，，
阴影部分的面积：，
故答案为：．
过点作于点可求▱和的高，观察图形可知阴影部分的面积▱的面积扇形的面积的面积，计算即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积▱的面积扇形的面积的面积．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
分两种情况：当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得：，，证出，得出；
当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得：，，，求出，证明∽，得出，求出，由比例式，求出的值即可．
本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．
【解答】
解：分两种情况：当点在菱形对角线上时，如图所示：
：由折叠的性质得：，，
四边形是菱形，，
，
，
；
当点在菱形对角线上时，如图所示：
设，
由折叠的性质得：，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
∽，
，即，
，

解得：或不合题意舍去，
，
综上所述，的长为或；
故答案为：或．  

16.【答案】解：


；



，
当时，原式． 

【解析】根据绝对值的性质，零指数幂，立方根计算即可求解；
先算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．同时考查了绝对值，零指数幂，立方根．
 

17.【答案】     

【解析】解：甲组的平均数，
将乙组的名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数，
乙组名同学成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是，即，
故答案为：，，；
人，
答：估计八年级网络安全意识非常强约有人．
加强引导，让网络成为他们学习、工作、生活的工具，而不是浪费时间的玩具．学校应尽早开展网络安全教音，营造绿色健康的网络生态环境，加强网络秩序整顿，健全长效监管机制
根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
建议合理即可．
本题考查了条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：过点作，交于点，过点作，垂足为，

由题意得：米，，，，，
，，
∽，
，
，
米，
米，
在中，，
米，
米，
旗杆的高度约为米． 

【解析】过点作，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，，，从而可得，，进而可得∽，然后利用相似三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：将点坐标代入反比例函数得：．
，
，
将点坐标代入正比例函数得：，
．
故，．
如图：

正比例函数值大于反比例函数值时的取值范围：或． 

【解析】将点坐标代入反比例函数即可求出，即可找到点的坐标；将点坐标代入正比例函数即可求解．
先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键在于求出或者找到交点坐标．
 

20.【答案】解：设购进，两种模型每件分别需要元，元，
由题意得：，
解得，，
答：，两种模型每件分别需要元，元．
设购买种模型件，购买种模型件，
由题意得，，
解得，，
则购买种模型为件，即件，
则，
，
当取最小值时，最大，
，取整数，
当时，．
答：；当时，利润最大为元． 

【解析】设购进，两种模型每件分别需要元，元，列方程组求解即可．
设购买种模型件，购买种模型件，由题意得，，求出的范围，再列出与的函数关系式，求最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出方程组，函数关系式是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意作图如下：

设，的半径为，

与相切于点，与相切于点，
，，
即，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
在和中，，，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
又，
≌，
，
，
在中，，
即，
，
即，
，
，
即的值为． 

【解析】本题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
以为圆心长为半径画弧交与，作的垂直平分线，交与，以为圆心为半径画圆即为所求；
设，的半径为，证四边形是正方形，根据证≌，得出，，根据等量关系列出关系式求出的值即可．
 

22.【答案】解：长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
，
，
，，
该抛物线的函数表达式，
把点代入，得，
该抛物线的函数表达式为：；
，
，
当时，，
，
，
，
每个型活动板房的成本是：
元．
答：每个型活动板房的成本是元；
根据题意，得

，
每月最多能生产个型活动板房，
，
解得，
，
时，随的增大而减小，
当时，有增大值为元．
答：公司将销售单价元定为元时，每月销售型活动板房所获利润元最大，最大利润是元． 

【解析】根据图形和直角坐标系可得点和点的坐标，代入，即可求解；
根据和的横坐标相等，求出点坐标，再求出矩形的面积，即可求解；
根据题意得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
 

23.【答案】解：；
把直线向上平移到如图的位置，仍然成立，理由如下：
如图，过作于点，连接，
，
三角形是直角三角形，点为线段的中点，
，
又点为线段的中点，
，
；
，
，
直线，
，
，
又直线，，，，
，
，
在和中，

≌，
．
如图，延长交直线于点，作于点，
，
直线，
，
，
，
，
又，
；
在和中，

∽，
，
，
，，，
，
． 

【解析】

解答：，
，
三角形是直角三角形，
又点为线段的中点，
．
见答案；
见答案．
另外可以用面积证明：此时过做、的垂线分别交于、两点，，，为的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以，由此即可解决问题，这种方法比较简单
【分析】
根据三角形是直角三角形，而且点为线段的中点，应用直角三角形的性质，可得，据此解答即可．
首先过作于点，连接，然后分别判断出、、；然后根据全等三角形判定的方法，判断出∽，即可判断出仍然成立．
首先延长交直线于点，作于点，然后根据相似三角形判定的方法，判断出∽，即可判断出，再个，，，可得，所以，据此解答即可．
此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．