2023年陕西省渭南市蒲城实验中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年陕西省渭南市蒲城实验中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  志愿服务传递爱心，传播文明下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，，于点，交于点，交于点，已知，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在菱形中，在对角线上取一点，使得，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知直线与的交点坐标为，则关于，的方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，、是的两条互相垂直的弦，且，过点作于点，于点若，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某市新建一座景观桥如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为米，桥拱的最大高度为米不考虑灯杆和拱肋的粗细，则与的距离为米的景观灯杆的高度为(    )
 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

8.  在实数，，，中，最小的一个数是______ ．

9.  如图，将绕点顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为______
 

10.  把这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”图，是世界上最早的“幻方”图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为______ ．

 

11.  在平面直角坐标系中，已知双曲线经过、两点，则______填“”、“”或“”．

12.  如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
化简：．

15.  本小题分
解方程：．

16.  本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法在上找一点，连接，使得保留作图痕迹，不写作法
 

17.  本小题分
如图在四边形中，，交于点，点在上，请你再添加一个条件不再标注或使用其他字母，使∽，并给出证明．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，．
写出点关于轴对称的点的坐标______ ；
在图中作出关于轴的对称图形，点、、的对应点分别为，，．

19.  本小题分
诚信是中华民族的传统美德，也是现代文明的重要标志，既是为人之道，又是做人之本，也是当代人民塑造健康人格、实现人生价值的道德基石某班计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔一名活动主持人，小丽和小华都想当主持人，他们主持水平相当，但只有一个名额班委会商议后，决定用游戏的方式在他们二人中确定一名如图是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字，，，；转盘中圆心角为的扇形上面标有数字，其余部分上面标有数字规则如下：小丽自由转动转盘，小华自由转动转盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，将转得的数字相加，如果和为偶数，则小丽当主持人；如果和为奇数，则小华当主持人若指针落在分隔线上，则无效，需重新转动转盘
“小丽转动转盘，转盘停止后指针指向数字”是______ 事件；填“必然”或“随机”或“不可能”；
请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

20.  本小题分
校训是一个学校的灵魂，体现了一所学校的办学传统，代表着校园文化和教育理念，是人文精神的高度凝练，是学校历史和文化的积淀小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量学校教学楼上校训牌的高度，如图，她先在教学楼前的处测得校训牌上端处的仰角为，然后她后退到达处，又测得该校训牌下端处的仰角为，发现与恰好互余，已知教学楼的高，，小颖的眼睛离地面的距离，且，，三点共线，，，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，请你根据以上信息帮助她求出校训牌的高度．

21.  本小题分
今年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词周年年来，雷锋精神历久弥新，是中国共产党人精神谱系的重要组成部分，是中华民族水恒的精神符号为了更好弘扬雷锋精神，某校开展“传承雷锋精神争做时代新人”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品校团委负责人到书店购买甲、乙两种书籍作为奖品已知甲种书籍的单价为元册，乙种书籍的单价为元册学校准备购买甲、乙两种书籍共册，此时，甲种书籍因改版售价比原价增加了，乙种书籍的售价按原价的八折出售设学校购买册甲种书籍，购买这两种书籍所需总费用为元．
求与之间的函数表达式；
若学校要求本次购买甲种书籍的数量不少于乙种书籍数量的倍，当购买多少册甲种书籍时，可使所需总费用最低？

22.  本小题分
年全国两会，是中共二十大闭幕后的又一重大活动，意义非凡，为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，受到老师们的广泛关注和同学们的积极响应为了解全校学生关注两会的情况，该校学生会随机抽查了部分学生在某一周阅读关于两会文章的篇数，并将统计结果绘制成如下的统计图表不完整．
调查学生某一周阅读关于两会文章篇数统计表

请你根据图表中提供的信息解答下列问题：
填空：扇形统计图中的度数为______ ，所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的中位数是______ ，众数是______ ；
求本次所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的平均数量；
按照学校规定“学生这一周阅读关于两会文章篇数不少于篇”为达标，若该学校大约有名学生，请你估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数．

23.  本小题分
如图，为的直径，为外一点，连接、，分别交于点、，且为的中点，连接，过点作的切线，交的延长线于点．
求证：；
连接，若的半径为，，求的长．

24.  本小题分
如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的函数表达式；
若抛物线与抛物线关于轴对称，的顶点为请问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，线段、的端点均在格点上，在图的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；
如图，在等邻边四边形中，，，，，求的长；
【拓展提升】
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，已知，，是的中点在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值：，
故选：．
根据绝对值的性质：即可得出答案．
本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，，
，
，
，
．
故选：．
由“两直线平行，同位角相等”得到，由垂直定义得到，由此即可得解．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，

设，则，
四边形是菱形，，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，，
，
即，
整理得：，
解得：，不符合题意舍去，
，
，
故选：．
连接交于点，设，则，由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，，则，得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线经过
，
交点坐标为，
方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
方程组的解，
故选：．
方程组的解是一次函数的交点坐标即可．
本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是一次函数的交点坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，，
．
四边形是矩形．
，，、经过圆心，
，．
，
．
四边形是正方形．
．
在直角中，由勾股定理知：．
故选：．
根据“三个角是直角的四边形是矩形”判定四边形是矩形；再由垂径定理和正方形的判定定理推知四边形是正方形；最后在直角中利用勾股定理求得答案．
本题主要考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及勾股定理，根据题意判定“四边形是正方形”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为，
由题意可知，的坐标为，
，
，
，
当时，．
与距离为米的景观灯杆的高度为米，
故选：．
以所在直线为轴、所在直线为轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点坐标代入求得抛物线解析式，再求当时的值即可．
本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据实数的大小关系，得．
最小的一个数为．
故答案为：．
根据实数的大小关系解决此题．
本题主要考查实数的大小关系，熟练掌握实数的大小关系是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，得，，进而根据三角形的内角和定理得结果．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，
，
故答案为：．
由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程，列出方程，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
函数在第一象限内随的增大而减小，
双曲线经过、两点，
．
故答案为：．
由解析式判断函数在第一象限内随的增大而减小，从而判断的大小关系．
本题考查了反比例函数的增减性：“当时，函数在各个象限内随的增大而减小”．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，延长至，使，连接，点为的中点，以点为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点，连接，

，，
点是在以点为圆心，为直径的圆上运动，
是矩形左侧一点，
点是在上运动，
，
点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
当、、三点共线时，最长，
此时的最大值为的长度，
，
，
四边形为矩形，，，
，，，，
，
，
∽，
，
，，
设，则，
，
解得：，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
故答案为：．
延长至，使，连接，点为的中点，以点为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点，连接，由题意可知点是在上运动，再证明为的中位线，则，要求的最大值，即求的最大值，当、、三点共线时，最长，易证明∽，由相似三角形的性质可得，则，，进而得出，根据勾股定理求出，则，，最后根据即可求解．
本题主要考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、点与圆的位置关系、勾股定理，根据三角形中位线定理将求的最大值转化为求的最大值是解题关键．
 

13.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】利用多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果．
本题考查了多项式乘多项式，整式的除法，掌握多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

16.【答案】解：如图，点即为所作．
 

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：添加：：．
，
．
：：，
∽．
还可添加或或． 

【解析】欲证∽，通过发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．
本题考查相似三角形的判定的理解及运用．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
如图，即为所求．
关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
根据轴对称的性质作图即可．
本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】随机 

【解析】解：“小丽转动转盘，转盘停止后指针指向数字”是随机事件，
故答案为：随机；
这个游戏规则对双方公平，理由如下：
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中和为偶数的结果有种，和为奇数的结果有种，
小丽当主持人的概率，小华当主持人的概率，
小丽当主持人的概率小华当主持人的概率，
这个游戏规则对双方公平．
由随机事件的定义即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果，其中和为偶数的结果有种，和为奇数的结果有种，再由概率公式求出小丽当主持人的概率小华当主持人的概率，即可得出结论．
本题考查了游戏公平性以及树状图法求概率，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
 

20.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
校训牌的高度为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，，，从而可得，再利用同角的余角相等可得，然后再利用线段的和差关系求出，从而利用证明≌，进而可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：，
与之间的函数表达式为；
甲种书籍的数量不少于乙种书籍数量的倍，
，
解得，
在中，，
当时，最小，
购买册甲种书籍时，可使所需总费用最低． 

【解析】根据总费用购买甲、乙两种书籍费用之和列出函数解析式即可；
根据购买甲种书籍的数量不少于乙种书籍数量的倍，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
 

22.【答案】     

【解析】解：本次所调查学生人数为：；
扇形统计图中的度数为；
所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的中位数是，众数是．
故答案为：；；；
由可得，，
本次所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的平均数量为：；
名，
答：估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数大约为名．
先用阅读篇的人数除以可得样本容量，用乘样本中阅读关于两会文章篇数篇的人数所占比例即可求出的度数；再根据中位数和众数的定义解答即可；
利用加权平均数的计算方法解答即可；
用样本估计总体，即用乘样本中“学生这一周阅读关于两会文章篇数不少于篇”所占比例即可．
本题考查扇形统计图、统计表、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
为的中点，
即，
，
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
即，
，
；
解：为的中点，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
在中，，
，
． 

【解析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，，再根据切线的性质得到，则利用等角的余角相等得到，从而得到；
先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，则可判断，所以，则，接着在中利用余弦的定义可计算出，和利用勾股定理计算的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．
 

24.【答案】解：抛物线：与轴交于，两点，
，
抛物线的函数表达式为；
抛物线与抛物线关于轴对称，
抛物线的解析式，
，
点，
把代入得，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
点，
不合题意，舍去，
，
把代入得，
解得，
或． 

【解析】利用交点式直接确定函数解析式；
根据轴对称的性质得到抛物线的解析式，然后求得、的坐标，利用求得四边形的面积，进一步求得的面积，利用三角形面积公式求得的纵坐标，代入求得横坐标即可．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，能够根据轴对称的性质确定后抛物线的解析式是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意知，四边形是等邻边四边形，
作图如下：答案不唯一

连接，过点作于点，

，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在矩形内或边上，存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，
理由如下：
如图，当时，四边形为“等邻边四边形”，当取最大值时，四边形为面积最大的“等邻边四边形”，

四边形是矩形，，，为的中点，
，，，，
设点的坐标为，则，
，
，
，
解得，
，点的坐标为，
，
存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形的面积最大值为，点的坐标为． 

【解析】根据“等邻边四边形”的定义作图即可；
连接，根据是等边三角形得出，过点作于点，求出，的长度，根据的长度求出的长度，最后利用勾股定理求出即可；
先确定存在点，设点的坐标为，则，根据，列方程求出的值，然后确定点的坐标和四边形的面积最大值即可．
本题主要考查四边形的综合题，正确理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键．