福建省泉州市2023届高三下学期5月适应性练习数学试卷（含答案）

福建省泉州市2023届高三下学期5月适应性练习数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则（）

A. B. C. D.

2、已知复数为纯虚数，则实数a等于（）

A.-1 B.0 C.1 D.2

3、等差数列中，，则的前9项和为（）

A.-180 B.-90 C.90 D.180

4、已知，，且满足，则（）

A. B. C. D.

5、已知双曲线C的焦点分别为，，虚轴为，若四边形的一个内角为，则C的离心率等于（）

A. B. C. D.3

6、已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点.若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A. B. C. D.

7、已知圆关于直线对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值等于（）

A.2 B.4 C.8 D.16

8、人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点），已知，，则的最大值近似等于（）

(参考数据：，)

A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948

二、多项选择题

9、已知向量，，则下列说法正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.的最大值为2 D.的取值范围是

10、在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势，如图为2022年2月至2023年l月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比，就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是（）

A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为

B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0

C.图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大

D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值

11、函数的图象可以是（）

A. B.

C. D.

12、直四棱桂中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且x，，则下列说法正确的是（）

A.当时，

B.若，则P的轨迹长度为

C、若平面，则

D.当时，若点O满足，则OP的取值范围是

三、填空题

13、曲线在点处的切线方程为_____.

14、已知定义在R上的函数满足：为偶函数：当时，.写出的一个单调递增区间为_______.

15、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过的直线l与C交于A，B两点.若的面积等于的面积的2倍，则_______.

16、将0，1，2，3，10任意排成一行，可以组成_____个不同的6位数.(用数字作答)

四、解答题

17、数列中，，且.

(1)证明：数列为等比数列，并求出；

(2)记数列的前项和为.若，求.

18、在平面四边形ABCD中，，，点B，D在直线AC的两侧，，

（1）求

（2）与的面积之和的最大值.

19、在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点P在平面ABCD内的投影落在棱AD上，

（1）求证：平面平面PDC

（2），，当四棱锥的体积最大时，求平面PDC与平面PBC的夹角的余弦值..

20、某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置：游戏在两人中进行，参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张，规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束，能够获得最后一张奖券的参与者获胜。
（1）从胜负概率的角度，判断游戏规则设置是否公平；
（2）设游戏结束时参双方摸券的次数为X，求随机变量X的分布列.

21、已知函数.

（1）判断的导函数的零点个数；

（2）若，求a的取值范围.

22、在锐角中，，于点D，.

（1）建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C

（2）点F是以AB为直径的圆上的中点，过点F的直线与C交于P，Q两点，判断是否存在定点R，使得为定值.

参考答案

1、答案：D

解析：由题意可得，则.

2、答案：A

解析：因为为纯虚数，所以，解得.

3、答案：C

解析：因为，所以，又，所以，所以.

4、答案：B

解析：因为，可得，因为，所以，又因为，则，，所以，整理得.

5、答案：A

解析：因为，，，由对称性可得：四边形为菱形，且，所以，即，可得，整理得，即C的离心率.

6、答案：C

解析：

因为，且为直角三角形，则，又因为M为SA的中点，则，可得为等边三角形，即，所以该圆锥的侧面积.

7、答案：B

解析：

圆C：，即，虽心为，直线：，因为，所以直线的斜率不为0，又，令，解得，即直线恒过定点，又圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，解得，所以圆C：，半径，显然，即圆C过坐标原点O，因为1与C交于A，B两点，即AB为直径的两个端点，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号，

8、答案：B

解析：

设，由题意可得：，即，可知表示正方形ABCD，其中，，，，即点在正方形的边上运动，

因为，，由图可知：当取到最小值，即最大，点N有如下两种可能：①点N为点A，则，可得；②点N在线段上运动时，此时与同向，不妨取，则；因为，所以的最大值为.

9、答案：ACD

解析：因为向量，，所以

，对于A，当时，，则故A正确；对于B，，，，，解得：，故B错误；

对于C，已知，，，的最大值为2，故C正确；

对于D，向量，，，，，，，，所以的取值范围为

10、答案：AC

解析：由折线图可得增速百分比(%)由小到大依次为：-11.1，-6.7，-5.9，-3.5，-1.8，-0.5，2.5，2.7，3.1，3.5，5.4，6.7，

对于选项A，12个月的月度同比增速百分比的中位数为故A选项正确；对于选项B，，12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B选项错误；对于选项C，由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C选项正确；对于选项D，，可知大于-0.47的有2.5，2.7，3.1，3.5，5.4，6.7，共有6个，共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D选项错误.

11、答案：AD

解析：

12、答案：BCD

解析：

对于A，由题意，x，，当P与D重合时，假设，则，又，，，平面，则平面，又平面，则，因为底面ABCD是菱形，，所以为等边三角形，与矛盾，则假设不成立，故A错误；对于B，分别取BD，的中点，N，因为底面ABCD是菱形，所以，又平面ABCD，且平面ABCD，所以，又，BD，平面，则平面，又平面，则，因为四边形为正方形，则，又，，平面，所以平面，所以P的轨迹是线段，而，故B正确；

对于C，取的中点，连接，，因为M为AD的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理，平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，若平面，则P的轨迹是线段，因为，所以，故C正确；

对于D，取的中点Q，连接BQ交于点S，过B作交于点E，当时，P的轨迹是线段BQ，因为为等边三角形，M为AD的中点，所以，又，所以点O在直线上，在中，，则点O在线段BP的垂直平分线上，所以点O为直线与线段BP的垂直平分线的交点，当P与Q重合时，点O为S；当P与B重合时，点O为E；当P在线段BQ上时，点O在线段SE上，因为，所以，，因为x，，且，所以OP的取值范围是，故D正确.

13、答案：

解析：因为，所以，所以，可得曲线在点处的切线方程为：.

14、答案：

解析：因为为偶函数，所以，因此的图象关于直线对称.当时，，所以在单调递减，在单调递增.由对称性，可得在单调递减，在单调递增.故的一个单调递增区间为.

15、答案：

解析：

由题意，知抛物线的焦点，准线.设O，F到直线AB的距离分别为，则，又，，从而，所以.分别过点A，B作于，于，则，，，所以，故答案为.

16、答案：84

解析：将0，1，2，3，10任意排成一行，且数字0不在首位，有种，数字1和0相邻且1在0之前的排法有种，故所求满足题意的6位数有个.

17、答案：（1）证明见解析，

（2）1360

解析：（1）由可得，因为，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列所以，即.

（2）因为，当时，，所以，即，又，所以.又因为，所以，

18、答案：（1）

（2）1

解析：（1）在中，由余弦定理，得因为，，，所以，即.所以，故.

（2）设，，则.在中，由正弦定理，得，即，所以.因为，，所以，因为，所以，当，即时，，故与的面积和的最大值为1

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）作于点O，由已知平面ABCD，又平面ABCD，所以，又因为，，AD，平面PAD，所以平面PDA因为平面PDC，所以平面平面PDC.

(2)

过O作于，连结PE.由已知，，，得，所以，又因为平面ABCD，又平面ABCD，所以，且，，PO，平面POE，所以平面POE，又平面POE，所以.所以，且，，四棱锥的体积为，在中，，所以，当且仅当时，，此时四棱锥的体积最大，以O为坐标原点，向量，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面PDC的法向量为.则即取，则.设平面PBC的法向量为.则即取，则.设平面PDC与平面PBC的夹角为，，所以，故平面PDC与平面PBC的夹角的余弦值为.

20、答案：（1）不公平，理由见解析

（2）分布列见解析

解析：（1）将3张空白券简记为“白”，将2张奖券简记为“奖”，率先摸券的一方获胜，包括以下几种情况：①双方共摸券3次，出现“奖白奖”、“白奖奖”、“白白白”这三种情形，对应的概率为；②双方共摸券4次，出现的恰好是“三白一奖且前三次必定出现一次奖券”，对应的概率为故先摸券的一方获胜的概率为.又，故这场游戏不公平.

(2)由题意可知X的所有可能取值为2，3，4.

，，，

所以X的分布列为

21、答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）.当时，，此时没有零点；当时，由于，即在单调递增.取，，则，由零点的存在性定理，可知存在唯一的零点.

（2）因为，由(1)可知，即有且当时，单调递减；当时，，单调递增：所以，因此只需，即，令，则只需，因为，所以在单调递增，又，由，可得，即，故.

22、答案：（1）

（2）存在，证明见解析

解析：（1）

如图，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，则，，设，因为是锐角三角形，所以，则，，.由，得，整理，得，所以点M的轨迹方程为.

（2）因为点F是以AB为直径的圆上的中点，所以点F在y轴上，不妨设点.假设存在满足条件的点.①当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，，由消去y，得，整理，得，从而，，，，在中，由余弦定理，得

所以解得，此时，②当PQ的斜率不存在时，PQ的方程为，此时，，，，，所以，故，综上，可知存在定点，即.