2022-2023学年山东省德州五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州五中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下列四组数中，不是勾股数的一组数是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  如图曲线中不能表示是的函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示：是一段楼梯，高是，斜边是，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在四边形中，点，分别是，的中点，，分别是，的中点，，满足什么条件时，四边形是菱形(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与点重合，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，正方形的边长为，两条对角线，相交于点，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，若为的中点连接有如下结论：；为等腰直角三角形；；四边形周长的最小值为其中一定成立的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共28.0分）

13.  若，则的值为______ ．

14.  一个直角三角形的两边长为和，则它的第三边长为______．

15.  如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为______ ．

16.  如图，数轴上点表示的实数为______．

17.  如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为______ ，点的坐标为______ ．

18.  如图，在中，，，，点在边上，以为对角线的平行四边形中，是对角线的交点，的最小值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  已知，在中，，垂足为，，，求与的长．

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：；
已知：，，计算的值．

21.  本小题分
某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从、两地发出求救信号于是，第一艘搜救艇以海里时的速度离开港口沿北偏东的方向向地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口出发，以海里时的速度向地出发，小时后，他们同时到达各自的目标位置此时，他们相距海里求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？

22.  本小题分
如图，矩形的对角线相交于点，，．
求证：四边形是菱形．

23.  本小题分
在▱中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若平分，，，求▱的面积．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．
求证：；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由．

25.  本小题分
综合与探究．
如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且和之间有怎样的关系请说明理由；
如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：；
运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图在直角梯形中，，，，是上一点，且，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据进行计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，不是勾股数，符合题意．
故选：．
欲判断三个数是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题主要考查了勾股数的定义，会判断一组数是不是勾股数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项判断．
本题考查二次根式的运算，解题是关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确．
故选D．
平行四边形的五种判定方法分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，确定正确的选项．
本题考查了函数的图象以及函数的概念，掌握函数的定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可以推导出，可得，又，利用即可求得．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选B．
【点评】
本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．  

7.【答案】 

【解析】解：，，
则，
在直角三角形中有：，
则．
故选：．
首先把与的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边平方的关系，然后得到的值．
本题考查了勾股定理，解题关键在于通过勾股定理建立好两个半圆的面积与斜边的联系．
 

8.【答案】 

【解析】解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故选：．
先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高，楼梯的宽的和即为的长，再把、的长相加即可．
本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，四边形是菱形．理由如下：
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是菱形．
故选：．
证是的中位线，得，，同理，，，，则，，得四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：．
图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：三角形沿翻折，使得点与点重 合，
，
，
，
在中，
，
解得，
故选：．
根据折叠可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，故正确；
四边形是正方形，
，，，
又，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，故正确；
是等腰直角三角形，点是的中点，
，
，，
，
，
，故正确；
四边形周长，
当有最小值时，四边形周长有最小值，
当时，有最小值为，
四边形周长的最小值为，故错误，
故选：．
由线段和差关系可得，故正确；由“”可证≌，可得，，可证是等腰直角三角形，故正确；由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，故正确；由四边形周长，则当有最小值时，四边形周长有最小值，即当时，四边形周长的最小值为，故错误，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
解得：，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出，进而求出，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】

【分析】
分和分别是一条直角边长和斜边长，和是两条直角边长两种情况，运用勾股定理进行计算即可．
【解答】
解：当和分别是一条直角边长和斜边长时，
第三边长为：；
当和是两条直角边长时，
第三边长为：．
故答案为或．
【点评】
本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据两种不同情况分类讨论，在解题时很容易忽略掉另一种情况而造成漏解．  

15.【答案】 

【解析】解：，，
为的中点，
又是的中点，
为的中位线，
，，
，
，
故答案为：．
根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证为的中点，再求证为的中位线，从而求得结论．
本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
圆弧半径为，
则点表示的实数为．
故答案为：．
先根据勾股定理求出圆弧半径，再用减去半径即可得到答案．
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：如图，过作轴于，过作轴于，
则，，

正方形，
，，
，
，
≌，
，
，，
，
如图所示，


同理可得：≌，则，
故答案为：，．
如图，过作轴于，过作轴于，证明≌，再利用全等三角形的性质可得答案，同理可得，≌，从而求得点的坐标．
本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握利用三垂直证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，
．
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
，，，
四边形为矩形，
．
故答案为：．
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
 

19.【答案】解：在中，，垂足为，，，
由勾股定理得：，
，
． 

【解析】在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长即可．
此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

；
，，

． 

【解析】根据二次根式的加减计算括号内的，然后根据二次根式的除法进行计算即可求解；
先计算的值，然后根据完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题得：海里；海里，
，，
，
为直角三角形，
，
由题知，
，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西度． 

【解析】根据题意求出、，根据勾股定理的逆定理推证出即得．
本题考查了勾股定理和其逆定理的应用，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形． 

【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四形是矩形；

解：四边形是矩形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
在中
，
，
，
▱的面积． 

【解析】根据平行四边形性质得出，得出平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，得出，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
；

解：四边形能够成为菱形，理由如下：
，，
，

，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，平行四边形是菱形． 

【解析】利用的直角三角形进行证明即可；
利用邻边相等的平行四边形是菱形进行计算即可．
本题考察三角形中的动点问题，熟练掌握的直角三角形的性质和菱形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：且，
证明：如图，

四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，即；
延长至，使，连接，
，
，
≌，
，
，即，
，且，，
≌，
，
；

如图：过点作于，
，，
，
，，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，
由可得，
，
在中，．
．
，
．
 

【解析】根据正方形的性质，可证明≌，从而得出，，再利用余角的性质得到；
延长至，使，连接，由≌，可得，即可求，且，可证≌，则结论可求．
过点作于，可证四边形是正方形，根据的结论可得，根据勾股定理列方程可求的长，即可得出．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．