江苏省南京外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年年南京外国语学校八下期中数学

一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）

1．下列调查方式合适的是（　　）

A．为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 

B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式 

C．调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式 

D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式

2．如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是（　　）

A．仙游明天将有85%的时间下雨 

B．仙游明天将有85%的地区下雨 

C．仙游明天下雨的可能性较大 

D．仙游明天下雨的可能性较小

3．把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（　　）

A．扩大到原来的8倍 B．缩小到原来的8倍 

C．是原来的 D．不变

4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．48 C．72 D．96

5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）

A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 

B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 

C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 

D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形

6．已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对

二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）

7．在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是 　   　事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）

8．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有40名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是 　   　．

9．如图是友谊商场某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是 　   　月份．

10．如图，在▱ABCD中，AE＝2，AD＝5，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为 　   　．

11．如果m+n＝4，那么代数式（+2n）•的值为　   　．

12．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需　   　小时．

13．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD＝8，且两条对角线的夹角为60°，则该四边形较短的“中对线”的长为 　   　．

14．若关于x的方程无解，则m＝　   　．

15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　   　秒后，四边形BEDF是矩形．

16．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是　   　．

三．解答题（共10小题，共68分）

17．（6分）先化简再求值：，在0，1，2中选择合适的x的值代入并求值．

18．（6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．

（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；

（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；

（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　   　．

19．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，

（1）在统计表中，m＝　   　，n＝　   　，并补全直方图；

（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 　   　；

（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．

20．（6分）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　   　（精确到0.1）；

（2）试估计袋子中有黑球 　   　个；

（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　   　个或减少黑球 　   　个．

21．（6分）已知关于x的分式方程．

（1）当m＝1时，求方程的解．

（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．

22．（6分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）当AB＝AC时，判断四边形ADCF的形状，并说明理由．

23．（6分）乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程．某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：＝30．

（1）根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是 　   　．

A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务

B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务

C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务

D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务

（2）在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？

24．（6分）阅读下列材料，并解答问题：

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b

则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b

∵对于任意x上述等式成立

∴解得：

∴

这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．

（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　   　；

（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　   　；

25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．

（1）求证：CG＝CE；

（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；

（3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度．

26．（9分）【探究与应用】

我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，联结DE，则AC∥ED．

（1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；

小明同学提出如下解题思路，请补全：

【思路分析】

由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE,BC=EC;由平行四边形性质得__________,AD∥BC，由上面分析可证得EC=AD_________,这样就可以得到OA=OC,则_______在由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证∠CAD＝∠ACE=∠OED＝∠ODE，即可得出结论.

（2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，求△AOC的面积；

（3）（3）①如果∠B＝30°，AB＝3，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．

②设BC的长度为x，当AC<ED时，直接写出x的取值范围。

2022-2023学年年南京外国语学校八下期中数学

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．下列调查方式合适的是（　　）

A．为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 

B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式 

C．调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式 

D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式

【解答】解：A．为了解全国中学生的视力状况，宜采用抽样调查的方式，因此选项A不符合题意；

B．为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，因此选项B不符合题意；

C．调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，宜采用抽样调查的方式，因此选项C符合题意；

D．对“天问一号”火星探测器零部件的检查，宜抽取全面调查的方式，因此选项D不符合题意；

故选：C．

2．如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是（　　）

A．仙游明天将有85%的时间下雨 

B．仙游明天将有85%的地区下雨 

C．仙游明天下雨的可能性较大 

D．仙游明天下雨的可能性较小

【解答】解：如上图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”，对这条信息的上列说法中，正确的是仙游明天下雨的可能性较大，

故选：C．

3．把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（　　）

A．扩大到原来的8倍 B．缩小到原来的8倍 

C．是原来的 D．不变

【解答】解：把分式中的m、n都扩大到原来的8倍为：，

∴分式的值扩大到原来的8倍，

故选：A．

4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．48 C．72 D．96

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，

∴AC＝12，

∵DH⊥AB，

∴∠BHD＝90°，

∴BD＝2OH＝2×4＝8，

∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48，

故选：B．

5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）

A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 

B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 

C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 

D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形

【解答】解：如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；

如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；

如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；

如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；

故选：D．

6．已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对

【解答】解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．

∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．

结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．

∴M＝＝，N＝＝．

∴MN＝≤0．

∴结论Ⅱ正确．

综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．

故选：A．

二．填空题（共10小题）

7．在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是 　随机　事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）

【解答】解：在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是随机事件，

故答案为：随机．

8．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有40名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是 　18　．

【解答】解：该班学会炒菜的学生频数为：40×0.45＝18，

故答案为：18．

9．如图是友谊商场某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是 　2　月份．

【解答】解：由图象中的信息可知，

利润＝售价﹣进价，利润最大的是2月，

故答案为：2．

10．如图，在▱ABCD中，AE＝2，AD＝5，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，则CD的长为 　3　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD＝BC＝5，

∴∠E＝∠DCE，

∵CE是∠BCD的平分线，

∴∠BCE＝∠DCE，

∴∠E＝∠BCE，

∴BE＝BC＝5，

∴CD＝AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，

故答案为：3．

11．如果m+n＝4，那么代数式（+2n）•的值为　8　．

【解答】解：原式＝•

＝•

＝2（m+n），

当m+n＝4时，原式＝2×4＝8．

故答案为8．

12．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需　　小时．

【解答】解：由题意可得，假设A到B顺流，则B到A逆流，

轮船往返两个港口之间需要的时间为：＝小时，

故答案为：．

13．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD＝8，且两条对角线的夹角为60°，则该四边形较短的“中对线”的长为 　4　．

【解答】解：分别取AB、BC、CD、AD的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，设AC与BD的交点为Q，

则EF＝AC＝4，EF∥AC，GH＝AC＝4，GH∥AC，EH＝BD＝4，EH∥BD，

∴四边形EFGH为菱形，∠HEF＝∠AQB＝60°，

∴△EFH为等边三角形，

∴HF＝EF＝4，

故答案为：4．

14．若关于x的方程无解，则m＝　﹣1或1　．

【解答】解：，

两边同时乘以x﹣1得，2﹣x＝﹣mx，

移项得，（1﹣m）x＝2，

∵方程无解，

当m＝1时，方程无解，

当x＝1时，1﹣m＝2，

∴m＝﹣1，此时方程无解，

综上所述，当m＝1或m＝﹣1时，方程无解，

故答案为﹣1或1．

15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　2或10　秒后，四边形BEDF是矩形．

【解答】解：设运动的时间为t秒，

∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，

∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝4，，

∵AE＝CF＝t，

∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形，

∴OE＝OD，

∴6﹣t＝4或t﹣6＝4，

∴t＝2或t＝10，

∴经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形，

故答案为：2或10．

16．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是　2+2　．

【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．

由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，HG＝CD＝4，

∵QH＝QG，

∴QG＝2，

在Rt△BCN中，BN＝＝2，

∵∠CBG＝90°，PC＝PG，

∴PB＝PG＝PC，

∴PQ+PG＝PN+PB≥BN＝2，

∴PQ+PG的最小值为2，

∴△GPQ的周长的最小值为2+2，

故答案为2+2．

三．解答题（共10小题）

17．先化简再求值：，在0，1，2中选择合适的x的值代入并求值．

【解答】解：原式＝

＝

＝，

x≠0，1，﹣1，

所以x＝2，

原式＝．

18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．

（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；

（2）将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1；

（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　（0，1）　．

【解答】解：（1）作图如下：

（2）作图如下：

（3）根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；

故旋转中心在线段BE、CF的中垂线上；

由图像可知，该点的坐标为（0，1）．

19．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，

（1）在统计表中，m＝　30　，n＝　20　，并补全直方图；

（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 　90°　；

（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．

【解答】解：（1）根据B组的数据可知，抽查的总人数是15÷15%＝100（人），

∴D组中的m＝100×30%＝30，E组中的n＝100×20%＝20，

补全直方图如图．

故答案为：30，20；

（2）“C组”的人数是25人，占本次抽查人数的，

∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是，

故答案为：90°．

（3）听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是，

∴该校共有2000名学生中优秀人数约是（人）．

故听写“优秀”的学生人数约为400人．

20．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　0.6　（精确到0.1）；

（2）试估计袋子中有黑球 　30　个；

（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　10　个或减少黑球 　10　个．

【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，

故答案为：0.6；

（2）黑球的个数为50×0.6＝30个，

故答案为：30；

（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，

即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，

故答案为：10，10．

21．已知关于x的分式方程．

（1）当m＝1时，求方程的解．

（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．

【解答】解：（1）当m＝1时，

，

，

，

，

去分母得：x+1＝2（x﹣1），

解得：x＝3，

检验：当x＝3时x﹣1≠0，

故方程的解为：x＝3；

（2），

，

，

，

去分母得：x+m＝2（x﹣1），

解得：x＝m+2，

由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0，

即：m+2≠1且m+2≥0

即：m≥﹣2且m≠﹣1

22．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）当AB＝AC时，判断四边形ADCF的形状，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE．

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF＝BD，

∴AF＝DC．

∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）解：四边形ADCF是矩形．理由如下：

在△ABC中，AB＝AC，AD是斜边BC上的中线，

∴AD⊥BC，

∵四边形ADCF是平行四边形，

∴平行四边形ADCF是矩形．

23．乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程．某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：＝30．

（1）根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是 　C　．

A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务

B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务

C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务

D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务

（2）在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？

【解答】解：（1）∵所列方程为＝30，且x表示原计划每天筑路的面积，

∴（1﹣20%）x表示实际每天筑路的面积，

∴题干中省略的部分为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务．

故选：C；

（2）设原计划完成这项筑路工程需要y天，则实际完成这项筑路工程需要（y+30）天，

根据题意得：＝（1﹣20%）×，

解得：y＝120，

经检验，y＝120是所列方程的解，且符合题意．

答：原计划完成这项筑路工程需要120天．

24．阅读下列材料，并解答问题：

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b

则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b

∵对于任意x上述等式成立

∴解得：

∴

这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．

（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　　；

（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　4、16、2、﹣10　；

【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b

则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b

∵对于任意x上述等式成立，

∴，

解得，

拆分成，

故答案为：；

（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b

则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b

∵对于任意x上述等式成立，

，

解得，

拆分成2x+11+，

则满足条件的整数x＝4、16、2、﹣10，

故答案为：4、16、2、﹣10；

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G．过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．

（1）求证：CG＝CE；

（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；

（3）若BC＝4cm，AC＝3cm，求线段DG的长度．

【解答】证明：（1）∵AE平分∠CAB

∴∠CAE＝∠BAE

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB

∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°

∴∠CEG＝∠AGD＝∠CGE

∴CG＝CE

（2）四边形CGFE是菱形

理由如下：

∵GF∥BC

∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE

∴∠AGC＝∠AGF

又∵∠CAE＝∠BAE，AG＝AG

∴△AGC≌△AGF（ASA）

∴CG＝FG

∴CE∥FG且CE＝FG

∴四边形CEFG是平行四边形

又∵CG＝CE，

∴四边形CEFG是菱形．

（3）∵△AGC≌△AGF

∴AC＝AF＝3cm，

∴BF＝2AF＝6cm，AB＝9cm，

∴BC＝＝6cm

∵四边形CGFE是菱形

∴EF∥CG，且CD⊥AB

∴EF⊥AB，

设CE＝EF＝x，

在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2，

∴x2+36＝（6﹣x）2，

解得x＝

∴CE＝CG＝cm

又∵∠ACB＝90°，且CD⊥AB，

∵S△ABC＝×AC×BC＝AB×CD

∴CD＝＝2cm

∴DG＝CD﹣CG＝2﹣＝cm

26．（9分）【探究与应用】

我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折至△AEC，联结DE，则AC∥ED．

（1）如图1，若AD与CE相交于点O，证明以上个结论；

小明同学提出如下解题思路，请补全：

【思路分析】

由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE,BC=EC;由平行四边形性质得__________,AD∥BC，由上面分析可证得EC=AD_________,这样就可以得到OA=OC,则_______在由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证∠CAD＝∠ACE=∠OED＝∠ODE，即可得出结论.

（2）如图2，AD与CE相交于点O，若∠B＝90°，，BC＝2，求△AOC的面积；

（3）①如果∠B＝30°，AB＝3，当△AED是直角三角形时，直接写出BC的长．

②设BC的长度为x，当AC<ED时，直接写出x的取值范围。

【解答】（1）证明：由折叠的性质得：△ABC≌△AEC，

∴∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC．

∴EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，

∴∠ACE＝∠CAD，

∴OA＝OC，

∴OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵∠AOC＝∠DOE，

∴∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，

∴AC∥DE；

（2）解：∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝2，

由（1）得：OA＝OC，

设OA＝OC＝x，则OD＝2﹣x，

在Rt△OCD中，由勾股定理得：（）2+（2﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

∴OA＝，

∴△OAC的面积＝OA×CD＝××＝；

（3）解：分4种情况：

①如图，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于G，

∵AD＝BC，BC＝EC，AE＝AB＝3，

∴AD＝EC，

∵AD∥BC，∠EAD＝90°，

∴∠EGC＝∠AGB＝90°，

∵∠B＝30°，AB＝3，

∴∠AEC＝30°，BG＝AB＝，

∴GC＝EC＝BC，

∴G是BC的中点，

∴BC＝2BG＝3；

②如图，当∠AED＝90°时，

∵AD＝BC，BC＝EC，

∴AD＝EC，

由折叠的性质得：AE＝AB＝3，

∴AE＝CD，

在△ACE和△CAD中，

，

∴△ACE≌△CAD（SSS），

∴∠ECA＝∠DAC，

∴OA＝OC，

∴OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠AED＝∠CDE，

∵∠AED＝90°，

∴∠CDE＝90°，

∴AE∥CD，

又∵AB∥CD，

∴B，A，E在同一直线上，

∴∠BAC＝∠EAC＝90°，

∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，

∴AC＝AB＝，BC＝2AC＝2；

③当∠EAD＝90°时，如图：

在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝30°，

∴∠AOD＝60°，

由（1）知∠ODE＝∠OED，

∴∠ODE＝∠OED＝30°，

∵AE＝AB＝3，

∴BC＝AD＝；

④当∠ADE＝90°时，如图：

∵AC∥ED，

∴∠DAC＝∠ADE＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝90°，

∵AB＝3，∠B＝30°，

∴AC＝AB＝，

∴BC＝；

综上所述，当△AED是直角三角形时，BC的长为3或2或或．

②x>2