2022-2023学年江苏省常州外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省常州外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空，解答等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．某中学为了解七年级550名学生的睡眼情况，抽查了其中的200名学生进行统计，下面叙述正确的是（　　）
A．以上调查属于普查
B．总体是七年级550名学生
C．所抽取的200名学生是总体的一个样本
D．每名学生的睡眠时间是一个个体
4．某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
5．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
6．一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝时，列表如下，由此可以推断，当y1＞y2，x的取值范围是（　　）
x
…
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y1＝kx+b
…
﹣4
﹣3
﹣1
0
1
2
…
y2＝
…
﹣
﹣3
3

1

…
A．﹣2＜x＜﹣1或x＞3 B．x＜﹣2或2＜x＜3
C．×＞﹣1或3＜x＜4 D．﹣1＜x＜0或x＞3​
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝18，则EF的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣5，12），反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣
二、填空（每题2分）
9．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
10．在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：
体温（℃）
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
次 数
2
3
4
6
3
1
2
则这些体温的中位数是　 　℃．
11．甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S甲2＝3.7，S乙2＝6.25，则两人中成绩较稳定的是　 　．
12．下列函数①y＝﹣4x，②y＝3x﹣1，③，④，⑤中，y随x的增大而减小的有 　 　．（填写序号）
13．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设　 　．
14．在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为 　 　．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示．AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为3，则k的值为 　 　．

16．如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转后，得到△CBE，若AB＝5，CD＝4AD，DE的长为 　 　．

17．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AB上一点，且AE＝3，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰直角三角形FEG，EG＝EF，∠CEF＝90°，连接AG，则AG的最小值为 　 　．

18．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，且AD＞DC，点E为边AD上一个动点，以CE为边作正方形CEFG，当△GDF是DG为腰的等腰三角形时，该正方形边长为 　 　．

三、解答
19．计算、化简．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．解方程．
（1）；
（2）．
21．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？

22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②在①基础上，若点M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为 　 　．

23．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论．

24．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+的解为x1＝4，x2＝；
…
（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+的两个解是 　 　．
（2）解方程：y+，可以变形转化为x+的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．
（3）方程的解为 　 　．
25．（1）如图，已知点A、B在双曲线 上，AC⊥x轴与C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为2．A与B的坐标分别为 　 　、　 　.（用k表示），由此可以得DP与BP的数量关系是 　 　．
（2）四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与 （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为6．
①当m＝6，n＝24时，判断四边形ABCD的形状并说明理由．
②若四边形ABCD为正方形，直接写出此时m，n之间的数量关系．
​


参考答案
一、选择题（每题2分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法法则可判断A和B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D；
解：A、和不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意；
B、和2不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的法则是解题关键．
3．某中学为了解七年级550名学生的睡眼情况，抽查了其中的200名学生进行统计，下面叙述正确的是（　　）
A．以上调查属于普查
B．总体是七年级550名学生
C．所抽取的200名学生是总体的一个样本
D．每名学生的睡眠时间是一个个体
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A．以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B．总体是七年级550名学生的睡眠情况，故B不符合题意；
C．所抽取的200名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C不符合题意；
D．每名学生的睡眠时间是一个个体，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝ D．﹣＝
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用20min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为2xkm/h．
依题意得：﹣＝，
即﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
6．一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝时，列表如下，由此可以推断，当y1＞y2，x的取值范围是（　　）
x
…
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y1＝kx+b
…
﹣4
﹣3
﹣1
0
1
2
…
y2＝
…
﹣
﹣3
3

1

…
A．﹣2＜x＜﹣1或x＞3 B．x＜﹣2或2＜x＜3
C．×＞﹣1或3＜x＜4 D．﹣1＜x＜0或x＞3​
【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（1，3），（3，1）．由图象可以直接写出当y1＞y2时所对应的x的取值范围．
解：由列表知，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的交点是B（﹣1，﹣3），A（3，1），
画出简图如下：

由图象可知当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞3．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与不等式的关系，利用了数形结合思想．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝18，则EF的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝18，
∴DE＝BC＝9，
∵∠AFB＝90°，AB＝10，
∴DF＝AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝9﹣5＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8．如图．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（﹣5，12），反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】由点的坐标以及勾股定理可求出菱形的边长，再根据全等三角形的判定和性质求出BF、AF，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
解：如图，过点C、A分别作CE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为E，F，
∵点C（﹣5，12），
∴OE＝5，CE＝12，
∴OC＝＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OC＝AB＝13，AB∥OC，
∴∠COE＝∠ABF，
∵∠CEO＝∠AFB＝90°，
∴△COE≌△ABF（AAS），
∴BF＝OC＝5，AF＝CE＝12，
∴OF＝13+5＝18，
∵＝tan∠AOB＝，
即＝，
∴DB＝，
∴点D（﹣13，），
∵点D（﹣13，）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣13×＝﹣，
故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握菱形的性质，直角三角形的边角关系以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
二、填空（每题2分）
9．函数y＝中自变量x的取值范围是　x≥﹣2且x≠1　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：
体温（℃）
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
次 数
2
3
4
6
3
1
2
则这些体温的中位数是　36.4　℃．
【分析】由表提供的信息可知，一组数据的中位数是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的中位数．
解：这组数据的中位数应是第11个数为36.4．
故填36.4．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
11．甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S甲2＝3.7，S乙2＝6.25，则两人中成绩较稳定的是　甲　．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，比较出甲和乙的方差大小即可．
解：∵S甲2＝3.7，S乙2＝6.25，
∴S甲2＜S乙2，
∴两人中成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．下列函数①y＝﹣4x，②y＝3x﹣1，③，④，⑤中，y随x的增大而减小的有 　①④　．（填写序号）
【分析】分别根据一次函数、正比例函数、反比例函数的性质对各小题进行逐一分析即可．
解：①∵y＝﹣4x，k＝﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，故正确；
②∵y＝3x﹣1，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故错误；
③∵y＝，k＝3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，故错误；
④∵y＝，k＝＞0，∴当x＞2时，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，故正确；
⑤∵y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴当x＜0时，函数图象位于第二象限，且y随x的增大而增大，故错误；
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是一次函数、正比例函数、反比例函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．
13．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设　在一个三角形中，可以有两个内角为钝角　．
【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．
解：用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为钝角”．
故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为钝角．
【点评】本题考查了用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
14．在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为 　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示．AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为3，则k的值为 　﹣6　．

【分析】连接OA，根据平行线间的距离相等得出S△AOB＝S△ABp＝3，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得k＝﹣6
解：连接OA，

∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝3，
∵S△AOB＝|k|，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y＝在第二象限，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确△AOB的面积＝△ABC的面积是解题的关键．
16．如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转后，得到△CBE，若AB＝5，CD＝4AD，DE的长为 　　．

【分析】由折叠的性质可得∠BAD＝∠BCE＝45°，AD＝CE，可得∠DCE＝90°，由勾股定理可求解．
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°，
∵BA＝BC＝5，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5，
∵CD＝4AD，
∴AD＝，CD＝4，
∴CE＝AD＝，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
17．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AB上一点，且AE＝3，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰直角三角形FEG，EG＝EF，∠CEF＝90°，连接AG，则AG的最小值为 　2　．

【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEB，可得GH＝BE＝2，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当AG⊥MN时，AG有最小值，即可求解．
解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠B＝90°，
∵AE＝3，AB＝5，
∴BE＝2，
∵∠GHE＝∠B＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEB＝90°，
∴∠EGH＝∠FEB，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△FEB（AAS），
∴GH＝BE＝2，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当AG⊥MN时，AG有最小值，
∴AG的最小值＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
18．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，且AD＞DC，点E为边AD上一个动点，以CE为边作正方形CEFG，当△GDF是DG为腰的等腰三角形时，该正方形边长为 　4或　．

【分析】过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，过点G作GK⊥CD于点K，可证：△CED≌△EFH（AAS），△CED≌△GCK（AAS），设DE＝m（0≤m≤4），求出DF、FG、DG，再根据等腰三角形性质分类讨论即可．
解：过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，过点G作GK⊥CD于点K，
则∠H＝∠CKG＝∠DKG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，四边形CEFG为正方形，
∴AB＝CD＝2，EF＝CE＝CG＝FG，∠CDE＝∠CEF＝∠ECG＝90°，
∵∠FEH+∠CED＝90°，∠CED+∠ECD＝90°，∠ECD+∠GCK＝90°，
∴∠FEH＝∠ECD，∠GCK＝∠CED，
在△CED和△EFH中，
，
∴△CED≌△EFH（AAS），
∴DE＝FH，CD＝EH＝2，
∵△GDF是DG为腰的等腰三角形，
∴DG＝FG＝CE，
同理，△CED≌△GCK（AAS），
∴DE＝CK，CD＝GK＝2，
设DE＝m（0≤m≤2），则FH＝CK＝m，
∴DH＝2﹣m，DK＝2﹣m，
在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（2﹣m）2+m2＝2m2﹣4m+4，
在Rt△DGK中，DG2＝DK2+GK2＝（2﹣m）2+22＝m2﹣4m+16，
在Rt△CED中，CE2＝DE2+CD2＝m2+4，
∴FG2＝m2+4，
当DF＝DG时，2m2﹣4m+4＝m2﹣4m+16，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝2，
∴DG＝；
当DF＝FG时，2m2﹣4m+4＝m2+4，
解得：m＝0或m＝4（舍去），
∵△GDF是DG为腰的等腰三角形，
∴DG＝，不合题意，舍去；
当DG＝FG时，m2﹣4m+16＝m2+4，
解得：m＝3，
∴DG＝；
综上所述，DG＝4或．
∴正方形的边长为4或．
故答案为：4或．

【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形，要注意运用分类讨论思想，防止漏解．
三、解答
19．计算、化简．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可；
（3）先把括号内通分和进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（4）先把括号内通分和进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
解：（1）原式＝﹣2
＝﹣；
（2）原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）
＝﹣4﹣4+2
＝2﹣8；
（3）原式＝•
＝；
（4）原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分式的混合运算．
20．解方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
x+3＝4x，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x+3）≠0，
∴x＝1是原方程的根；
（2），
3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
∴x＝4是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
21．某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　100　名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？

【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得C人数，从而补全图形；
（3）360°乘以样本中D人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以C类活动的百分比即可．
解：（1）本次共调查的学生有20÷20%＝100（名）；
故答案为：100；
（2）C对应人数为100﹣（20+10+30）＝40（名），
补全条形图如下：

（3）360°××100%＝108°，
∴D类活动对应扇形的圆心角为108度；
（4）1500×＝600（名），
答：估计该校最喜欢C类活动的学生有600名．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②在①基础上，若点M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为 　（﹣b，a）．　．

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
②利用所画图形写出C2点的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）①画如图，△A2B2C2为所作；

②M（a，b）绕原点O逆时针旋转90°后，旋转后对应点坐标的横坐标为M的M点纵坐标的负值，纵坐标为M的横坐标，
∴旋转后对应点的坐标为（﹣b，a），
故答案为：（﹣b，a）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，证明你的结论．

【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；
（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AD∥CF，AD＝CF，推出四求得BC＝DF，根据矩形的判定定理得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；
（2）解：当AC＝BC时，四边形ADCF是两性矩形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD∥CF，BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴BC＝DF，
∵AC＝BC，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及矩形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱矩形的判定定理．
24．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+的解为x1＝2，x2＝；
方程x+的解为x1＝3，x2＝；
方程x+的解为x1＝4，x2＝；
…
（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+的两个解是 　x1＝a，x2＝　．
（2）解方程：y+，可以变形转化为x+的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．
（3）方程的解为 　x1＝﹣，x2＝　．
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）先将原方程进行变形可得：（y+2）+＝4+，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）利用换元法将原方程化为：m+＝6+，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
解：（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝；
（2），
y+＝
y++＝，
（y+2）+＝4+，
∴y+2＝4或y+2＝，
∴y1＝2，y2＝﹣，
经检验：y1＝2，y2＝﹣是原方程的根；
（3）令＝m，则原方程可化为：m+＝，
∴m+＝6+，
∴m1＝6，m2＝，
∴＝6或＝，
解得：x1＝﹣，x2＝，
经检验：x1＝﹣，x2＝是原方程的根，
故答案为：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（1）如图，已知点A、B在双曲线 上，AC⊥x轴与C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为2．A与B的坐标分别为 　（1，k）　、　（2，）　.（用k表示），由此可以得DP与BP的数量关系是 　DP＝PB　．
（2）四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与 （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为6．
①当m＝6，n＝24时，判断四边形ABCD的形状并说明理由．
②若四边形ABCD为正方形，直接写出此时m，n之间的数量关系．
​
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）①先确定出点B，D坐标，再利用待定系数法即可得出结论，确定出点A，C，P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
②先确定出B（5，），D（5，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC＝BD，即可得出结论．
解：（1）∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，
∴AC⊥BD，
由题意得B（2，），A（1，k），
∴PD＝1，BD＝2，
∴BD＝2PD，
∴DP＝BP，
故答案为：A（1，k），B（2，），DP＝BP．
（2）①当x＝5时，y＝＝1，
∴点B的坐标为（5，）；
当x＝5时，y＝＝4，
∴D（5，4），
∵点P为线段AC的中点，设A（a，），
则C（4a，），
∴PA＝PC，
∴（a+4a）÷2＝6，
∴a＝2.4，
∴A（，），C（，），
∴点P的坐标为（，），
∴PB＝PD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形．
②四边形ABCD能成为正方形．
当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．
当x＝4时，y＝＝，
∴点B的坐标为（5，），
∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点D的坐标为（5，8﹣），
∴4×（8﹣）＝n，
整理得：m+n＝32．
即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握菱形的判定以及正方形的性质是解题的关键．