河北省衡水中学2016届高三上学期第四次调研考试文数试题解析

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在空间中，下列命题错误的是（   ）

A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行

C．平行于同一平面的两个平面平行

D．平行于同一直线的两个平面平行

【答案】D

考点：线面平行关系

2.设集合，，则下列关系中正确的是（   ）

A．               B．               C．                D．

【答案】C

【解析】

试题分析：，，因此，选C.

考点：元素与集合关系

3.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从，两点分别测得建筑物顶端的仰角为，，且，两点间的距离为，则该建筑物的高度为（   ）

A．    B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

试题分析：设建筑物的高度为，则，选A.

考点：解三角形

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A．               B．               C．                D．

【答案】B

【解析】

试题分析：几何体为锥与柱的组合体，其中锥的高为1，底面为四分之一个圆，圆半径为1；柱的高为1，底面为直角三角形，两个直角边长分别为1和2，所以体积为，选B.

考点：三视图

【名师点睛】

1.解答三视图的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．

2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．[来源:学科网ZXXK]

5.已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（   ）

A．                   B．                  C．                D．不存在

【答案】A   

考点：等比数列性质，基本不等式求最值

6.设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（   ）

A．               B．               C．               D．

【答案】B[来源:学科网]

【解析】

试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,由恒成立得解得选B.

考点：线性规划求最值

7.若函数的导函数为，且，则在上的单调增区间为（   ）

A．        B．        C．和        D．和

【答案】D

考点：三角函数单调区间   

8.已知不等式对任意实数，都成立，则常数的最小值为（   ）[来源:Z_xx_k.Com]

A．                     B．                    C．                   D．

【答案】D 

【解析】

试题分析：由题意得：，而，因此，而，当且仅当时取等号，即选 D.

考点：基本不等式求最值

【名师点睛】

1．在利用基本不等式求最值时，要注意使用口诀：一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．

2．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值．

3．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．

9.已知球的直径，，是该球球面上的两点．，，则棱锥的体积为（   ）

A．                 B．                 C．                 D．

【答案】C

考点：三棱锥体积

10.已知，，与的夹角为，那么等于（   ）

A．                   B．                   C．                   D．

【答案】C  

【解析】

试题分析：，因此等于，选C.

考点：向量数量积

11.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（   ）

A．              B．               C．              D．

【答案】A  

【解析】

试题分析：由题意得：使得，即值域为值域的子集，从而，即，选A.

考点：恒成立与存在性问题

【名师点睛】

恒成立与存在性问题可以转化为最值问题求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.

若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；

若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.

12.设函数满足，，则时（   ）

A．有极大值，无极小值                    B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值                  D．既无极大值也无极小值

【答案】D

考点：函数极值

【名师点睛】

联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的       条件．（横线上填“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）

【答案】必要不充分        [来源:学科网]

【解析】

试题分析：推不出；，所以“”是“” 必要不充分条件

考点：面面垂直性质与判定

14.已知函数，则       ．

【答案】         

考点：分段函数求值

【名师点睛】

分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：

(1)明确分段函数的分段区间．

(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．

(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．

15.设向量，（），若，设数列的前项和为，则的最小值为         ．

【答案】       

【解析】

试题分析：

考点：裂项相消法求和

【名师点睛】

利用裂项相消法求和应注意以下两点

(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；

(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.

16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为         ．

【答案】

考点：三视图

三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知函数，．设时取到最大值．

（1）求的最大值及的值；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，且，求的值．

【答案】（1）3，（2）0

【解析】

试题分析：（1）先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数： ，再利用正弦函数性质确定最大值（2）先确定角，再利用正弦定理将角转化为边：，最后利用余弦定理求的值：

试题解析：解：（1）由题意，

．

考点：三角函数性质，正余弦定理

【名师点睛】

正弦定理的应用技巧

(1)求边:利用公式                             或其他相应变形公式求解.

(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=         sinB=          sinC=         或其他相应变形公式求解.

(3)相同的元素归到等号的一边:即                                可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化：先从平几条件出发，寻求线线垂直，取中点，则，，从而推得线面垂直，平面，再转化为线线垂直（2）求点到平面距离，一般利用等体积法进行求解.先由面面垂直的性质定理得线面垂直，即平面，因此为三棱锥的体高．再由得点到平面的距离.

试题解析：解：（1）取中点，连接，，，由题意可知，均为正三角形．

所以，．

又，平面，平面，所以平面，

又平面，所以．      （4分）

考点：线面垂直性质与判定定理，三棱锥体积

【名师点睛】

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．

2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．

19.（本小题满分12分）

已知等比数列的公比，且，，成等差数列．数列的前项和为，且．

（1）分别求出数列和数列的通项公式；

（2）设，若，对于恒成立，求实数的最小值．

【答案】（1），（2）

（2）由（1）得，，若，对于恒成立，即的最大值．

又．

当时，即时，；

当时，即（）时，；

当时，即（）时，．

的最大值为，即．

的最小值为．                   （12分）

考点：等比数列与等差数列综合，数列单调性

【名师点睛】

1.明确函数单调性与数列单调性的关系

(1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调．

(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n∈N*上的特殊函数．

2．数列单调性的判断

一般通过比较an＋1与an的大小来判断：

若an＋1＞an，则该数列为递增数列；若an＋1＜an，则该数列为递减数列．

20.（本题小满分12分）

如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线和所成角的大小；

（3）当时，求三棱锥的体积．

【答案】（1）详见解析（2）（3）1

（2）由（1）得或其补角为异面直线和所成角．

设，则，

，．

在中，由余弦定理得，，且，

，异面直线和所成角的大小为．  （6分）

（3），为的中点，，

平面平面，平面．

又，[来源:学科网ZXXK]

，

三棱锥的体积．      （12分）

考点：线面平行判定定理，异面直线所成角，三棱锥体积

【名师点睛】

1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

21.（本小题满分12分）

已知，，直线．

（1）函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；

（3）设，当时的图象恒在直线的上方，求的最大值．

【答案】（1）5（2）（3）5

（2）由于至少存在一个使成立，所以成立至少存在一个，即成立至少存在一个．

令，当时，恒成立，因此在单调递增．

故当时，，即实数的取值范围为．    （6分）

考点：导数几何意义，利用导数研究函数最值

【名师点睛】

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．

请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（本小题满分10分）

如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，，交于点，且．

（1）求的长度；

（2）若圆与圆内切，直线与圆切于点，求线段的长度．

【答案】（1）3（2）

（2）若圆与圆内切，设圆的半径为，

，即．

是圆的直径，且过点圆的切线为．

则，即．     （10分）

考点：切割线定理

【名师点睛】

1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

23.（本小题满分10分）

已知函数．

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

考点：含绝对值不等式