河北省衡水中学2016届高三上学期第七次调研考试文数试题解析

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（   ）

A．      B．      C．     D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由已知，故选A．

考点：集合的运算．

2. 是虚数单位，复数（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

考点：复数的运算．

3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ）

A．      B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知，，，所以渐近线方程为，故选C．

考点：双曲线的几何性质．

4. 已知向量，向量，则（   ）

A．-1     B．0     C．1   D．2

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知得，所以．故选C．

考点：向量的坐标运算与数量积．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

5. 设是等差数列的前项和，若，则（   ）

A．5      B． 7    C．9      D．11

【答案】A

考点：等差数列的性质．

6. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:）,则该几何体的体积为（   ）

A．120      B．80     C．100     D．60

【答案】C

【解析】

试题分析：由已知，故选C．

考点：三视图，几何体的体积．

7. 某算法的程序框图如图所示，若输入的的值分别为60与32，则程序执行后的结果是（   ）

A．0      B． 4    C．7     D．28

【答案】B

考点：程序框图．

8. 已知等比数列满足，则（   ）

A．2      B． 1    C．     D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，解得，所以，，．故选C．

考点：等比数列的性质与通项公式．

9. 设实数满足，则的最大值为（   ）

A．     B．     C． 12    D．14

【答案】A

考点：简单的线性规划的非线性应用．

10. 点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

试题分析：设球心为，的中心为，由当在延长线上时，四面体体积最大，，，，设球半径为，，则，，．故选C．

考点：棱锥的体积，棱锥的外接球，球的表面积．

11. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（   ）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

考点：函数的图象与应用．

【名题点睛】本题考查函数的图象，题中给出一个新概念“燃油效率”，正确理解新概念是解题的基础与关键，题中“燃油效率”是汽车每消耗1升汽油所行驶的路程，因此“燃油效率”越高，则每消耗1升汽油所行驶的路程越多或者是行驶同样的距离消耗的汽油越少，其次“燃油效率”与汽车行驶速度有关，本题

[来源:学科网]

图形就是反应速度与“燃油效率”的关系的图象．只要正确理解了图象，就能判别题中每个命题的正确性．

12. 已知函数满足，且分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A．     B．    C．     D．

【答案】B

考点：函数的奇偶性，不等式恒成立问题，基本不等式．

【名题点睛】换元法经常和数列、超越函数等知识点结合在一起．运用局部换元：解决超越方程、超越不等式、超越函数（指数对数和高次函数等）问题，运用三角换元：一般来说具有有界性的式子，都能用三角换元来方便运算，难点是均值换元：均值换元可用在数列求通项和参数方程以及不等式中应用简化运算．换元时要注意新元的取值范围不能发生改变．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 给出下列命题：

①线性相关系数越大，两个变量的线性相关越强；反之，线性相关性越弱；

②由变量和的数据得到其回归直线方程：，则一定经过；

③从越苏传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

⑤在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，其中真命题的序号是            .

【答案】②④⑤

考点：线性相关，线性回归直线方程，抽样方法，残差．

14. 在三棱锥内任取一点，使得的概率是            .

【答案】

【解析】

试题分析：如图，是所在棱的中点，当点在面上时，到底面的距离是顶点到底面距离的一半，则，当在平面与平面之间时，，当在平面与顶点之间时，，又，所以所求概率为．

考点：几何概型．

15. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是            .

【答案】

考点：两圆的位置关系．

【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．第一种方法在计算上较繁琐，因此一般采用第二种方法．

16. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则            .

【答案】8

【解析】

试题分析：设，则，，过点切线方程为，即．记，，令，则，又，所以，．

考点：导数的几何意义，导数与切线．

【名题点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：；[来源:Z#xx#k.Com]

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的值；

（2）若边上中线，求的面积.

【答案】（1）；（2）．

考点：解三角形应用，正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形面积．

18（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：[来源:学*科*网]

（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；

（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.[来源:学科网ZXXK]

【答案】（1），，，两组技工的总体水平相同，甲组中技工的奇数水平差异比乙组大；（2）.

考点：平均数，方差，古典概型．

19. （本小题满分12分）已知在四棱锥中，底面是平行四边形，若.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

考点：面面垂直的判断，棱锥的体积．

20. （本小题满分12分）已知为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与半径相交于点，记点的轨迹为的方程；

（1）求曲线的方程；

（2）当点在第一象限，且时，求点的坐标.

【答案】（1）；（2）．

考点：定义法求曲线方程，直线与曲线的交点坐标．

【名题点睛】求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)＝0；

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．

21. （本小题满分12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（3）求证：.

【答案】（1）若，函数在区间上单调递减；若，函数的单调递增区间为；函数的单调递减区间为；（2）最大值为0，最小值为；（3）证明见解析．.

综上，若，函数在区间上单调递减；若，函数的单调递增区间为；函数的单调递减区间为.

考点：用导数求单调区间，函数的最值，由函数单调性证明不等式．

【名题点睛】本题考查函数的基本性质，导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．本题先利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论思想，利用这个单调性的结论可以很顺利地求得函数在某个区间上的最值，第（3）小题证明不等式，表面上看来无从下手，而根据以往经验，应该利用上面的结果，实质只要构造函数就可由第（2）小题的结论得其单调性，而证得不等式成立．本题体现了“从基础到中等，再由中等到难”这样一种阶梯式增难的特色，层层相扣，解题时要特别注意．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点.

（1）证明：

（2）设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

考点：弦切角定理与圆周角定理，切线的性质，圆的性质．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；

（2）已知分别为曲线的上，下顶点，点为曲线上任意一点，求的最大值

【答案】

考点：参数方程，极坐标方程

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数的定义域为.

（1）求实数的取值范围；

（2）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.

【答案】

考点：含绝对值的不等式，均值不等式