2024年江苏省宿迁市宿城区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省宿迁市宿城区中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6
C. a2⋅a3=a6D. (a−1)2=a2−1
2.在刚刚过去的清明节假期中，我市纳入统计的30家重点旅游景区接待国内外游客928900人次，其中数据928900用科学记数法表示为( )
A. 9289×102B. 92.89×104C. 9.289×105D. 0.9289×106
3.如图2是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是( )
A. B.
C. D.
4.对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是( )
A. 中位数是5B. 众数是7C. 平均数是4D. 方差是3
5.如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，∠ABC的度数为
( )
A. 150∘B. 140∘C. 135∘D. 120∘
6.关于x的方程1x−2+a−22−x=1的解是正数，则a的取值范围是( )
A. a>5B. a<5C. a>5且a≠7D. a<5且a≠3
7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于
( )
A. 293B. 263C. 292D. 262
8.定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y2满足2x1+x2=y1+y2时，称点Qx2,y2是点Px1,y1的“倍增点”，已知点P11,0，有下列结论：
①点Q13,8，Q2−2,−2都是点P1的“倍增点”；
②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2,4；
③抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是4 55．
其中，正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.已知二次根式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
10.单项式−3x2yz3的次数是_______．
11.分解因式：a2b−b=_______．
12.方程x2+3x−1=0的两根分别为x1,x2，则2x1+2x2=________．
13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x两，每只燕有y两，则可列方程组为 _
14.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是_________．
15.如图，AD是⊙O的直径，▵ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=5，则AD=_____．
16.如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23∘26′∠BOD=23∘26′，太原市的纬度是北纬37∘32′∠POD=37∘32′，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O)，则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α的度数是__________．
17.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(−1,2)，(2,1)，若抛物线y=ax2−x+2 (a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=8 3，点E为矩形对角线BD上一动点，连接CE，以CE为边向上作正方形CEFG，对角线CF、EG交于点H，连接DH，则线段DH的最小值为_____
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算：12−2−2tan60∘+(3.14−π)0+ 27．
20.解分式方程：x−2x−1=2x+2．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AC平分∠DAB,DE⊥AC，垂足为E，且AE=AB．

(1)求证：▵ADE≌▵ACB；
(2)若∠DAC=40∘，求∠CDE的度数．
22.(本小题8分)
迎百里春风，跑水美酒乡，2024年3月31日宿迁组织了京东马拉松赛．比赛设置了“全程马拉松”、“半程马拉松”、“欢乐跑”三种不同项目，甲、乙两人分别参加了其中一个项目．
(1)甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表法求解“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率．
23.(本小题8分)
垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．无锡市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图．(注：A为厨余垃圾，B为可回收垃圾，C为其它垃圾，D为有害垃圾)
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是___________；
(2)补全条形统计图；
(3)假设该小区每月产生的生活垃圾为100吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？
24.(本小题8分)
如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2∘，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9∘.求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m).参考数据：sin24.2∘≈0.41,cs24.2∘≈0.91,tan24.2∘≈0.45，sin36.9∘≈0.60,cs36.9∘≈0.80,tan36.9∘≈0.75．
25.(本小题8分)
如图，已知▵ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径．
(1)尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是弧AC的中点，DE/​/AC交直线BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：DE是⊙O的切线；
(3)连接BD，交AC于点F，若AB=6，BC=10，求DF的长．
26.(本小题8分)
阳春三月，又到了一年最美樱花季，鼋头渚某商家借机推出新款樱花雪糕，其中雪糕每支成本5元．该商家每支雪糕定价40元，平均每天可售出600支，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每支雪糕降价1元，商场平均每天可多售出30支．求：
(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕应降价多少元？
(2)每支雪糕降价多少元时，商家平均每天盈利最多？
27.(本小题8分)
如图，已知矩形ABCD的边AB=4,AD=8，点P是边BC上的动点，线段AP的垂直平分线交矩形ABCD的边于点M、N，其中点M在边AB或BC上，点N在边CD或DA上．

(1)如图2,当BP=2时，求AM的长度；
(2)当▵AMN是等腰三角形时，求BP能取到的值或取值范围；
(3)当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长为多少？
28.(本小题8分)
如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A0,3，B4,3两点，作BC垂直x轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上一点，满足∠BOC=∠OBD，求点D的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线PA，PB与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，1OE+1CF是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据二次根式、幂的运算及完全平方公式即可依次求解判断．
此题主要考查整式及二次根式的计算，解题的关键是熟知其运算法则．
【详解】 2+ 3不能计算，故错误；
2× 3= 6，正确；
a2⋅a3=a5，故错误；
(a−1)2=a2−2a+1，故错误；
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：928900=9.289×105，
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【详解】根据三视图可得这个几何体为圆柱体，圆柱体的侧面积展开图是一个矩形，上下两个底面是两个圆.A为圆柱的展开图；B为圆锥的展开图；C为三棱柱的展开图；D为矩形的展开图．
考点：圆柱的侧面展开图．
4.【答案】C
【解析】【分析】分别根据中位数、众数、平均数和方差的定义计算各项，进而可得答案．
【详解】解：将数据按从小到大排列为2,3,3,5,7，
中位数为3，众数是3，平均数x=2+3+3+5+75=4，
方差s2=2−42+3−42+3−42+5−42+7−425=165；
故选：C．
本题考查了平均数、众数、中位数及方差的定义，属于基础题目，解题的关键是熟练掌握上述基本概念．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了正多边形的内角，以及周角为360∘，解题的关键是熟练掌握正多边形的内角度数，
先求出正多边形的内角度数，再利用矩形的一个直角和正多边形的一个内角以及∠ABC组成了一个周角，即可求解；
【详解】解：正六边形的外角度数为：360∘÷6=60∘，
故正六边形的内角度数为：180∘−60∘=120∘
∴∠ABC=360∘−(120∘+90∘)=150∘
故选：A
6.【答案】D
【解析】【分析】先解分式方程，得出x=5−a，根据方程1x−2+a−22−x=1的解是正数得出5−a>0，同时注意分式有意义5−a≠2，解不等式即可．
【详解】解：1x−2+a−22−x=1，
去分母，得1−a+2=x−2，
解得：x=5−a，
∵关于x的方程1x−2+a−22−x=1的解是正数，
∴5−a>0且5−a≠2，
∴a<5且a≠3．
故选：D．
本题主要考查了根据分式解的情况求参数的范围，解题的关键是解分式方程得出关于a的不等式，同时注意分母不等于零．
7.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接AB，CD，并标注，再说明▵ABG∽△CDH，可得∠ABG=∠CDH，ABCD，进而得出▵ABO∽▵CDO，可知AO=13AC，然后根据勾股定理，求出AC，可得答案．
【详解】连接AB，CD，并标注字母如图所示．
根据题意可知AG=1，BG=2，CH=2，DH=4，
∵∠AGB=∠DHC=90∘，AGCH=BGDH=12，
∴▵ABG∽△CDH，
∴∠ABG=∠CDH，ABCD=12，
∴∠ABE=∠DEF，
∴AB/​/CD，
∴▵ABO∽▵CDO，
∴AOCO=12=ABCD，
∴AO=13AC．
根据勾股定理，得AC= 22+52= 29，
∴AO= 293．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证Q1,Q2即可；②点Aa,a+2，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点Dt,t2−2t−3是点P1的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点Bm,n，根据“倍增点”定义可得2m+1=n，根据两点间距离公式可得P1B2=m−12+n2，把n=2m+1代入化简并配方，即可得出P1B2的最小值为165，即可判断．
【详解】解：①∵P11,0，Q13,8，
∴2x1+x2=2×1+3=8,y1+y2=0+8=8，
∴2x1+x2=y1+y2，则Q13,8是点P1的“倍增点”；
∵P11,0，Q2−2,−2，
∴2x1+x2=2×1−2=−2,y1+y2=0−2=−2，
∴2x1+x2=y1+y2，则Q2−2,−2是点P1的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点Aa,a+2，
∵点A是点P1的“倍增点”，
∴2×1+a=0+a+2，
解得：a=0，
∴A0,2，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点Dt,t2−2t−3是点P1的“倍增点”，
∴21+t=t2−2t−3，整理得：t2−4t−5=0，
∵Δ=−42−4×1×−5=36>0，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点Bm,n，
∵点B是点P1的“倍增点”，
∴2m+1=n，
∵Bm,n，P11,0，
∴P1B2=m−12+n2
=m−12+2m+12
=5m2+6m+5
=5m+352+165，
∵5>0，
∴P1B2的最小值为165，
∴P1B的最小值是 165=4 55，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．

9.【答案】x≥1
【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得x−1≥0，即可求解．
【详解】解：依题意，x−1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
10.【答案】6
【解析】【分析】此题主要考查了单项式．根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数得出答案．
【详解】解：单项式−3x2yz3的次数是6，
故答案为：6．
11.【答案】ba+1a−1
【解析】【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：a2b−b
=ba2−1
=ba+1a−1，
故答案为：ba+1a−1．
12.【答案】−6
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若x1,x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca，据此可得x1+x2=−3，再由2x1+2x2=2x1+x2进行求解即可．
【详解】解：∵方程x2+3x−1=0的两根分别为x1,x2，
∴x1+x2=−3，
∴2x1+2x2=2x1+x2=2×−3=−6，
故答案为：−6．
13.【答案】5x+6y=164x+y=5y+x
【解析】【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，5x+6y=164x+y=5y+x,
故答案为：5x+6y=164x+y=5y+x．
本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
14.【答案】y=18x
【解析】【分析】设正方形CDEF的边长为m，根据BC=2CD，AB=3，得到B3,2m，根据矩形对边相等得到OC=3，推出E3+m,m，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到3×2m=3+mm，得到m=3，推出y=18x．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=3，
设正方形CDEF的边长为m，
∴CD=CF=EF=m，
∵BC=2CD，
∴BC=2m，
∴B3,2m，E3+m,m，
设反比例函数的表达式为y=kx，
∴3×2m=3+mm，
解得m=3或m=0(不合题意，舍去)，
∴B3,6，
∴k=3×6=18，
∴这个反比例函数的表达式是y=18x，
故答案为：y=18x．
本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
15.【答案】5 2
【解析】【分析】本题主要考查三角形的外接圆，圆周角定理，证明▵ACD是等腰直角三角形是解题的关键．连接CD、OC，证明▵ACD是等腰直角三角形即可求出答案．
【详解】解：连接CD、OC，
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠COD=∠COA，
∴AC⌢=CD⌢，
∴AC=CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90∘，
∴▵ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=5，
∴AD= AC2+CD2=5 2，
故答案为：5 2．
16.【答案】29∘2′
【解析】【分析】设PQ与OM交于点K，先由三角形内角和定理求出．∠OKP=29∘2′，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】如图，设PQ与OM交于点K，

∵∠BOD=23∘26′，∠POD=37∘32′，
∴∠POM=∠POD+∠BOD=60∘58′，
在▵OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP=180∘，∠OPK=90∘，
∴∠OKP=29∘2′，
∵PN//OM，
∴∠α=∠OKP=29∘2′，
故答案为：29∘2′．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】a≤−1或14≤a<13
【解析】【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为y=ax2−x+2①．
观察图象可知，当a<0时，x=−1时，y≤2时，且−−12a≥12，满足条件，可得a≤−1；
当a>0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且−−12a≤2满足条件，
∴a≥14，
设直线MN的解析式为y=kx+m，
把M(−1,2)，N(2,1)代入，得
−k+m=22k+m=1,
解得：k=−13m=53,
∴线MN的解析式为y=−13x+53②，
联立①②得y=ax2−x+2y=−13x+53
并整理得：3ax2−2x+1=0，
∵Δ=(−2)2−4×3a×1=4−12a>0，
∴a<13，
∴14≤a<13满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤−1或14≤a<13，
故答案为：a≤−1或14≤a<13．
本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18.【答案】2 2
【解析】【分析】作CT⊥BD于点I,则∠EIC=90∘,由正方形的性质得∠EHC=90∘,CH=EH,所以∠HCE=∠HEC=45∘,取CE的中点O,连接OH、OI,以点O为圆心OE为半径作⊙O,则点H、点I都在⊙O上，所以∠HIE=∠HCE=45∘,可知点H在过点I且与直线BD所交成的锐角为45∘的直线上运动，则当DH⊥IH时，线段DH的值最小，此时DH= 22ID,由矩形的性质得∠BCD=90∘，CD=AB=8,则BD= CD2+BC2=16,由IDCD=CDBD=cs∠BDC得ID=CD2BD=4,所以DH= 22×4=2 2,于是得到问题的答案．
【详解】如图1，作CI⊥BD于点I，

则∠EIC=90∘,
∵四边形CEFG是正方形，
∴CF⊥EG,CH=FH=12CF,EH=GH=12EG,且CF=EG,
∴∠EHC=90∘,CH=EH,
∴∠HCE=∠HEC=45∘,
取CE的中点O,连接OH、OI,以点O为圆心OE为半径作⊙O，
∵OH=OI=OE=12CE,
∴点H、点I都在⊙O上，
∴∠HIE=∠HCE=45∘,
∴点H在过点I且与直线BD所交成的锐角为45∘的直线上运动，
∴当DH⊥IH时，线段DH的值最小，如图2，DH⊥IH,则∠DHI=90∘,

∵点H、点I都在以CE为直径的圆上，
∴∠HID=180∘−∠HIE=∠HCE=45∘，
∴DH=ID⋅sin45∘= 22ID，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=8 3，
∴∠BCD=90∘,CD=AB=8,
∴BD= CD2+BC2= 82+8 32=16，
∵∠CID=90∘,
∴IDCD=CDBD=cs∠BDC,
∴ID=CD2BD=8216=4,
∴DH= 22×4=2 2,
∴DH的最小值为2 2,
故答案为：2 2．
此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式=4−2× 3+1+3 3
=4−2 3+1+3 3
=5+ 3．

【解析】【分析】此题考查了实数的运算，负整指数幂与零指数幂，特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先计算乘方与开方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加法即可．
20.【答案】解：去分母，得x−2x+2−xx+2=2x．
去括号，得x2−4−x2−2x=2x．
解得：x=−1．
经检验x=−1是原方程的解．
所以原方程的解是x=−1．

【解析】【分析】根据解分式方程的一般步骤解方程即可．
此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，∠B=90∘，
∴∠B=∠AED=90∘，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在▵ABC和▵AED中，
∠BAC=∠EADAB=AE∠B=∠AED,
∴▵ABC≌▵AED(ASA)．
(2)解：∵△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠DAC=40∘，
∴∠ACD=∠ADC=70∘．
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90∘，
∴∠ADE+∠DAE=90∘，
∴∠ADE=90∘−∠DAE=90∘−40∘=50∘，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=70∘−50∘=20∘．

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．
(1)根据ASA证明▵ABC≌▵AED即可；
(2)根据▵ABC≌▵AED可得AC=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠ACD=∠ADC=70∘，∠ADE=50∘，即可由∠CDE=∠ADC−∠ADE解决问题．
22.【答案】(1)解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是13．
(2)解：将“全程马拉松”“半程马拉松”“欢乐跑”三种项目分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，
∴“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率为69=23．

【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
23.【答案】(1)解：在这次抽样调查中，生活垃圾一共有24÷48%=50(吨)，
故答案为：50；
(2)回收垃圾有：50−(24+8+6)=12(吨)，
补全条形统计图如下：
(3)100×650=12(吨)，
答：估计每月产生的有害垃圾大约有12吨．

【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)由厨余垃圾吨数及其所占百分比可得抽样总数，即样本容量；
(2)用减法求出可回收垃圾的数量，即可补全条形统计图；
(3)用总数量乘以样本中有害垃圾数量所占比例即可．
24.【答案】解：依题意，∠ARO=24.2∘，∠BRO=36.9∘，AR=40，
在Rt▵AOR中，∠ARO=24.2∘，
∴AO=AR×sin∠ARO=40×sin24.2∘，RO=AR×cs∠ARO=40×cs24.2∘，
在Rt▵BOR中，OB=OR×tan∠BRO=40×cs24.2∘×tan36.9∘，
∴AB=BO−AO
=40×cs24.2∘×tan36.9∘−40×sin24.2∘
≈40×0.91×0.75−40×0.41
≈10.9(米)
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米．

【解析】【分析】解Rt▵AOR，求得AO，OR，在Rt▵BOR中，求得BO，根据AB=BO−AO，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】(1)解：正确作出图形．(如图所示)
∴如图所示，点D，点E就是所求作的点．
(2)证明：如下图所示，连接OA，设OD交AC于点M．
∵点D是弧AC的中点，
∴弧AD等于弧DC．
∴∠AOD=∠COD．
∵OA=OC，
∴OD⊥AC．
∴∠OMC=90∘，M是AC中点．
∵DE/​/AC，
∴∠ODE=∠OMC=90∘，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(3)证明：如下图所示，
∵AB=6，BC=10，∠A=90∘，
根据勾股定理，得
AC= BC2−AB2=8．
∵∠OMC=90∘，∠A=90∘
∴OD//AB．
∵点O是BC的中点，点M是AC的中点
∴OM=12AB=3，AM=12AC=4，
∠ABF=∠MDF，∠A=∠FMD=90∘．
∴▵ABF∽▵MDF．
∴MFAF=MDAB．
∴MFAF=26=13．
∴MF=14AM=1．
在Rt▵DMF中，根据勾股定理，得
DF= MD2+FM2= 22+12= 5．

【解析】【分析】(1)先作AC的垂直平分线，分别以点A、点C为圆心，以AO为半径画圆弧并交于一点，将⊙O的圆心与弧线的交点连接，与弧AC的交点即为点D；以点D为圆心画圆弧，交直线OD于两点，得到以点D为中点的一条线段，作该线段的垂直平分线，交AB的延长线与点E；
(2)连接OA，设OD交AC于点M.先证明OD垂直平分AC，再通过DE/​/AC证得∠ODE=∠OMC=90∘，最后得到DE是⊙O的切线；
(3)通过勾股定理计算出AC的长度，再通过中位线的性质得到OM，AM的值，再证明▵ABF∽▵MDF，通过相似三角形的性质求出MF，再次利用勾股定理即可求得答案．
本题考查尺规作图、圆的性质、相似三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运行相关知识．
26.【答案】(1)解：设每支雪糕应降价x元，得：
(35−x)(600+30x)=22500，
解得：x1=5(舍)，x2=10
∵为了尽快减少库存，
∴每支雪糕应降价10元；
(2)解：设每支雪糕降价x元时，商家所获得的利润为y元，根据题意，得
y=35−x(600+30x)=−30(x−7.5)2+22687.5，
∵a=−30<0，
∴x=7.5元时，利润最大为：22687.5元；
答：当x=7.5时，售出所获利润最大，最大利润为22687.5元．

【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程(二次函数关系式)是解题的关键．
(1)设每支雪糕应降价x元，根据“商家盈利=单支盈利×销售数量”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，再结合减少库存即可确定x的值；
(2)设每支雪糕降价x元时，商家所获得的利润为y元，根据“商场盈利=单件盈利×销售数量”，即可找出x关于y的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每支雪糕降价多少元时盈利最大．
27.【答案】(1)解：如图，设AP与MN相交于O，

∵矩形ABCD，
∴∠ABP=90∘，
∴AP= AB2+BP2= 42+22=2 5，
∵MN垂直平分AP，
∴∠AOM=90∘，AO=12AP= 5，
∵∠AOM=∠ABP=90∘，∠OAM=∠BAP，
∴▵AOM∽▵ABP
∴AOAB=AMAP，
∴ 54=AM2 5，
∴AM=2.5．
(2)解：当BP<4时，点P从点B到BC边的中点运动(不包括中点)，则点M在AB上运动，点N在从CD的中点到AD的中点运动(不包括AD的中点)，
当MN=AN时，连接MP，过点N作NQ⊥AM于Q，如图，

∵MN=AN，NQ⊥AM，
∴AQ=12AM，
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ADNM为矩形，
∴DN=AQ=12AM，
∵MN垂直平分AP，
∴AM=MP，∠AOM=90∘
∴∠MAO+∠AMO=90∘
∵MN=AN
∴∠NAM=∠NMA
∵∠NAD+∠NAM=∠BAD=90∘，
∴∠MAO=∠NAD，即∠BAP=∠NAD
∵∠ABP=∠ADN=90∘
∴▵ABP∽▵ADN
∴BPND=ABAD=48=12
∴BP=12ND=12×12AM=14AM
设BP=x，则AM=MP=4x，MB=4−4x，
∴在Rt▵MBP中，由勾股定理，得
x2+4−4x2=4x2
解得：x1=16−4 15，x2=16+4 15(不合题意，舍去)，
∴当BP=16−4 5时，▵AMN是等腰三角形；
②当4≤BP≤8时，点P从BC中点向点C运动，点M从点B向点P运动，点N从AD中点向点D运动，连接AM，如图，

∵矩形ABCD，
∴BC//AD
∴∠OAN=∠OPM，∠ONA=∠OMP，
∵MN垂直平分AP，
∴OA=OP，AM=PM，
∴▵AON≌▵POMAAS
∴AN=PM
∴AN=PM
即▵AMN是等腰三角形，
∴当4≤BP≤8时，▵AMN是等腰三角形，
综上，当▵AMN是等腰三角形时，BP能取到的值为16−4 15或取值范围为4≤BP≤8．
(3)解：当BP≤4时，点P从点B到BC边的中点运动，则点N在从CD的中点到AD的中点运动，
∴运动距离为12CD+12AD=12×4+12×8=2+4=6
当4当BP=8时，即点P与点C重合，取AD中点E，连接OE，如图，

由勾股定理，得AC= AB2+BC2= 42+82=4 5，
∴OA=12AC=2 5
∵点E是AD，
∴AE=12AB=4，
∵MN垂直平分AP，
∴O是AC，点P与点C重合，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE//BC，
∴∠AEO=90∘，
∴∠AEO=∠AON=90∘，
∵∠EAO=∠OAN，
∴▵AOE∽▵ANO，
∴AEAO=AOAN，
∴42 5=2 5AN，
∴AN=5，
∴EN=AN−AE=1，
∴当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长=6+1=7，
答：当动点P由点B运动到点C的过程中，求点N的运动路程长为7．

【解析】【分析】(1)设AP与MN相交于O，先由勾股定理求得AP=2 5，则AO=12AP= 5，再证明▵AOM∽▵ABP，得AOAB=AMAP，即可求解．
(2)分两情况：①当BP<4时，有MN=AN，②当4≤BP≤8时，有AM=AN，分别求解即可；
(3)当BP≤4时，点P从点B到BC边的中点运动，则点N在从CD的中点到AD的中点运动，求得运动距离为6；当4本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
28.【答案】【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过A0,3，B4,3两点，
∴c=342+4b+3=3,
解得：b=−4c=3,
∴该抛物线的解析式为：y=x2−4x+3；
(2)①当点D在直线OB的上方时，如下图所示：
∵∠BOC=∠OBD，
∴BD//x轴，
∵点A与点B对应函数值都是3，即AB/​/x轴，
∴此时点A与点D重合，即D1(0,3)；
②当点D在直线OB的下方时，设BD与x轴交于点M，如下图所示：
∵∠BOC=∠OBD，
∴OM=BM，
∵BC垂直x轴于点C，B4,3，
∴C4,0，OC=4，BC=3，
设OM=BM=m，则CM=OC−CM=4−m，
在Rt▵BCM中，CM2+BC2=BM2，
即4−m2+32=m2，
解得：m=258，
∴M258,0，
设直线BD的解析式是：y=k1x+b1，
将点B、M代入得：4k1+b1=3258k1+b1=0,
解得：k1=247b1=−757,
∴直线BD的解析式是：y=247x−757
将直线BD的解析式与抛物线解析式联立得：y=247x−757y=x2−4x+3,
解得：x=247y=5149，或x=4y=3(舍去)，
∴D2(247,5149)；
综上所述：点D的坐标是：D1(0,3)，D2(247,5149)；
(3)1OE+1CF是定值，该定值为43，理由如下．
令y=x2−4x+3=0，
解得x1=1,x2=3，即抛物线与x轴的交点是：1,0和3,0，
设点P的坐标是t,t2−4t+3，则1设直线AP的解析式是：y=k2x+b2，
将点A、P代入得：b2=3k2t+b2=t2−4t+3,
解得：k2=t−4b3=3,
∴直线AP的解析式是：y=t−4x+3，
令y=t−4x+3=0，
解得：x=34−t，即E34−t,0，
∴OE=34−t，
设直线BP的解析式是：y=k3x+b3，
将点B、P代入得：4k3+b3=3k3t+b3=t2−4t+3,
解得：k3=tb3=−4t+3,
∴直线BP的解析式是：y=tx−4t+3，
令y=tx−4t+3=0，
解得：x=4t−3t，即F4t−3t,0，
∴OF=4t−3t，CF=OC−OF=4−4t−3t=3t，
∴1OE+1CF=4−t3+t3=43．
∴1OE+1CF是定值，该定值为43．

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)分①当点D在直线OB的上方时与②当点D在直线OB的上方时两种情况讨论，对于前一种情况，可得BD/​/x轴，点A与点D重合，即可得解，对于后一种情况先求出BD与x轴的交点M，继而利用待定系数法求出直线BD的解析式，再与抛物线解析式联立求出点D的坐标即可；
(3)求出抛物线与x轴的交点为1,0和3,0，设点P的坐标是t,t2−4t+3，则1本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法，二次函数与x轴的交点，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，运算量较大，掌握待定系数法、联立方程组求函数交点的方法和数形结合思想是解题的关键．