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2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. (2a−1)2=4a2−1 B. 3a6÷3a3=a2
C. (−ab2)4=−a4b6 D. −2a+(2a−1)=−1
4. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：
每天使用零花钱(单位：元)
1
2
3
4
5
人数
1
3
6
5
5
则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是( )
A. 3，3 B. 3，3.5 C. 3.5，3.5 D. 3.5，3
5. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DEAD=13，连结EF交DC于点G，则S△DEGS△CFG=( )
A. 2：3
B. 3：2
C. 9：4
D. 4：9
6. 下列命题中：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠A的度数为( )
A. 45°
B. 30°
C. 22.5°
D. 37.5°
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA=AB，且∠OAB=90°，则tan∠AOC的值为( )
A. 5−12
B. 33
C. 3−13
D. 1+ 24
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 16的平方根是______．
10. 因式分解：a3−a= ．
11. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是______．
12. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ．
13. 若2m+n=4，则代数式6−2m−n的值为______．
14. 二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
−3
−1
1
3
…
y
…
−4
2
4
2
…
则当−3
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是______．
17. 小淇利用绘图软件画出函数y=−12x(x−1)(x+1)(−2≤x≤2)的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是−3；
④当x>1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 ．
18. 如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足，则DP的最小值______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 解分式方程：x−2x−1+2=21−x．
四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
计算：．
21. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
(1)求证：△COE≌△AOF；
(2)当∠DEA=2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图(不完整)．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
23. (本小题10.0分)
在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
(1)从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是______ ；
(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
24. (本小题10.0分)
某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
25. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，点E在直径CD的延长线上，且AE=AC．
(1)试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，求阴影部分的面积．
26. (本小题10.0分)
某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品(销量=产量)，年销量不超过30万件.年销量y(万件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元(计入成本)，P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
27. (本小题12.0分)
问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC、CD上，连接DE、BG，点M是BG中点，连接CM，试猜测CM与DE的数量关系与位置关系，并加以证明．
解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变，此时“问题背景”中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，▱ABCD∽▱ECGF，且，其他条件不变，此时CM与DE又有怎样的数量关系？请直接写出结果．
28. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B(A在B的左边)，与y轴相交于点C，已知A(1,0)、B(3,0)，C(0,3)，M是y轴上的动点(M位于点C下方)，过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q(P在Q的左边)，与直线BC交于点N．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，四边形PMGH是正方形，连接CP，△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，求S1S2的取值范围；
(3)如图2，以点O为圆心，OA为半径作⊙O．
①动点F在⊙O上，连接BF、CF，请直接写出的最小值为______ ；
②点P是y轴上的一动点，连接PA、PB，当sin∠APB的值最大时，请直接写出P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】A
【解析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式=4a2−4a+1，不符合题意；
B、原式=a3，不符合题意；
C、原式=a4b8，不符合题意；
D、原式=−2a+2a−1=−1，符合题意，
故选：D．
原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：因为3出现的次数最多，
所以众数是：3元；
因为第十和第十一个数是3和4，
所以中位数是：3.5元．
故选B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错
5.【答案】D
【解析】解：设DE=x，
∵DE：AD=1：3，
∴AD=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF=12BC=32x，
∵AD//BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEGS△CFG=(DECF)2=(x32x)2=49，
故选：D．
先设出DE=x，进而得出AD=3x，再用平行四边形的性质得出BC=3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
7.【答案】C
【解析】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵CO=CD，
∴∠COD=∠D=45°，
∵OA=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠COD=∠OAC+∠OCA=45°，
∴∠A=22.5°．
故选：C．
因为∠COD=∠A+∠OCA，∠A=∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．
本题考查切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握这些性质是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，
设A(m,km)，则OE=m，，
∵∠OAB=90°，
，
∵∠OAE+∠AOE=90°，
，
∵OA=AB，∠AEO=∠ADB=90°，
∴△AOE≌△BAD(AAS)，
，，
，
∵函数y=kx(k>0,x>0)的图象过B点，
，整理得，
方程两边同除以k得，
设，则方程变为1y−y=1，化为y2+y−1=0，
解这个方程得y=−1± 52，
∴k>0，
，
，
．
故选：A．
作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A(m,km)，则OE=m，，通过证得△AOE≌△BAD(AAS)，求得，代入y=kx(k>0,x>0)，即可得到，整理得，方程两边同除k得，设，则方程变为1y−y=1，化为y2+y−1=0，解得y= 5−12，即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建全等三角形，从而求得点B的坐标是解题的关键．
9.【答案】±2
【解析】
【解答】
解：因为 16=4，且4的平方根是±2，
即 16的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】
本题考查了平方根及算术平方根的知识，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
先求得 16的值，再求 16的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
11.【答案】180°
【解析】解：∵圆锥底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
nπ×6180=6π，
解得n=180．
故答案为180°．
易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
12.【答案】5.45×106
【解析】解：5450000=5.45×106．
故答案为：5.45×106．
科学记数法的表示形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵2m+n=4，
∴6−2m−n=6−(2m+n)=6−4=2，
故答案为2．
将6−2m−n化成6−(2m+n)代值即可得出结论．
此题是代数式求值问题，利用整体代入是解本题的关键．
14.【答案】−4
∴抛物线开口向下，
∴当−3
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质与三角形中位线．熟练运用正方形对角线相等是解题的关键．
连接AC，由题意可得，EF是△ABC的中位线，所以EF=12AC，根据正方形的性质得，AC=BD=2.从而求出EF的长．
【解答】
解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AC=BD=2．
∵E，F分别是BA，BC的中点．
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF=12AC=12×2=1．
故答案为：1．
16.【答案】3
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=5．
分两种情况：
(1)圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4；
(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC
(1)圆与AB相切时；
(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．
17.【答案】②③④
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的对称性以及增减性是正确判断的前提．
根据函数的图象进行判断即可．
【解答】
解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x=−2时，y=3，当x=2时，y=−3，
∴函数的最大值是3，最小值是−3，故③正确；
④当x>1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
18.【答案】
【解析】解：设BG与EF的交点为O，
∵B、G关于EF对称，
∴∠BOE=90°，BO=GO，
∵E为AB的中点，
∴EO为△BAG的中位线，
∴EO//AG，
，
，
∴∠APB=45°，
过点E作EQ⊥AB，交CD于点Q，在EQ上截取EM=BE，连接BM，AM，
则△BEM是等腰直角三角形，△AEM是等腰直角三角形，
，
∴∠AMB=90°，
∴点P在以M为圆心，BM的长为半径的圆上运动，
连接DM，交圆M于点P，此时DP取得最小值，
在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC=8，
∵∠AEQ=90°，
∴四边形AEQD是矩形，
，DQ=AE，∠MQD=90°，
∵AB=4，E为AB的中点，
∴BE=AE=2，
∴EM=2，
根据勾股定理，得BM= 22+22=2 2，
，，
根据勾股定理，得，
∴DP的最小值为，
故答案为：．
根据轴对称的性质可得∠BOE=90°，BO=GO，进一步可知EO为△BAG的中位线，可得∠AGB=90°，进一步可知∠APB=45°，过点E作EQ⊥AB，交CD于点Q，在EQ上截取EM=BE，连接BM，AM，可知点P在以M为圆心，BM的长为半径的圆上运动，连接DM，交圆M于点P，此时DP取得最小值，在Rt△BEM中，根据勾股定理求出半径BM的长，再在Rt△MQD中，根据勾股定理求出MD的长，即可求出DP的最小值．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，涉及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，找出点P的运动轨迹是解题的关键．
19.【答案】解：两边都乘以x−1，得：x−2+2(x−1)=−2，
解得：x=23，
检验：当x=23时，x−1=−13≠0，
∴方程的解为x=23．
【解析】两边都乘以x−1，化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
20.【答案】解：原式
=2− 3+1+3+ 3
=6．
【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD//AB，
∴∠OCE=∠OAF，
∵点O为对角线AC的中点，
∴CO=AO，
在△COE和△AOF中，
∠OCE=∠OAFCO=AO∠COE=∠AOF，
∴△COE≌△AOF(ASA)；
(2)四边形AECF为菱形，理由：
∵△COE≌△AOF，
∴CE=AF，
又∵CE//AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CD//AB，
∴∠DEA=∠BAE，
又∵∠DEA=2∠CAB，
∴∠BAE=2∠CAB，
即∠BAC=∠EAC，
∵CD//AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)利用矩形的性质，即可得依据ASA或AAS判定△COE≌△AOF；
(2)先判定四边形AECF是平行四边形，再根据AE=CE，即可得出四边形AECF是菱形．
本题主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22.【答案】解：(1)本次被抽查学生的总人数是60÷30%=200(人)，
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是360°×20200=36°；
(2)“音乐舞蹈”的人数为200−50−60−20−40=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为50200×1600=400(人)．
【解析】(1)从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查人数的30%，可求出调查人数；用360°乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计图补充完整；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
23.【答案】27
【解析】解：(1)∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27，
故答案为：27；
(2)组成的所有两位数列表为：
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
∴这个两位数大于22的概率为712．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：设BC为x米，则AC=(20+x)米，
由条件知：∠DBC=∠AEC=60°，DE=80米，
在直角△DBC中，tan60°=DCBC=DCx，
则DC= 3x米，
∴CE=( 3x−80)米，
在直角△ACE中，
tan60°=ACCE=20+x 3x−80= 3，
解得x=10+40 3．
答：小山BC的高度为(10+40 3)米．
【解析】设BC为x米，则AC=(20+x)米，通过解直角△DBC和直角△ACE列出关于x的方程，利用方程求得结果．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)AE为⊙O的切线．
理由：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
又∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=30°
∵OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠EAD=30°，
∴∠EAD+∠DAO=90°，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：由(1)可知△AEO为直角三角形，且∠E=30°，AE=6，
∴OA=2 3，
∴阴影部分的面积为12×6×2 3−60π×(2 3)2360=6 3−2π．
故阴影部分的面积为6 3−2π．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OA、AD，可求得∠ACE=∠AEC=30°，可证明△AOD为等边三角形，求得∠EAO=90°，即可证明AE为⊙O的切线；
(2)结合(1)可得到OA=2 3，AE=6，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
26.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b，
把x=5时，y=30，x=15时，y=10代入，
得5k+b=3015k+b=10，
解得：k=−2b=40，
∴y与x之间的函数关系式y=−2x+40(5≤z≤15)；
(2)由题意知，当5≤x≤10时，P=60，
，
∵−2<0，5≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x=10时，W增大，最大值为40；
当10≤x≤15时，P=14x2−4x+m．
把x=10时，P=60代入P=14x2−4x+m得，
60=14×102−4×10+m，
解得：m=75，
∴P=14x2−4x+75，
，
∵−94<0，10≤x≤15，
∴当x=12时，W有最大值，最大值为49；
综上可得：当x=12时，年利润W最大，最大值为49．
【解析】(1)根据题意设y与x的函数关系式为：y=kx+bkx+b，将点(5,30)，(15,10)代入求解即可得；
(2)根据题意及函数图象可得，需要分两部分进行讨论分析：当5≤x≤10时，根据图象可得：P=60；当10≤x≤15时，P=14x2−4x+75；利用利润列出函数解析式，再将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．
本题主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
27.【答案】问题背景
解：CM=12DE，CM⊥DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
同理可得：CE=CG，∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
∴DE=BG，∠BGC=∠DEC，
∵M是BG的中点，
，
∴CM=12DE，，
，
∵∠DEC+∠CDE=90°，
，
∴CM⊥DE；
解决问题
解：如图1，
CM=12DE，CM⊥DE仍然成立，理由如下：
延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，GH分别交CD于P，交DE于Q，DE和CH交于点T，
∵BM=CM，
∴四边形BCGH是平行四边形，
∴GH=BC，GH//BC，
由(1)知：CD=BC，CE=CG，∠BCD=90°，CE//FG，
，，
，
，
∴△DCE≌△HGC(SAS)，
∴DE=CH，，
，
，，
，
，
∴DE⊥CM；
拓展延伸
解：如图，
，理由如下：
延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，
由(2)知：，GH=BC，
∵▱ABCD∽▱ECGF，
，，
，，
，
∴△DCE∽△HGC，
，
，
．
【解析】问题背景：证明△BCG≌△DCE，从而DE=BG，∠BGC=∠DEC，进而证明∠DTH=90°，进一步得出结果；
解决问题：延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，GH分别交CD于P，交DE于Q，DE和CH交于点T，从而四边形BCGH是平行四边形，从而GH=BC，GH//BC，进而证得，进而得出，从而可证得△DCE≌△HGC，进一步得出结果；
拓展延伸：延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，同理(2)可证得，进而得出△DCE∽△HGC，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的是倍长中线．
28.【答案】 823
【解析】解：(1)把A(1,0)、B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：
a+b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得a=1b=−4c=3，
∴抛物线的表达式为y=x2−4x+3；
(2)设M(0,m)，m<3，
由B(3,0)，C(0,3)可得直线BC表达式为y=−x+3，
∵MN//x轴，
∴N(3−m,m)，
∴MN=3−m．
设点P(t,t2−4t+3)，则t2−4t+3=m，即，
∴PM=t，
PN=MN−PM=3−m−t=−t2+3t，
CM=3−m=−t2+4t．
，
，
，
∵y=x2−4x+3=(x+2)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−1)，
∵m<3，
∴−1
∴当t<72时，S1S2的值随t的增大而减小，
∴当t=0时，S1S2的值最大=6，
当t=2时，S1S2的值最小=1，
∴S1S2的取值范围为1
∵⊙O的半径OA=1，
∴OF=1，
，，
，
，
∴△COF∽，
，
，
，
∵当W，F，B共线时，最小，
∴当W，F，B共线时，最小，最小值即为BW的长度，
，B(3,0)，
，
的最小值为 823，
故答案为： 823；
②作△ABP的外接圆T，作TK⊥x轴于K，连接AT，BT，PT，则，则，
∴当∠ATB最大时，∠APB最大，sin∠APB也最大；
，
∴当AT最小时，PT最小，此时∠APB最大，
∵当PT⊥y轴时，PT最小，
∴此时∠APB最大，sin∠APB最大，
，
∴AT=2，
，
∴P(0, 3).
(1)用待定系数法可得函数的表达式为y=x2−4x+3；
(2)设M(0,m)，m<3，由B(3,0)，C(0,3)可得直线BC表达式为y=−x+3，则，设点P(t,t2−4t+3)，可得PM=t，PN=MN−PM=3−m−t=−t2+3t，CM=3−m=−t2+4t，故，而，知抛物线的顶点坐标为(2,−1)，有−1
②作△ABP的外接圆T，作TK⊥x轴于K，连接AT，BT，PT，则，则，可知当AT最小时，PT最小，此时∠APB最大，此时PT⊥y轴，再用勾股定理可得P(0, 3).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形与四边形面积，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
2023年江苏省宿迁市中考数学二调试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是( )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. (2a−1)2=4a2−1 B. 3a6÷3a3=a2
C. (−ab2)4=−a4b6 D. −2a+(2a−1)=−1
4. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表：
每天使用零花钱(单位：元)
1
2
3
4
5
人数
1
3
6
5
5
则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是( )
A. 3，3 B. 3，3.5 C. 3.5，3.5 D. 3.5，3
5. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DEAD=13，连结EF交DC于点G，则S△DEGS△CFG=( )
A. 2：3
B. 3：2
C. 9：4
D. 4：9
6. 下列命题中：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠A的度数为( )
A. 45°
B. 30°
C. 22.5°
D. 37.5°
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA=AB，且∠OAB=90°，则tan∠AOC的值为( )
A. 5−12
B. 33
C. 3−13
D. 1+ 24
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 16的平方根是______．
10. 因式分解：a3−a= ．
11. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是______．
12. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ．
13. 若2m+n=4，则代数式6−2m−n的值为______．
14. 二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
−3
−1
1
3
…
y
…
−4
2
4
2
…
则当−3
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是______．
17. 小淇利用绘图软件画出函数y=−12x(x−1)(x+1)(−2≤x≤2)的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是−3；
④当x>1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 ．
18. 如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足，则DP的最小值______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 解分式方程：x−2x−1+2=21−x．
四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
计算：．
21. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
(1)求证：△COE≌△AOF；
(2)当∠DEA=2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图(不完整)．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
23. (本小题10.0分)
在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．
(1)从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是______ ；
(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率．
24. (本小题10.0分)
某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
25. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，点E在直径CD的延长线上，且AE=AC．
(1)试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，求阴影部分的面积．
26. (本小题10.0分)
某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品(销量=产量)，年销量不超过30万件.年销量y(万件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元(计入成本)，P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
27. (本小题12.0分)
问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC、CD上，连接DE、BG，点M是BG中点，连接CM，试猜测CM与DE的数量关系与位置关系，并加以证明．
解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转一定角度，其他条件不变，此时“问题背景”中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，▱ABCD∽▱ECGF，且，其他条件不变，此时CM与DE又有怎样的数量关系？请直接写出结果．
28. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B(A在B的左边)，与y轴相交于点C，已知A(1,0)、B(3,0)，C(0,3)，M是y轴上的动点(M位于点C下方)，过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q(P在Q的左边)，与直线BC交于点N．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，四边形PMGH是正方形，连接CP，△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，求S1S2的取值范围；
(3)如图2，以点O为圆心，OA为半径作⊙O．
①动点F在⊙O上，连接BF、CF，请直接写出的最小值为______ ；
②点P是y轴上的一动点，连接PA、PB，当sin∠APB的值最大时，请直接写出P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】A
【解析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式=4a2−4a+1，不符合题意；
B、原式=a3，不符合题意；
C、原式=a4b8，不符合题意；
D、原式=−2a+2a−1=−1，符合题意，
故选：D．
原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：因为3出现的次数最多，
所以众数是：3元；
因为第十和第十一个数是3和4，
所以中位数是：3.5元．
故选B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错
5.【答案】D
【解析】解：设DE=x，
∵DE：AD=1：3，
∴AD=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF=12BC=32x，
∵AD//BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEGS△CFG=(DECF)2=(x32x)2=49，
故选：D．
先设出DE=x，进而得出AD=3x，再用平行四边形的性质得出BC=3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
7.【答案】C
【解析】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵CO=CD，
∴∠COD=∠D=45°，
∵OA=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠COD=∠OAC+∠OCA=45°，
∴∠A=22.5°．
故选：C．
因为∠COD=∠A+∠OCA，∠A=∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．
本题考查切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握这些性质是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，
设A(m,km)，则OE=m，，
∵∠OAB=90°，
，
∵∠OAE+∠AOE=90°，
，
∵OA=AB，∠AEO=∠ADB=90°，
∴△AOE≌△BAD(AAS)，
，，
，
∵函数y=kx(k>0,x>0)的图象过B点，
，整理得，
方程两边同除以k得，
设，则方程变为1y−y=1，化为y2+y−1=0，
解这个方程得y=−1± 52，
∴k>0，
，
，
．
故选：A．
作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A(m,km)，则OE=m，，通过证得△AOE≌△BAD(AAS)，求得，代入y=kx(k>0,x>0)，即可得到，整理得，方程两边同除k得，设，则方程变为1y−y=1，化为y2+y−1=0，解得y= 5−12，即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建全等三角形，从而求得点B的坐标是解题的关键．
9.【答案】±2
【解析】
【解答】
解：因为 16=4，且4的平方根是±2，
即 16的平方根是±2．
故答案为：±2．
【分析】
本题考查了平方根及算术平方根的知识，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
先求得 16的值，再求 16的平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
11.【答案】180°
【解析】解：∵圆锥底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
nπ×6180=6π，
解得n=180．
故答案为180°．
易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
12.【答案】5.45×106
【解析】解：5450000=5.45×106．
故答案为：5.45×106．
科学记数法的表示形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵2m+n=4，
∴6−2m−n=6−(2m+n)=6−4=2，
故答案为2．
将6−2m−n化成6−(2m+n)代值即可得出结论．
此题是代数式求值问题，利用整体代入是解本题的关键．
14.【答案】−4
∴抛物线开口向下，
∴当−3
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质与三角形中位线．熟练运用正方形对角线相等是解题的关键．
连接AC，由题意可得，EF是△ABC的中位线，所以EF=12AC，根据正方形的性质得，AC=BD=2.从而求出EF的长．
【解答】
解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AC=BD=2．
∵E，F分别是BA，BC的中点．
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF=12AC=12×2=1．
故答案为：1．
16.【答案】3
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=5．
分两种情况：
(1)圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4；
(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC
(1)圆与AB相切时；
(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．
17.【答案】②③④
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的对称性以及增减性是正确判断的前提．
根据函数的图象进行判断即可．
【解答】
解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x=−2时，y=3，当x=2时，y=−3，
∴函数的最大值是3，最小值是−3，故③正确；
④当x>1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
18.【答案】
【解析】解：设BG与EF的交点为O，
∵B、G关于EF对称，
∴∠BOE=90°，BO=GO，
∵E为AB的中点，
∴EO为△BAG的中位线，
∴EO//AG，
，
，
∴∠APB=45°，
过点E作EQ⊥AB，交CD于点Q，在EQ上截取EM=BE，连接BM，AM，
则△BEM是等腰直角三角形，△AEM是等腰直角三角形，
，
∴∠AMB=90°，
∴点P在以M为圆心，BM的长为半径的圆上运动，
连接DM，交圆M于点P，此时DP取得最小值，
在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC=8，
∵∠AEQ=90°，
∴四边形AEQD是矩形，
，DQ=AE，∠MQD=90°，
∵AB=4，E为AB的中点，
∴BE=AE=2，
∴EM=2，
根据勾股定理，得BM= 22+22=2 2，
，，
根据勾股定理，得，
∴DP的最小值为，
故答案为：．
根据轴对称的性质可得∠BOE=90°，BO=GO，进一步可知EO为△BAG的中位线，可得∠AGB=90°，进一步可知∠APB=45°，过点E作EQ⊥AB，交CD于点Q，在EQ上截取EM=BE，连接BM，AM，可知点P在以M为圆心，BM的长为半径的圆上运动，连接DM，交圆M于点P，此时DP取得最小值，在Rt△BEM中，根据勾股定理求出半径BM的长，再在Rt△MQD中，根据勾股定理求出MD的长，即可求出DP的最小值．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，涉及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，找出点P的运动轨迹是解题的关键．
19.【答案】解：两边都乘以x−1，得：x−2+2(x−1)=−2，
解得：x=23，
检验：当x=23时，x−1=−13≠0，
∴方程的解为x=23．
【解析】两边都乘以x−1，化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
20.【答案】解：原式
=2− 3+1+3+ 3
=6．
【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD//AB，
∴∠OCE=∠OAF，
∵点O为对角线AC的中点，
∴CO=AO，
在△COE和△AOF中，
∠OCE=∠OAFCO=AO∠COE=∠AOF，
∴△COE≌△AOF(ASA)；
(2)四边形AECF为菱形，理由：
∵△COE≌△AOF，
∴CE=AF，
又∵CE//AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CD//AB，
∴∠DEA=∠BAE，
又∵∠DEA=2∠CAB，
∴∠BAE=2∠CAB，
即∠BAC=∠EAC，
∵CD//AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)利用矩形的性质，即可得依据ASA或AAS判定△COE≌△AOF；
(2)先判定四边形AECF是平行四边形，再根据AE=CE，即可得出四边形AECF是菱形．
本题主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22.【答案】解：(1)本次被抽查学生的总人数是60÷30%=200(人)，
扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是360°×20200=36°；
(2)“音乐舞蹈”的人数为200−50−60−20−40=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为50200×1600=400(人)．
【解析】(1)从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查人数的30%，可求出调查人数；用360°乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
(2)用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计图补充完整；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
23.【答案】27
【解析】解：(1)∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27，
故答案为：27；
(2)组成的所有两位数列表为：
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
∴这个两位数大于22的概率为712．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：设BC为x米，则AC=(20+x)米，
由条件知：∠DBC=∠AEC=60°，DE=80米，
在直角△DBC中，tan60°=DCBC=DCx，
则DC= 3x米，
∴CE=( 3x−80)米，
在直角△ACE中，
tan60°=ACCE=20+x 3x−80= 3，
解得x=10+40 3．
答：小山BC的高度为(10+40 3)米．
【解析】设BC为x米，则AC=(20+x)米，通过解直角△DBC和直角△ACE列出关于x的方程，利用方程求得结果．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)AE为⊙O的切线．
理由：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
又∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=30°
∵OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠EAD=30°，
∴∠EAD+∠DAO=90°，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：由(1)可知△AEO为直角三角形，且∠E=30°，AE=6，
∴OA=2 3，
∴阴影部分的面积为12×6×2 3−60π×(2 3)2360=6 3−2π．
故阴影部分的面积为6 3−2π．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OA、AD，可求得∠ACE=∠AEC=30°，可证明△AOD为等边三角形，求得∠EAO=90°，即可证明AE为⊙O的切线；
(2)结合(1)可得到OA=2 3，AE=6，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
26.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b，
把x=5时，y=30，x=15时，y=10代入，
得5k+b=3015k+b=10，
解得：k=−2b=40，
∴y与x之间的函数关系式y=−2x+40(5≤z≤15)；
(2)由题意知，当5≤x≤10时，P=60，
，
∵−2<0，5≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x=10时，W增大，最大值为40；
当10≤x≤15时，P=14x2−4x+m．
把x=10时，P=60代入P=14x2−4x+m得，
60=14×102−4×10+m，
解得：m=75，
∴P=14x2−4x+75，
，
∵−94<0，10≤x≤15，
∴当x=12时，W有最大值，最大值为49；
综上可得：当x=12时，年利润W最大，最大值为49．
【解析】(1)根据题意设y与x的函数关系式为：y=kx+bkx+b，将点(5,30)，(15,10)代入求解即可得；
(2)根据题意及函数图象可得，需要分两部分进行讨论分析：当5≤x≤10时，根据图象可得：P=60；当10≤x≤15时，P=14x2−4x+75；利用利润列出函数解析式，再将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．
本题主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
27.【答案】问题背景
解：CM=12DE，CM⊥DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
同理可得：CE=CG，∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
∴DE=BG，∠BGC=∠DEC，
∵M是BG的中点，
，
∴CM=12DE，，
，
∵∠DEC+∠CDE=90°，
，
∴CM⊥DE；
解决问题
解：如图1，
CM=12DE，CM⊥DE仍然成立，理由如下：
延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，GH分别交CD于P，交DE于Q，DE和CH交于点T，
∵BM=CM，
∴四边形BCGH是平行四边形，
∴GH=BC，GH//BC，
由(1)知：CD=BC，CE=CG，∠BCD=90°，CE//FG，
，，
，
，
∴△DCE≌△HGC(SAS)，
∴DE=CH，，
，
，，
，
，
∴DE⊥CM；
拓展延伸
解：如图，
，理由如下：
延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，
由(2)知：，GH=BC，
∵▱ABCD∽▱ECGF，
，，
，，
，
∴△DCE∽△HGC，
，
，
．
【解析】问题背景：证明△BCG≌△DCE，从而DE=BG，∠BGC=∠DEC，进而证明∠DTH=90°，进一步得出结果；
解决问题：延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，GH分别交CD于P，交DE于Q，DE和CH交于点T，从而四边形BCGH是平行四边形，从而GH=BC，GH//BC，进而证得，进而得出，从而可证得△DCE≌△HGC，进一步得出结果；
拓展延伸：延长CM至H，使MH=CM，连接GH，BH，同理(2)可证得，进而得出△DCE∽△HGC，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的是倍长中线．
28.【答案】 823
【解析】解：(1)把A(1,0)、B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：
a+b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得a=1b=−4c=3，
∴抛物线的表达式为y=x2−4x+3；
(2)设M(0,m)，m<3，
由B(3,0)，C(0,3)可得直线BC表达式为y=−x+3，
∵MN//x轴，
∴N(3−m,m)，
∴MN=3−m．
设点P(t,t2−4t+3)，则t2−4t+3=m，即，
∴PM=t，
PN=MN−PM=3−m−t=−t2+3t，
CM=3−m=−t2+4t．
，
，
，
∵y=x2−4x+3=(x+2)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−1)，
∵m<3，
∴−1
∴当t<72时，S1S2的值随t的增大而减小，
∴当t=0时，S1S2的值最大=6，
当t=2时，S1S2的值最小=1，
∴S1S2的取值范围为1
∵⊙O的半径OA=1，
∴OF=1，
，，
，
，
∴△COF∽，
，
，
，
∵当W，F，B共线时，最小，
∴当W，F，B共线时，最小，最小值即为BW的长度，
，B(3,0)，
，
的最小值为 823，
故答案为： 823；
②作△ABP的外接圆T，作TK⊥x轴于K，连接AT，BT，PT，则，则，
∴当∠ATB最大时，∠APB最大，sin∠APB也最大；
，
∴当AT最小时，PT最小，此时∠APB最大，
∵当PT⊥y轴时，PT最小，
∴此时∠APB最大，sin∠APB最大，
，
∴AT=2，
，
∴P(0, 3).
(1)用待定系数法可得函数的表达式为y=x2−4x+3；
(2)设M(0,m)，m<3，由B(3,0)，C(0,3)可得直线BC表达式为y=−x+3，则，设点P(t,t2−4t+3)，可得PM=t，PN=MN−PM=3−m−t=−t2+3t，CM=3−m=−t2+4t，故，而，知抛物线的顶点坐标为(2,−1)，有−1
②作△ABP的外接圆T，作TK⊥x轴于K，连接AT，BT，PT，则，则，可知当AT最小时，PT最小，此时∠APB最大，此时PT⊥y轴，再用勾股定理可得P(0, 3).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形与四边形面积，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
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