2023年四川省自贡六中中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省自贡六中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  长津湖掀起了一波又一波的观影热潮，使得冰雕连精神再次被点燃，让自强方能立国的精神一代一代地影响着华夏文明的延续．据猫眼专业版数据，截至北京时间月日时分，电影长津湖含预售票房已超亿，请将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  把下面图形折成一个正方体的盒子，折好后与“热”相对的字是(    )

A. 我
B. 们
C. 莆
D. 田

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下面是一些著名汽车品牌的标志，其中不是轴对称的图形是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  是的直径，切于点，交于点若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小明用手机软件记录了最近天的运动步数，并将记录结果制作成了如下统计表：

在每天所走的步数中，众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  已知是一元二次方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当气体的密度为时，体积是．(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则直径(    )
 

A.
B.
C.
D.

11.  如图，中，，分别以，，为边在外部作正方形，，将正方形沿直线翻折，得到正方形，与交于点，点在边上，与交于点，记的面积为，四边形的面积为，若，，则正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

13.  比较大小：______填“”“”或“”

14.  为了解某校八年级学生在延期开学期间每天学习时间的情况，随机调查了该校八年级名学生，将所得数据整理并制成表据此估计该校八年级学生每天的平均学习时间大约是______

15.  已知，，则______．

16.  现定义一种新运算“”，规定，如，则 ______ ．

17.  在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，在内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在的边上，则正方形的边长______．

三、解答题（本大题共9小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
如图，矩形中，点为上一点，于点，求证：．

20.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，延长至使，过点作于点，与交于点，连接．
求证：；
若，求的长．

21.  本小题分
为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点观测行驶的汽车是否超速如图，检测点到公路的距离是米，在公路上取两点、，使得，．
求的长结果保留根号；
已知该路段限速为千米小时，若测得某汽车从到用时秒，这辆汽车是否超速？说明理由参考数据：，

22.  本小题分
某校初二准备购买一批排球当作运动会的奖品，在购买时发现，每个排球可以打九折，用元钱购买的排球，打折后购买的数量比打折前多个．
求打折前每个排球的售价是多少元？
由于学生的需求不同，学校决定购买排球和篮球共个，篮球每个原售价为元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于元，且不超过元，问有哪几种购买方案？

23.  本小题分
某校初二年级有名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了名学生在应用此种方法锻炼前进行了第一次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩，并对数据成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息
第一次体育测试成绩统计表：

第二次体育测试成绩统计图：

两次成绩的平均数、中位数、众数如下：

第一次体育测试成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，．
第二次体育测试成绩在这一组的数据是：，．
请根据以上信息，回答下列问题：
______，______．
第二次体育测试成绩为得分组所对应的圆心角度数是______；第二次体育测试成绩的及格率大于或等于分为及格为______；
下列推断合理的是______．
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩都提升了．
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得年级里大概有人的测试成绩比他高．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点．
求反比例函数的表达式；
过点的直线与反比例函数图象的另一个交点为，与轴交于点，若，求点的坐标．

25.  本小题分
如图，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，与轴交于、两点点在点左侧，与轴交于点．
求抛物线的解析式及点、、的坐标；
若直线经过、两点，且与轴交于点，探索并判断四边形是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；
直线与抛物线交于，两点是否存在这样的实数，使以线段为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
如图已知与轴交于、两点，与轴交于、两点，、两点的横坐标分别为和，弦的弦心距为，
求的半径；
如图，在弦上，且，是弧上一动点，交直径于点，当时，
判断线段与直径的位置关系，并说明理由；
求的长；
如图若点是弦上一动点，是弧上一动点，交直径于点，当与互余时，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：由正方体中相对的两个面的特征可知，折好后与“热”相对的字是“莆”．
故选：．
根据正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对解答即可．
本题考查了正方体平面展开图的性质，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键，正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，正确；
D、原式，错误．
故选C．
原式各项计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式、幂的乘方、合并同类项和同底数幂的除法，熟练掌握对应的运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选D．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得：，
切于点，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的的性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：共记录了最近天的运动步数，
，
在这组数据中出现次数最多的是万步，即众数是．
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个两个数的平均数是万步，
所以中位数是万步，
故选：．
根据题意先求出的值，在这组数据中出现次数最多的是，得到这组数据的众数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个数的平均数是中位数，
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
 

7.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故选：．
先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

8.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，如图所示：则，
，
的坐标为，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，
故选：．
作轴于，轴于，先证，再证明≌，得出对应边相等，，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设密度与体积的反比例函数解析式为，
把点代入解，得，
密度与体积的反比例函数解析式为，
把代入，
得．
故选：．
设密度单位：与体积单位：的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出，再把的值代入解析式即可求出气体的体积．
考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，连接，利用垂径定理可以推知，；然后在直角中，利用勾股定理可以求得的长度即可解决问题．
本题考查了勾股定理和垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
【解答】
解：如图，连接．

是的直径，弦，，
，，
在直角中，，解得，．
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：设，则，
由题意知：，
在和中，，
，
，
∽，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
▱，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：．
设，则，证明∽，得出，根据，再证明≌，得出，可以得出，得出等式，求解即可得到．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握相应的判定定理，通过转化的思想及等量代换的思想进行求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的最低点的纵坐标为，
，
即，
，，
当时，抛物线为．
故选：．
根据顶点的纵坐标求出的值，再代入计算即可．
本题考查抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
而，
，
故答案为：．
估算的大小，进而估算的大小，而，进而得出结论．
本题考查实数的大小比较、无理数的估算，估算无理数的大小是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：这名学生每天的平均学习时间大约是小时，
据此估计该校八年级学生每天的平均学习时间大约是小时．
故答案为：．
利用样本与总体的关系，即只需求出这名学生每天的平均学习时间的平均数即可．
本题考查的是加权平均数的计算方法，通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知得，，
两式相乘，得，
故．
故答案为：．
因、为指数，我们目前无法求出、的值，，其实只需求出、的值或它们的关系，自然想到指数运算律．
本题考查了同底数幂的乘法运算法则，将已知条件转化为分数指数是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，



，
故答案为：．
根据，将、代入即可解决．
本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有题目中新规定，利用新规定解答．
 

17.【答案】或 

【解析】解：如图所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形，
，
设，将点横纵坐标代入，
得，
，

正方形的边长是；
如图所示，以直线为正方形的一边可得正方形，
令，，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
设，则，
，
在中，，
，
，
，
解得．
，
正方形的边长是；
综上所述：正方形的边长是或．
故答案为：或．
本题分两种情况分别讨论：如图所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形，设，将点横纵坐标代入，求出，也就求出正方形的边长；如图所示，以直线为正方形的一边可得正方形，根据一次函数与坐标轴的特点求出角，再根据正方形的性质用表示出边长，根据线段之和求出的值，从而求出正方形的边长．
本题考查了过定点的直线、一次函数性质、正方形性质，掌握这几个知识点的综合应用，分情况讨论是解题关键．
 

18.【答案】解：
；




． 

【解析】根据算术平方根的定义和立方根的定义即可计算求值；
根据完全平方公式、平方差公式计算即可求解．
此题主要考查了整式的混合运算以及平方差公式、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
于点，
，
．
，
，
． 

【解析】利用矩形的性质结合平行线的性质得出，进而得出，由，得出答案．
此题主要考查了矩形的性质以及平行线的性质，正确得出是解题关键．
 

20.【答案】证明：是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，
，
在与中，，
≌，
，
，，
，即，
；

由知≌，
，
在中，，
，，是线段的垂直平分线，
，
． 

【解析】由是等腰直角三角形，得到，，由于，，根据垂直的定义得到，，由于，于是得到，证得≌，得出，由于，，于是得到，即，即可得到结论；
由知≌，推出，在中，，由于，，求得，于是结论即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作的垂线，垂足即为点．

由题意得，，
在中，，
解得．
在中，，
解得，
所以米；

汽车从到用时秒，所以速度为米秒，
因为米秒千米小时千米小时，
或因为千米小时米秒米秒，
所以此汽车超速． 

【解析】分别在与中，利用正切函数，即可求得与的长，继而求得的长；
由从到用时秒，即可求得这辆校车的速度，比较与千米小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：设打折前每个排球的售价为元，则打折后售价为，
由题意得：，
化简为，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：打折前每个排球的售价是元；

设购买排球个，则篮球个，
由题意得：，
解得：，
为整数，
共有如下种购买方案：
排球个，篮球个；
排球个，篮球个；
排球个，篮球个．
答：购买方案共种：排球个，篮球个；排球个，篮球个；排球个，篮球个． 

【解析】设打折前每个排球的售价为元，则打折后售价为，根据用元钱购买的排球，打折后购买的数量比打折前多个，列方程求解；
设购买排球个，则篮球个，根据购买总金额不低于元，且不超过元，列出不等式求解．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列出关系式，注意分式方程必须检验．
 

23.【答案】         

【解析】解：，
由中的表格和中的数据，可得，
故答案为：，；
第二次体育测试成绩为得分组所对应的圆心角度数是，
由中的扇形统计图和中的数据可知，，即第二次体育测试成绩的及格率是；
由题意可得，
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了，故合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得年级里大概有人的测试成绩比他高，所以他决心努力锻炼，提高身体素质，故合理；
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出和的值；
根据中的扇形统计图和中的数据，可以计算出第二次体育测试成绩的及格率；
根据题意和题目中的信息，可以判断和是否合理，本题得以解决．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为．
过点作轴于点，，作轴于点，则，如图所示．
，，
，
，
，
点横坐标为或，
点坐标为或． 

【解析】由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，从而得出反比例函数表达式；
过点作轴于点，，作轴于点，则，由平行线的性质结合即可求出的长度，从而得出点的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数关系式是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将代入，得，解得，
所以，抛物线解析式为，即，
令，得，则，
令，得或，则，；

四边形是平行四边形．
理由：将，，代入直线中，得，
解得，直线解析式为，则，
，，轴，且，
又，，，
四边形是平行四边形；

存在．
如图设，，分别过、作轴，轴，
联立，解得，
则，，
当以线段为直径的圆恰好过坐标原点时，，
则，
则，而，
所以，∽，，即，
，，
，
，整理，得，
解得． 

【解析】根据顶点式设抛物线解析式为，将代入求，确定抛物线解析式，根据抛物线解析式求点、、的坐标；
根据、两点坐标求直线解析式，得出点坐标，求线段，由、两点坐标可知轴，再求，证明与平行且相等，判断断四边形是平行四边形；
存在．如图设，，分别过、作轴，轴，联立直线解析式与抛物线解析式，可得，，，之间的关系，当以线段为直径的圆恰好过坐标原点时，，利用互余关系可证∽，利用相似比得出线段关系，结合，，，之间的关系求的值．
本题考查了二次函数的综合运用．根据利用抛物线的顶点式求抛物线解析式，利用解析式求抛物线与坐标轴的交点，根据平行四边形的判定定理，判断平行四边形，利用互余关系证明相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
 

26.【答案】解：连接，如图所示：
、两点的横坐标分别为和，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的半径为；
；理由如下：
连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
作于，于，延长交于，如图所示：
则，，，
，
，
在中，，，
由得：，
，，
，
∽，
，即，
解得：，，
，
由相交线定理得：，
即，
在中，由勾股定理得：；
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
作于，于，如图所示：
则，，
设，则，，，
同得：∽，
，
，，
的面积，
，
有最大值，
当时，的最大值为，
即面积的最大值为． 

【解析】连接，由题意得出，由垂径定理得出，由勾股定理得出即可；
连接，由圆周角定理得出，，证出，即可得出结论；
作于，于，延长交于，则，，，得出，证出，由勾股定理得出，证明∽，得出，即，解得：，，得出，由相交线定理即可得出，在中，由勾股定理求出的长即可；
证出，得出，作于，于，则，，设，则，，，同得：∽，得出，求出，，由三角形面积公式得出的面积，由二次函数的性质即可得出结果．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、相交弦定理、勾股定理、坐标与图形性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理和证明三角形相似是解题的关键．