2023年四川省南充市中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省南充市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有只，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，的顶点是边长为的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为，，，，，，这六个数的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在由个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接，，有下列结论：
；
是直角三角形；
．
其中，正确结论的个数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如果一个等腰三角形的一个内角等于，则该等腰三角形的底角的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 都不是

9.  已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为(    )

A.
B.
C. 或
D. 以上都不正确

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算：______．

12.  将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为，，，，，挪一次，朝上一面的点数是的概率是______ ．

13.  如图，、分别是边、的中点，，则______．

14.  化简______．

15.  从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为点的横、纵坐标，则点落在抛物线上的概率为______ ．

16.  如图，在正方形纸片中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连结，则下列结论：；；；四边形是菱形；，其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
如图，已知点、是内两点，且，，．
求证：≌．
延长、交于点，若，，求的度数．

19.  本小题分
某茶农要对号、号、号、号四个品种共株茶树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，号茶树幼苗成活率为，把实验数据绘制成图和图所示的两幅不完整的统计图．

实验所用的号茶树幼苗的数量是______株；
求出号茶树幼苗的成活数，并补全统计图；
该茶农要从这四种茶树中选择两个品种进行推广，请用列表或画树状图的方法求出号品种被选中的概率．

20.  本小题分

关于的方程．

求证：无论为何值，方程总有实数根．

设，是方程的两个根，记，的值能为吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．

21.  本小题分

如图，已知反比例函数的图象经过点．

求反比例函数的解析式；

若点，在该函数的图象上，试比较与的大小．

22.  本小题分
已知，如图，在矩形中，，，点为线段上一动点不与点、点重合，先将矩形沿折叠，使点落在点处，交于点．
求证：∽；
若折叠过程中，与的交点恰好是的中点时，求的值；
若折叠后，点的对应落在矩形的对称轴上，求此时的长．
 

23.  本小题分
近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进，两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多万元，花万元购买种设备和花万元购买种设备的数量相同．
求，两种设备每台各多少万元．
根据单位实际情况，需购进，两种设备共台，总费用不高于万元，求种设备至少要购买多少台？

24.  本小题分
如图，四边形内接于，，对角线为的直径，与交于点点为延长线上，且．
证明：；
若，，求的长；
若交于点，连接证明：为的切线．

25.  本小题分
如图，点为矩形的对称中心，，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点即点与点重合时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是设点运动的时间为单位：．
当______时，四边形为正方形；
若以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似，求的值；
是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
各数中，绝对值最大的数是．
故选：．
首先求出每个选项中的数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的方法，判断出各数中，绝对值最大的数是哪个即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转中的坐标变化，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，通过画图得坐标．
根据题意画出图形，确定对应点的坐标．
【解答】
解：的位置如图．

．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、，正确；
D、应为，故本选项错误．
故选：．
根据同底数幂乘法，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设鸡有只
因为上有三十五头，
所以兔有只．
依题意得：．
故选：．
由上有三十五头且鸡有只，可得出兔有只，利用足的数量鸡的只数兔的只数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作，垂足为，
为等边三角形，
，
点为的内心
，．
．
，
，，
，，
，
，
，
．
，
，即．
在和中，
，
≌．
．
故选：．
连接、，过点作，垂足为，由点是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到≌，因而阴影部分面积等于的面积．
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：六个数的中位数为．
故选：．
将这组数据是按从小到大的顺序排列为，，，，，，处于，位的两个数是，，那么由中位数的定义可知．
中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平数，叫做这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于，过作于，
设个完全相同的正三角形的边长是，
图中的三角形都是正三角形，
边长都是，
则，
在、，中，由勾股定理得：
，
，
，
，，
，故正确；
，，，
，
是直角三角形，故正确；
，
，故错误；
即正确的个数是个，
故选：．
设正方形的边长为，根据勾股定理求出，，，再逐个判断即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
分为两种情况，底角为，顶角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】

解：有两种情况：底角是，
顶角是，则底角是，
所以底角为或，
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式的求值，解答此题的关键是通分，认真观察式子的特点尤为重要．
观察已知和所求的关系，把已知等式通分后，再变换即可得到结果．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点，
，
解得．
该抛物线的解析式为，
．
的周长，且是定值，所以只需最小．
如图，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点则．
设直线的解析式为：，则，
解得，
故该直线的解析式为．
当时，，即．
同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点．
如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则三角形的周长；
所以点在时，三角形的周长最小．
综上所述，符合条件的点的坐标是．
故选：．
首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．
然后，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点如图；过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点如图．
本题考查了二次函数的综合题．在求点的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点”，所以应该找轴和轴上符合条件的点，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案为：．
首先计算乘方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，挪一次有种可能性，其中点数为的可能性有种，
挪一次，朝上一面的点数是概率是．
故答案为：．
根据题意可知存在种可能性，其中点数是的可能性有种，从而可以写出相应的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
．
故应填
根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．
此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为有意义，
所以，即
当时，原式

．
故答案为：
根据先确定的取值范围，然后对含二次根式的式子进行化简得结论．
本题考查了二次根式的非负性、二次根式的化简．解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，点落在抛物线上的有：，，，共种情况，
点落在抛物线上的概率为：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点落在抛物线上的结果数，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查用列表法或画树状图法求概率．本题的解答还用到抛物线上点的坐标特征．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
故正确．
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，故错误．
，
，与同高，
，
故错误．
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确．
，，
，
四边形是菱形，
，
，
．
故正确．
故答案为：．
由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；
由，可得；
由，可得的面积的面积；
由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得；
易证得四边形是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得．
此题考查的是折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
 

17.【答案】解：原式
，
把，代入上式得：
原式． 

【解析】直接去括号再合并同类项，进而把已知代入求出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
，
． 

【解析】由证明≌即可；
先由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，则，即可得出答案．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

19.【答案】；
实验所用的号茶树幼苗的数量是株，
号茶树幼苗的成活数为株，
补全条形图如下：

画树状图如下：

由树状图知共有种等可能结果，其中抽到号品种的有种结果，
所以号品种被选中的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
先根据百分比之和为求得号幼苗的百分比，再用总株数乘以所得百分比可得；
先用总株数乘以号的百分比求得其数量，再用号幼苗株数乘以其成活率即可得；
画树状图列出所有等可能结果，再从中找到号品种被选中的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】
解：号幼苗所占百分比为，
实验所用的号茶树幼苗的数量是株，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：当时，原方程可化为，
解得：，此时该方程有实根；
当时，方程是一元二次方程，


，
无论为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论为何实数，方程总有实数根；
由根与系数关系可知，
，，
若，则，
即，
将、代入整理得：，
解得：舍或，
的值能为，此时． 

【解析】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．
分两种情况讨论：当时，方程是一元一次方程，有实数根；当时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
由韦达定理得，，代入到中，可求得的值．
 

21.【答案】解：因为反比例函数的图象经过点，
把，代入解析式可得：，
所以解析式为：；
，
图象在一、三象限，
在第一象限，随的增大而减小，
又，
、两个点在第一象限，
． 

【解析】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据待定系数法即可求得；
根据反比例函数的性质先判定图象在第一象限中，随的增大而减小，根据，可以确定、两个点在第一象限，从而判定，的大小关系．
 

22.【答案】解：在矩形中，，，
，，，
将矩形沿折叠，使点落在点处，
，
，，
，
，
，
，
∽；
点是的中点，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当在横对称轴上，如图所示，此时，，
，
，
由折叠得，，，
，
即，
，
；
当在竖对称轴上时，如图所示，此时，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
综上所述，点的对应落在矩形的对称轴上，此时的长是或． 

【解析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
由点是的中点，得到，根据相似三角形的性质得到，得到，，根据三角函数的定义即可得到结论；
分两种情况考虑：在横对称轴上与在竖对称轴上，分别求出的长即可．
本题考查了折叠的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，注意分两种情况解答此题．
 

23.【答案】解：设每台种设备万元，则每台种设备万元，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
答：每台种设备万元，每台种设备万元；
设购买种设备台，则购买种设备台，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
．
答：种设备至少要购买台． 

【解析】设每台种设备万元，则每台种设备万元，根据数量总价单价结合花万元购买种设备和花万元购买种设备的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
设购买种设备台，则购买种设备台，根据总价单价数量结合总费用不高于万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形内接于，
．
，
                          
在与中，，
≌．
；    
                                           
解：由得，      
，
．
．
，
∽  
．
；

证明：，
．
．
由得，
．
，
∽        
．
，
．
又，
                   
为的直径，
．
．
．
．
为的切线． 

【解析】根据四边形内接于证得≌，利用全等三角形的对应边相等证得；    
根据得，，证得∽，利用相似三角形的对应边的比相等得到，代入数值求得的长即可；
首先根据平行线等分线段定理得到，然后证得∽，从而证得，利用“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”证得为的切线即可．
本题考查了四边形的综合知识，还考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，综合性比较强，特别是中利用平行线等分线段定理证得更是解答本题的关键，难度中等．
 

25.【答案】解：；
分两种情况，讨论如下：
若∽，
则有，即，
解得：；
若∽，
则有，即，
解得：不合题意，舍去或．
当或时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似．
假设存在实数，使得点与点重合．
如图，过点作于点，则在中，，，，
由勾股定理得：，
即：
解得：；

过点作于点，则在中，，，，
由勾股定理得：，
即：
解得：．
，
不存在实数，使得点与点重合． 

【解析】

解：若四边形为正方形，则，，，
即：，
解得；
故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
利用正方形的性质，得到，列一元一次方程求解即可；
与相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的值，它们互相矛盾，所以不存在
本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第问中，需要分类讨论，避免漏解；第问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．