2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，与不是同位角的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某细胞的直径约为毫米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列分式中，最简分式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将分式中与的值同时扩大为原来的倍，分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 无法确定

8.  如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠若：：，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，利用两块相同的长方体木块阴影部分测量一件长方体物品的高度，首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，均为正整数且满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若分式的值为，则 ______ ．

13.  若关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为          ．

14.  一块长为，宽为的长方形地板，中间有两条裂缝如图甲，若移动后，两条裂缝都相距如图乙，则产生的裂缝的面积是          平方厘米．
 

15.  关于的分式方程有增根，则______．

16.  如图，图是一盏可折叠台灯，图为其平面示意图，底座于点，支架，为固定支撑杆，是的两倍，灯体可绕点旋转调节，现把灯体从水平位置旋转到位置如图中虚线所示，此时，灯体所在的直线恰好垂直支架，且，则 ______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程组：
．
．

19.  本小题分
先化简，再求值：，然后再从，，中选一个你喜欢的数，求式子的值．

20.  本小题分
如图，已知，．
试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．
若平分，，求的度数．

21.  本小题分
临近春节，水果持续畅销某水果商购进第一批箱粑粑柑和箱冰糖心苹果，共花费元，全部销售完同种水果进价不变，水果商又购进第二批箱粑粑柑和箱冰糖心苹果，共花费元．
请你计算粑粑柑冰糖心苹果每箱进价各多少元？
水果商以粑粑柑元箱、冰糖心苹果元箱销售，箱粑粑柑和箱冰糖心苹果很快销售完接下来，水果商下调冰糖心苹果价格的，销售完箱后，再次下调冰糖心苹果价格的销售完剩下的箱，水果商销售第二批水果获得的利润是多少？

22.  本小题分
图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
观察图，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为______ ．
运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
 

23.  本小题分
数学教科书中这样写道：
“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：；
例如求代数式的最小值；．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
分解因式：        ；
当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
已知，，求的值．

24.  本小题分
阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，
例如：．
请根据上述材料，解答下列问题：
填空：分式是______ 分式填“真”或“假”；
把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式：
______ ______ ．
把分式化成一个整式与一个真分式的和差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数．
一个三位数，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与是同位角，故该选项不符合题意；
B、与是同位角，故该选项不符合题意；
C、与是同位角，故该选项不符合题意；
D、与不是同位角，故该选项符合题意；
故选：．
根据同位角的定义判断即可．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．
本题考查了同位角，内错角，同旁内角，掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、该分式是最简分式，故此选项符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简分式定义进行分析即可．
此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

4.【答案】 

【解析】

解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，不是因式分解，故D不符合题意；
故选：．
【分析】利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．  

5.【答案】 

【解析】

解：、原式，选项不符合题意；
B、原式，选项不符合题意；
C、原式，选项不符合题意；
D、原式，选项符合题意．
故选：．
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．  

6.【答案】 

【解析】解：，
得：，即，
代入中得：，
解得：，
故选：．
方程组中两方程相加表示出，代入中计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
 

7.【答案】 

【解析】解：将分式中与的值同时扩大为原来的倍得：
，
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，由平行线的性质，得，
由折叠的性质，得，
即，
，
：：，
，
，
解得，
，
．
故选：．
由平行线的性质可知，由折叠的性质可知，推知，由此作出判断．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质．关键是明确与的互补关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：设长方体木块的长为，宽为，长方体物品的高为，
由题意得：，
两式相加得：，
解得：，
故选：．
设长方体木块的长为，宽为，长方体物品的高为，由图中数据建立方程组求出其解即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，均为正整数，
，或，
，，，，
，，，，
的最小值为．
故选：．
利用因式分解把等式变形为，再讨论各种可能情况，求出、的值，判断出最小值．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
 

11.【答案】 

【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取，再利用平方差公式分解即可．
解：原式
，
故答案为：．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
当，时，
当时，分式的值是．
故答案为．
分式的值是的条件是：分子为，分母不为．
分式是的条件中特别需要注意的是分母不能是，这是经常考查的知识点．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解二元一次方程组，正确求出，的值是解题的关键．
先用含的代数式表示、，即解关于，的方程组，再代入中可得．
【解答】
解：根据题意得
得：，
，
把代入得：，
，
，
，
解得：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
利用两个长方形的面积差计算产生缝隙的面积．
本题考查了平移的性质，关键是抓住等量关系“产生的裂缝的面积图乙长方形的面积图甲长方形的面积”进行解答．
【解答】
解：由题意可知：甲图长方形的面积为，
乙图长方形面积为，
产生缝隙的面积平方厘米，
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：方程两边都乘，得

原方程有增根，
当时，，
当时，．
故答案为：或．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，分式方程有增根可按如下步骤进行：
化分式方程为整式方程；
将分母为的值代入整式方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，延长交于，如图，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，
，
，
解得．
故答案为：．
延长交于点，延长交于，可得，可得，在四边形中，利用四边形内角和为列出等式即可．
本题考查了平行线的性质及四边形的内角和的应用，解题的关键是正确地作出辅助线，利用四边形内角和为进行解题．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先算零指数幂、负整数指数幂、乘方，后算加减；
用多项式与多项式相乘的法则、完全平方公式计算．
本题主要考查零指数幂、负整数指数幂、乘方、多项式与多项式相乘、完全平方公式，注意这几种运算方法的熟练应用是解题关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
原方程组的解为：；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解． 

【解析】利用加减消元法，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
由题意得：且，
和，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】由可证得，得，已知，等量代换后可得，由此可证得与平行；
由两直线平行，同旁内角互补得，由平分，得，两直线平行，内错角相等，得出．
此题主要考查平行线的判定和性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
 

21.【答案】解：设粑粑柑每箱进价为元，冰糖心苹果每箱的进价为元，
而，
解得，
答：粑粑柑每箱进价为元，冰糖心苹果每箱进价为元．
第一次下调价格后，冰糖心苹果的单价为元，
第二次下调价格后，冰糖心苹果的单价为元，
所以利润为：元．
水果商销售第二批水果获得的利润为元． 

【解析】设粑粑柑每箱进价为元，冰糖心苹果每箱的进价为元，然后根据题意列一元二次方程组求解即可；
先分别求出第一、二次下调价格后的单价，然后根据利润、售价、成本的关系即可解答．
本题主要考查二元一次方程组、利润与售价和成本的关系等知识点，正确列出一元二次方程组是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：图，大正方形的边长为，
因此面积为，
小正方形的边长为，
因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得，，
故答案为：；
由得，，
即，
或；
设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
由于，两正方形的面积和，
因此，，
，即，
，
阴影部分的面积为．
根据图中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
由的结论，进行应用即可；
设两个正方形的边长为，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是解决问题的前提．
 

23.【答案】 

【解析】解：原式



，
故答案为：；

，，
，
当，时，多项式有最小值为．
，

，
，
，
，
，，
，，
，，
，
．
根据阅读材料，先将配方，再用平方差公式即可分解；
将、分组，然后再用材料中的方法分解即可求出最小值；
先得到，然后代入到中得到据此求解即可．
本题主要考查了配方法的应用，因式分解，正确理解题意是解题的关键．
 

24.【答案】真    

【解析】解：分子的次数小于分母的次数，
分式是真分式；
故答案为：真；


，
故答案为：，；



，
为整数，要使这个分式的值为整数，即能被整除，
或或或；
设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，
，，




，
由题意可得，，，且，均为整数，
这个三位数的平方能被这个两位数整除，
为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，没有满足题意的值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的值，
综上，满足条件的两位数为．
根据“真分式”的定义即可判断；
根据材料所给的方法进行变形即可解答；
根据材料所给的方法进行变形，再根据变形的式子即可确定的取值；
设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则，，以此得到，整理得，进而得到为整数，再结合，的取值范围即可求解．
本题主要考查分式的混合运算、因式分解的应用，理解题意熟练掌握运算法则是解题关键．