2023年广东省江门市新会区名冠实验学校中考数学一模试卷(含解析)
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第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出,今年城镇新增就业目标为人以上,数据用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 如图,平行线,被直线所截,平分,若,则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取株水稻苗,测得苗高单位:分别是:,,,,,,,,则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. , B. , C. , D. ,
5. 如图,在中,点,分别是,的中点若的面积是,则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6. 根据图象,可得关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
9. 如图,在中,,以点为圆心,长为半径画弧,交于点和点,再分别以点,为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点,作射线交于点若,,则的长度是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图所示的抛物线是二次函数的图象,则下列结论:
;;抛物线与轴的另一个交点为;;.
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
11. 因式分解: .
12. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖.若直角三角形两条直角边的长分别是和,则飞镖投到小正方形阴影区域的概率是______.
13. 如图,的三个顶点分别在边长为的正方形网格上,则的值为______ .
14. 如图,以正方形的边向外作正六边形,连接,则______.
15. 如图,在菱形中,,点在边上,将沿直线翻折,得到,点的对应点是点若,,则的长是______ .
三、计算题(本大题共1小题,共9.0分)
16. 如图,在中,,点、分别在、上,平分,,,.
求
、的长;
的值.
四、解答题(本大题共7小题,共66.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
计算:;
计算:.
18. 本小题分
某地地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款元,第三天收到捐款元.
如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率?
按照中收到捐款的增长率不变,该单位三天一共能收到多少捐款?
19. 本小题分
如图,在四边形中,,过点作的角平分线交于点,连接交于点,.
求证:四边形是菱形;
若,的周长为,求菱形的面积.
20. 本小题分
某中学以“我最喜爱的书籍”为主题,对学生最喜爱的书籍类型的情况进行了随机抽样调查每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种书籍,并将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图:
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
求本次被调查学生的人数;
请将上面的两幅统计图补充完整;
若从名最喜爱文学书籍和名最喜爱科普书籍的学生中随机抽取人,请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的概率.
21. 本小题分
如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点,过点作于点.
求一次函数和反比例函数的表达式;
求四边形的面积.
22. 本小题分
如图,是的直径,点在上,为外一点,且,.
求证:直线为的切线.
若,,求的半径.
在的条件下,求阴影部分的面积.
23. 本小题分
如图,抛物线与轴交于点、点在点左侧,与轴交于点,点是抛物线上一个动点,连接,,
求抛物线的函数表达式;
若点的横坐标为,求的面积;
如图所示,当点在直线上方运动时,连接,求四边形面积的最大值,并写出此时点坐标.
若点是轴上的一个动点,点是抛物线上一动点,的横坐标为试判断是否存在这样的点,使得以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:.
故选:.
科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正整数;当原数的绝对值时,是负整数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数,表示时关键要正确确定的值以及的值.
2.【答案】
【解析】解:.,故本选项不合题意;
B.,故本选项符合题意;
C.,故本选项不合题意;
D.,故本选项不合题意.
故选:.
分别根据算术平方根的定义,有理数的乘方的定义以及绝对值的定义逐一判断即可.
本题考查了算术平方根,有理数的乘方以及绝对值的定义,熟记相关定义是解答本题的关键.
3.【答案】
【解析】解:平分,,
,
,
.
故选:.
先根据角平分线的定义求出的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为;两直线平行,内错角相等.
4.【答案】
【解析】解:将这组数据从小到大重新排列为,,,,,,,,,
这组数据的众数为,中位数为,
故选:.
将这组数据从小到大重新排列,再根据众数和中位数的定义求解即可.
本题主要考查众数和中位数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.【答案】
【解析】解:点,分别是,的中点,
,,
∽,
,
,
,
,
故选:.
由点,分别是,的中点,根据三角形的中位线定理得,则∽,所以,即可求得,则,于是得到问题的答案.
此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识,证明∽且根据“相似三角面积的比等于相似比的平方”求出的面积是解题的关键.
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式,能根据图象得出正确信息是解此题的关键.
先根据函数图象得出交点坐标,根据交点的坐标和图象得出即可.
【解答】
解:根据图象可知:两函数的交点为,
所以关于的一元一次不等式的解集为,
故选:.
7.【答案】
【解析】解:分两种情况:
当,时,一次函数的图象过第一、二、三象限,反比例函数图象在第二、四象限,无选项符合;
当,时,一次函数的图象过第一、二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限,故B选项正确.
故选:.
根据一次函数与反比例函数图象的特点,可以从,和,两方面分类讨论得出答案.
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题.
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式,牢记“当时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.
将原方程变形为一般式,根据根的判别式即可得出关于的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】
解:原方程可变形为.
该方程有两个相等的实数根,
,
解得:.
9.【答案】
【解析】解:由作法得,则,
,
在中,.
故选:.
利用基本作图得到,再根据等腰三角形的性质得到,然后利用勾股定理计算的长.
本题考查了作图基本作图:熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线.
10.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
由开口方向、与轴交于负半轴以及对称轴的位置,即可确定,,的正负;由对称轴,可得;由抛物线与轴的一个交点为,对称轴为:,可得抛物线与轴的另一个交点为;当时,;,,即可得.
【解答】
解:开口向上,
,
与轴交于负半轴,
,
对称轴,
,
,
故正确;
对称轴,
,
故正确;
抛物线与轴的一个交点为,对称轴为:,
抛物线与轴的另一个交点为,
故正确;
当时,,
,
故错误;
,,
;
故正确.
故选B.
11.【答案】
【解析】解:,
,
.
先提公因式,再利用平方差公式继续分解因式.
本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后继续进行二次因式分解是关键,注意分解因式要彻底.
12.【答案】
【解析】解:直角三角形的两条直角边的长分别是和,则小正方形的边长为,根据勾股定理得大正方形的边长为,,针扎到小正方形阴影区域的概率是.
首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例,根据这个比例即可求出针扎到小正方形阴影区域的概率.
本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯依靠公式机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性.用到的知识点为:概率相应的面积与总面积之比.易错点是得到两个正方形的边长.
13.【答案】
【解析】解:如图,,,,
,
是等腰直角三角形,,
,
故答案为:.
根据,,,得到,推出是直角三角形,,推出.
本题主要考查了勾股定理,勾股定理的逆定理,三角函数等.解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形,勾股定理的逆定理判断直角三角形,锐角三角函数定义.
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形的内角,等腰三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.
根据正方形的性质得到,,在正六边形中,求得,,于是得到,,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】
解:四边形是正方形,
,.
在正六边形中,
,,
,,
.
故答案为:.
15.【答案】
【解析】解:菱形,
,,
,
,
,
,
将沿直线翻折,得到,
,,
,
,
,
,
在中,由勾股定理得:
,
故答案为:.
根据菱形中,可知是等边三角形,结合三线合一可得,求出,可得,则是直角三角形,借助勾股定理求出的长即可.
本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识,明确翻折前后对应线段相等是解题的关键.
16.【答案】解:在中,由,,得:,
由勾股定理得
平分,,,角平分线性质得:.
方法一:由,,得:.
在与,,,
∽得:,即,,
得:
方法二:由得,又,得,
由勾股定理得得:.
【解析】由,,,可求出的长,根据勾股定理可求出的长,由角平分线的性质可得;
由,,得由,,可知∽,由相似三角形边长的比可求出的长,根据三角函数的定义可求出.
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义,进行逻辑推理能力和运算能力.
17.【答案】解:原式
;
原式
.
【解析】先计算零指数幂,负整数指数幂和特殊角三角函数值,再计算加减法即可;
先根据平方差公式和完全平方公式去括号,然后根据二次根式的加减计算法则求解即可.
本题主要考查了二次根式的混合计算,零指数幂,负整数指数幂,特殊角三角函数值,完全平方公式,平方差公式,掌握相关计算法则是解题的关键.
18.【答案】解:设捐款增长率为,根据题意列方程得,
,
解得,不合题意,舍去;
答:捐款增长率为.
第二天收到捐款为:元.
该单位三天一共能收到的捐款为:元.
答:该单位三天一共能收到元捐款.
【解析】解答此题利用的数量关系是:第一天收到捐款钱数每次增长的百分率第三天收到捐款钱数,设出未知数,列方程解答即可;
第一天收到捐款钱数每次增长的百分率第二天收到捐款钱数,依此列式子解答即可.
本题考查了一元二次方程的应用,列方程的依据是:第一天收到捐款钱数每次增长的百分率第三天收到捐款钱数.
19.【答案】证明:,,
四边形是平行四边形,,
平分,
,
,
,
平行四边形是菱形;
解:由可知,四边形是菱形,
,,,,
的周长为,
,
,
在中,由勾股定理得:,
,
菱形的面积.
【解析】证四边形是平行四边形,,再证,则,然后由菱形的判定即可得出结论;
由菱形的性质得,,,,再求出,则,然后由勾股定理得,则,即可解决问题.
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
20.【答案】解:人,
答:本次被调查学生的人数为人;
最喜爱艺术书籍的人数为:人,最喜爱科普书籍的人数所占的百分比为:,最喜爱体育书籍的人数所占的百分比为:,
补全统计图如图所示;
设名最喜爱文学书籍的学生为,,名最喜爱科普书籍的学生为,,
画树状图为:
共有种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的结果数为,
所以抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的概率.
【解析】用最喜爱文学的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量;
根据题意补全两幅统计图即可;
画树状图展示种等可能的结果数,再找出抽取的两人所抽取的两人恰好都是最喜爱文学书籍的结果数,然后根据概率公式求解.
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果,再从中选出符合事件或的结果数目,然后利用概率公式计算事件或事件的概率.也考查了统计图.
21.【答案】解:代入得,,
反比例函数的关系式为;
把代入得,,
点;
把点,代入一次函数得,
,
解得:,
一次函数;
答:一次函数的表达式为,反比例函数的表达式为;
如图,过点作,垂足为,由题意可知,,,,,
,
,
.
【解析】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质,把点的坐标代入是常用的方法,将坐标与线段的长的相互转化是计算面积的关键.
将点坐标代入,确定反比例函数的关系式,进而确定点坐标,把点、的坐标代入求出一次函数的关系式;
将四边形的面积转化为,利用坐标及面积的计算公式可求出结果.
22.【答案】证明:连接,
,
,
,
,
,
又,
,
,
又点在上.
直线为的切线;
解:连接,
,
,
又,
是等边三角形,
,
,
,则,
是等边三角形,
,
即的半径为;
解:,
,
,
.
【解析】连接,则,由,得,从而证明,证明结论;
连接,可证是等边三角形,由,,得,从而得出答案;
将转化为,即可得出答案.
本题是圆的综合题,主要考查了圆的切线的判定,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,含角的直角三角形的性质,扇形的面积等知识,熟练掌握圆的相关知识是解题的关键,属于常考题.
23.【答案】解:抛物线经过点、,
,
解得:,
该抛物线的函数表达式为;
设直线的解析式为,则,
解得:,
直线的解析式为,
点的横坐标为,
,
如图,过点作轴,交于点,
则,
,
;
,
抛物线的对称轴为直线,
点和点关于直线对称,
,
,
,
,
,
如图,过点作轴交于点,
设,则,
,
,
,
,
当时,有最大值,最大值为.
此时,点的坐标为;
由知,,
点是轴上的一个动点,点是抛物线上一动点,
设,,
当、为对角线时,与的中点重合,
则,
解得:,此时点与点重合,舍去,
;
当、为对角线时,与的中点重合,
则,
解得:,,
或;
当、为对角线时,与的中点重合,
则,
解得:,此时点与点重合,舍去,
;
综上所述,点的坐标为或或或.
【解析】运用待定系数法将、代入,解方程组即可得出答案;
利用待定系数法可得直线的解析式为,如图,由题意得,过点作轴,交于点,则,再由,即可求得答案;
利用抛物线对称性求得,可得,进而可得,如图,过点作轴交于点,设,则,可得,进而可得,运用二次函数最值即可求得答案;
根据平行四边形判定和性质分三种情况:当、为对角线时,与的中点重合,当、为对角线时,与的中点重合,当、为对角线时,与的中点重合,分别建立方程组求解即可.
本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的图象和性质,三角形面积,平行四边形性质等,熟练掌握二次函数性质,运用分类讨论思想和方程思想是解题关键.
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