2023年广东省惠州市综合高级中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省惠州市综合高级中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一元一次不等式组解集为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，，切于点，，点是上一点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两个点，对称轴为直线下列结论：；；；正确的结论个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，四边形是菱形，，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：______．

12.  分解因式：______．

13.  把二次函数化为的形式是______ ．

14.  如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为______ ．

15.  如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式的正整数解．

17.  本小题分
如图，在中，，是的角平分线．
作的角平分线，交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
求证：．

18.  本小题分
某校组织“校长杯”作文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
本次比赛获三等奖的人数是______．
扇形统计图中“二等奖”所对应的圆心角度数是______．
甲，乙，丙，丁位一等奖获得者参加“共生阅读”活动，一张圆桌旁设有个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲，乙两人等可能地坐到，，中的两个座位上用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
 

19.  本小题分
在我市“青出绿水”行动中，某村计划对面积为的山坡进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化．
若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，该村要使这次绿化的总费用不超过万元．则至少应安排乙工程队绿化多少天？

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数交于，，轴于点，轴于点．
根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数值大于反比例函数值；
求一次函数的解析式及的值；
是线段上的一点，连接，，若∽，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，是的外接圆，直径，直线经过点，于点，．
求证：是的切线；
若，求的长；
在的条件下，求图中阴影部分的面积．

23.  本小题分
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的表达式；
是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将数据用科学记数法表示正确的是．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图．
，，
．
故选：．
根据三角形三内角之和等于求解．
考查三角形内角之和等于．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
，



．
故选：．
根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，代入代数式求值即可得出答案．
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是矩形，，交于点，，，
，
，即．
．
又、分别为、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据矩形的性质和含的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：．
先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接、．

、都为圆的切线，
．
，
．
．
故选：．
由与都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据的度数，利用四边形的内角和定理求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的倍，求出的度数即可．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
为等腰三角，
如图所示，过点作，垂足为，

，
．
故选：．
先求出三角形的三边长，发现三角形是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出角的余弦值．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴，，异号，
，
抛物线与轴的交点在和之间，
，
，
故正确；
抛物线与轴交于，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
故不正确；
抛物线与轴有两个不同的交点，
，即，
，
，
故正确；
由题意可知，方程的两个根为，，
又，即，
，
，
，
故正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：．
根据二次函数的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、点坐标等知识点，逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，正确，，的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系是正确解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，当时，；
当时，如图，

过作于点，则，
，
，
，
；
当时，如图，

过作于点，过作于点，则，，，
，，
，，
，
，
综上可知，当时，函数图象是开口向上的抛物线；当时，函数图象是从左到右呈上升趋势的线段；当时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有，
故选：．
分点在、、边上时的三种情况，分别求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
故答案为：．
利用配方法计算即可．
本题考查了抛物线的配方法求顶点式，熟练掌握配方基本要领是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
又因为，．
所以，
又因为，
所以，
所以，
故答案为：．
根据可得，可得，可得，再由，，可得，在中利用三角形内角和定理可求出．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于点，于点，
设点坐标为，
，，，
，
≌，
，
，
，
点的横坐标，
点的纵坐标，
又点在上，
．
故答案为：．
作于点，于点，先通过证明≌得出，然后根据，求出，再求出点坐标代入即可．
本题考查了反比函数系数的几何意义，解题关键是通过构建全等三角形求出点坐标．
 

16.【答案】解：


，
，
，
为正整数，
或或，
当或时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，同时把括号外的除法变成乘法，再约分化简，然后根据是不等式的正整数解，选出一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解、分式化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示．

证明：，
，
是的角平分线，是的角平分线，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】按照角平分线的作图步骤作图即可．
证明≌，即可得出．
本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次比赛获奖的总人数共有：人，
故答案为：；

扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：；

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有种，
甲与乙相邻而坐的概率为．
由一等奖人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以二等奖人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
 

19.【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是、；
设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
解得：，
至少应安排乙工程队绿化天，
答：至少应安排乙工程队绿化天． 

【解析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意列出方程即可；
设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，由题意得，再根据题意得出不等式，即可得出结论．
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
 

20.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

21.【答案】解：因为一次函数与反比例函数交于，，
根据图象可知，当时，一次函数的值大于反比例函数的值；
把、代入一次函数得，
解得，，
一次函数的关系式为，
把代入反比例函数得，，
答：一次函数表达式为，的值为．
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图，
由、可知，，，
∽，
，
，，
，
设点的横坐标为，则，
解得，
点的横坐标为，纵坐标为，
答：点的坐标为 

【解析】根据函数图象写出直线在双曲线上方部分的的取值范围即可；
把、两点坐标代入各自的关系式即可求出一次函数的关系式和的值；
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，由、得到、的长，若为相似三角形的对应边可得相似比为：，再根据、的横坐标可求出点的横坐标，代入一次函数关系式求出纵坐标即可．
本题考查一次函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形等知识，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

是直径，
，即，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：在和中，
，，
∽，
，
，
，
，
，
；
解：在中
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中
，，
，
． 

【解析】连接，由，利用等边对等角得到，由，得到，得到垂直于，即可得到为圆的切线；
证明∽，可求出，由勾股定理求出的长即可；
求出，证明为等边三角形，求出，在中，可求出，求出梯形和扇形的面积，相减即可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟练掌握圆的基础知识是解本题的关键．
 

23.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；
由题意可得如图所示：

过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
当时，解得：，
当时，解得：．
综上：点的横坐标为或或或． 

【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．