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2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年广东省惠州市惠阳区中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础上增设科研设备，建成后装备研究能力将大幅提升.当前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器.已知中子的半径约为0.0000000000000016m，将0.0000000000000016m用科学记数法表示为( )
A. 16×10−14B. 1.6×10−14C. 1.6×10−15D. 0.16×10−14
4.若分式xx−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠0B. x≠−1C. x≠1D. x≥1
5.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
6.在平面直角坐标系中，点P(−1,m2+1)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.如图，直线l1//l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为( )
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 30°
8.如图，数轴上表示实数 3的点可能是( )
A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S
9.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A. 8
B. 10
C. 13
D. 15
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc<0；②方程：ax2+bx+c=0(3≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0,y1),(32,y2)是抛物线上的两点，那么y10；⑤对于任意实数m，都有m(am+b)≥a+b，其中正确结论的是( )
A. ②④
B. ①②④
C. ②④⑤
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：9a2−9= ______．
12.计算： 4−(3−π)0= ______．
13.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．
14.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是______．
15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，连接BD，若∠DBC=30°，则∠BAD的度数是______°.
16.如图，已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于第一象限内的点A(12,8)和B(4,m)，过点A作AP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q.若△AOP的面积记为S1，△BOQ的面积记为S2，则S1 ______S2(填“>”、“<”或“=”)．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解方程：x2−4x=0；
(2)先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a=−4．
18.(本小题6分)
在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，我市某学校组织七、八年级学生开展植树造林活动.已知七年级植树90棵与八年级植树120棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树35棵，求八年级平均每小时植树多少棵？
19.(本小题7分)
如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．
21.(本小题9分)
非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格.某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A惠东盖子狮，B龙门农民画，C惠州剪纸，D莫家拳，E客家凉帽(竹编技艺)的相关传承人进校园宣讲，现随机抽取若干名七年级学生进行投票，选择自己喜欢的项目(假设每名学生只能选择一项)，并将投票结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生共______人，补全统计图1(要求在条形图上方注明人数)；
(2)若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的学生人数；
(3)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B龙门农民画和C惠州剪纸这两个项目的概率．
22.(本小题9分)
综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
23.(本小题12分)
如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA=PB.连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．
(1)证明：PA是⊙O的切线；
(2)证明：DB2=DC⋅DA；
(3)若BD=4，sin∠ADP=35，求线段OP的长．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)，点P为x轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，若△OBD的面积为94，请求出D点坐标；
(3)如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，请问PHQH的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选B．
根据三视图的判断方法判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，正确判断出三视图是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000000000000016=1.6×10−15，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：由题可知，
x−1≠0，
解得x≠1，
故选：C．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24，
即：众数是23，中位数是24，
故选：C．
根据众数、中位数的定义进行解答即可．
本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．
6.【答案】B
【解析】解：∵m2+1>0，
∴点P(−1,m2+1)在第二象限．
故选：B．
依据m2+1>0，即可得出点P(−1,m2+1)在第二象限．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
7.【答案】C
【解析】解：∵l1//l2，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．
本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义，掌握相关知识是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵4>3>1，
∴ 4> 3> 1，
∴2> 3>1．
故选：C．
分析被开方数的范围即可．
本题主要考查实数与数轴．给定某一无理数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该无理数的范围即可，比较简单，
9.【答案】C
【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=3+5=8，y2=2+3=5，z2=x2+y2=13；
即最大正方形E的面积为：z2=13．
故选：C．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=8，y2=5，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据图象可知：a>0，c<0，
∵对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，即b=−2a．
∴b<0，
∴abc>0．
故①错误．
方程ax2+bx+c=0，即为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点，
根据图象已知一个交点−1∴另一个交点2故②正确．
∵对称轴是直线x=1，
∴点(32,y2)离对称轴更近，
∴y1>y2，
故③错误．
∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
根据图象，令x=−1，
y=a+2a+c=3a+c>0，
∴6a+2c>0，
∵a>0，
∴11a+2c>0，
故④正确．
m(am+b)=am2+bm=am2−2am≥a−2a，
am2−2am≥−a，
即证：m2−2m+1≥0，
m2−2m+1=(m−1)2，
∴m为任意实数，m2−2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确．
故选：C．
根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负，可以判断①；将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围，可以判断②；根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小，可以判断③；用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x=−1，得到3a+c>0，即6a+2c>0，因为a>0，所以得出11a+2c>0，可以判断④；化简不等式，用a表示b，根据a>0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．
11.【答案】9(a+1)(a−1)
【解析】解：原式=9(a2−1)
=9(a+1)(a−1)．
故答案为：9(a+1)(a−1)．
先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解： 4−(3−π)0
=2−1
=1，
故答案为：1．
先计算算术平方根和零次幂，再计算加减．
此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．
13.【答案】六
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理即n边形的内角和为(n−2)⋅180°，难度较易．根据n边形的内角和(n−2)⋅180°即可求得．
【解答】
解：∵n边形的内角和为(n−2)⋅180°，
∴(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是六．
故答案为六．
14.【答案】x≤64
【解析】解：第一次的结果为：3x−2，没有输出，则
3x−2>190，
解得：x>64．
故x的取值范围是x>64．
故答案为：x>64．
表示出第一次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解不等式求出即可．
本题考查了一元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．
15.【答案】120
【解析】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BCD=90°−30°=60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=180°−60°=120°，
故答案为：120．
根据圆周角定理得到∠BDC=90°，根据直角三角形的性质求出∠BCD，再根据圆内接四边形的性质求出∠BAD．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，事件圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16.【答案】=
【解析】解：∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于第一象限内的点A(12,8)和B(4,m)，
∴k2=12×8=4m，
∴m=1，
∴B(4,m)，
∵A(12,8)，B(4,1)，
∴S1=12PA⋅OP=12×12×8=2，S2=12PQ⋅BQ=12×4×1=2，
∴S1=S2．
故答案为：=．
利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点B的坐标，利用三角形面积公式求得S1、S2即可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−4x=0，
则x(x−4)=0，
∴x=0或x−4=0，
∴x1=0，x2=4；
(2)原式=(1a−1+a−1a−1)⋅(a+1)(a−1)a
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a
=a+1，
当a=−4时，原式=−4+1=−3．
【解析】(1)利用因式分解法解出方程；
(2)根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解法、分式的化简求值，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树(35−x)棵，
根据题意得：90x=12035−x，
解得：x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意，
∴35−x=20(棵)．
答：七年级平均每小时植树15棵，八年级平均每小时植树20棵．
【解析】设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树(35−x)棵，根据“七年级植树90棵与八年级植树120棵所用的时间相同”可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出七年级平均每小时植树棵数，再将其代入(35−x)中，即可求出八年级平均每小时植树棵数．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在△BED和△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴△BED≌△CFD(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC(等角对等边)．
∵∠BDE=30°，DE⊥AB，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．
利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边得到AB=AC，再求得∠B=60°，即可解答．
20.【答案】解：(1)如图所示；
(2)125．
【解析】【分析】
本题考查了角的平分线的定义平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)①以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半长度为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，②以D为圆心，大于点D到AC的距离的长度为半径画弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半的长度作半径画弧，两弧相交于AC右边一点，把该点与D点连接即可作出垂线；
(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
【解答】
(1)见答案；
(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
设DE=CE=x，则AE=6−x，
∴x4=6−x6，
解得：x=125，
即DE=125，
故答案为：125．
21.【答案】120
【解析】解：(1)抽取人数是：24÷20%=120(人).投票给C的人数是：120×30%=36(人)，
投票给E的人数是：120−36−24−36−6=18(人)，
补全统计图如下：
故答案为：120；
(2)D占抽取人数的：6÷120×100%=5%．
那么七年级学生共有1200人，按照D抽取率，
所以喜欢“莫家拳”项目的人数大概是：1200×5%=60(人)；
(3)列表法有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(C,D)共10种，
所以选中(B,C)的概率是1÷10=110．
(1)根据条形统计图和扇形统计图，投票给B的是24人，占抽取人数的20%，所以抽取人数是：24÷20%=120(人).而C占抽取人数的30%，那么投票给C的人数是：120×30%=36(人)，总人数减去ABCD的人数，求出E的人生，据此补充统计图；
(2)在抽取人数中，投票给D的是6人，所以D占抽取人数的：6÷120×100%=5%.那么七年级学生共有1200人，按照D抽取率，所以喜欢莫家拳项目的人数大概是：1200×5%=60(人)；
(3)根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，解题的关键是掌握相关知识．
22.【答案】可以
【解析】解：任务一：1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+12−1= 2+1；
任务二：设MN为x，则BC=MB=x，AC=12x，
∴AB= BC2+AC2= x2+(12x)2= x2+x24= 52x，
证明：如图4，由折叠性质可以知道，
AD=AB，
∴CD=AD−AC=AB−AC= 52x−12x= 5−12x，
∴CD：BC= 5−12x：x= 5−12，
∴矩形BCDE是黄金矩形；
任务三：S△MCE=S△MBC+S△BCE，
S△MCE=12MB⋅BC+12BC⋅CD=12x2+12x⋅ 5−12x=12x2⋅ 5+12，
∵MN=2，
∴S△MCE=12×22× 5+12= 5+1
MC= MB2+BC2=2 2
∴S△MCE=12×2 2⋅EH= 2EH，
∴EH= 5+1 2= 10+ 22，
∴点E到线段MC的距离是 10+ 22．
故答案是： 2+1； 5−12x； 10+ 22．
①利用分母有理化进行化简；
②由勾股定理求出AB的长，折叠性质可以求出CD的长．从而对矩形两边进行比较；
③利用等积运算S△MCE，求出点E到线段MC的距离即可．
本题主要考查的是黄金分割和分母有理化，同时考查了三角形的面积的等积推理和勾股定理，借助图形推理是关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
在△AOP和△BOP中，
PA=PAOA=OBOP=OP，
∴△AOP≌△BOP(SSS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
(2)证明：如图2，连接BA、BC，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠DBC=∠DAB，
又∵∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAB，
∴DCDB=DBDA，
∴DB2=DC⋅DA；
(3)解：在Rt△OBD中，sin∠ADP=35，设OB=3x，OD=5x，
∴BD=4x，
∵BD=4，
∴x=1，
∴OB=3x=3，OD=5x=5，
在Rt△PAD中，sin∠ADP=PAPD=PAPB+BD=PBPB+4=35，
∴PB=6，
在Rt△POB中，OP= OB2+PB2= 32+62=3 5．
【解析】(1)连接OB，判定△AOP≌△BOP，从而得到∠PAO=90°，即可得证；
(2)连接BA、BC，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定△DBC∽△DAB的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论；
(3)先解直角三角形BOD，求出OB、CD、BD，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出PB的长，再根据勾股定理即可求出OP．
本题是圆的综合题，主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c，
得：1−b+c=0c=−3，解得：b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
(2)对于y=x2−2x−3，当y=0时，得x1=−1，x2=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
∵点P为x轴下方抛物线上一点，且点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y=22−2×2−3=−3，
∴点P的坐标为(2,−3)，
设直线AP的解析式为：y=kx+t，
将点A(−1,0)，点P(2,−3)代入y=kx+t，
得：−k+t=02k+t=−3，解得：k=−1t=−1，
∴直线AP的解析式为：y=−x−1，
∵点D为线段AP上的一点，设点D的横坐标为a，
∴点D的纵坐标y=−a−1，
∴点D的坐标为(a,−a−1)，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点A(−1,0)，点P(2,−3)，点B(0,3)，
∴线段AP在x轴的下方，
∴DE=−(−a−1)=a+1，OB=3，
∵S△OBD=12OB⋅DE=94，
∴12×3(a+1)=94，
解得：a=12，
∴−a−1=−32，
∴点D的坐标为(12,−32)．
(3)PHQH的值是定值，PHQH=3.理由如下：
过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，
设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，
∴PF=ON=m，PN=−(m2−2m−3)=−(m+1)(m−3)，QE=OK=−n，QK=−(n2−2n−3)=−(n+1)(n−3)，
∵点A(−1,0)，点B(0,3)，
∴OA=1，OB=3，AN=m+1，BK=3−n=−(n−3)，
∵OM//PN，
∴△APN∽△AMO，
∴AO：AN=OM：PN，
即：1m+1=OM−(m+1)(m−3)，
∴OM=−(m−3)，
同理：△BKQ∽△BOM，
∴OB：BK=OM：QK，
∴3−(n−3)=OM−(n+1)(n−3)，
∴OM=3(n+1)，
∴−(m−3)=3(n+1)，
∴m=−3n，
∵QE⊥y轴，PF⊥y轴，
∴QE//PF，
∴△QHE∽△PHF，
∴PHQH=PFQE=m−n=−3m−n=3．
【解析】(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式；
(2)先求出点B(0,3)，点P(2,−3)，进而可求出直线AP的解析式为y=−x−1，设点D的坐标为(a,−a−1)，过点D作DE⊥x轴于点E，根据△OBD的面积为94建立关于a的方程，解方程求出a即可得到点D的坐标；
(3)过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，先证△APN∽△AMO得AO：AN=OM：PN，进而得OM=−(m−3)，再证△BKQ∽△BOM得OB：BK=OM：QK，进而得OM=3(n+1)，据此可得出m=−3n，然后证△QHE∽△PHF得PH：QH=PF：QE，由此便可得出结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定方法与性质是解答此题的关键．难点是解答(3)时，通过点P，Q向坐标轴作垂线，构造相似三角形，把点的坐标与线段建立联系．问题：你了解黄金矩形吗？
问题背景
素材一矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等
素材二
宽与长的比是 5−12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.如希腊的巴特农神庙．
素材三
我们在学习二次根式时.常遇到2 3+1这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简.我们称之为“分母有理化”．
例如：
2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−12= 3−1
素材四
黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的
______
操作步骤
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE(图5)就是黄金矩形．
解决问题
任务一
化简：1 2−1
任务二
设MN为x，请用含x的式子表示AB，并证明矩形BCDE是黄金矩形
任务三
如图5，若MN=2，连接MC，求点E到线段MC的距离(提示：等面积法)
1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.2024年3月30日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在原装备基础上增设科研设备，建成后装备研究能力将大幅提升.当前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器.已知中子的半径约为0.0000000000000016m，将0.0000000000000016m用科学记数法表示为( )
A. 16×10−14B. 1.6×10−14C. 1.6×10−15D. 0.16×10−14
4.若分式xx−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠0B. x≠−1C. x≠1D. x≥1
5.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
6.在平面直角坐标系中，点P(−1,m2+1)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.如图，直线l1//l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为( )
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 30°
8.如图，数轴上表示实数 3的点可能是( )
A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S
9.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A. 8
B. 10
C. 13
D. 15
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc<0；②方程：ax2+bx+c=0(3≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0,y1),(32,y2)是抛物线上的两点，那么y1
A. ②④
B. ①②④
C. ②④⑤
D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：9a2−9= ______．
12.计算： 4−(3−π)0= ______．
13.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．
14.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是______．
15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，连接BD，若∠DBC=30°，则∠BAD的度数是______°.
16.如图，已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于第一象限内的点A(12,8)和B(4,m)，过点A作AP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q.若△AOP的面积记为S1，△BOQ的面积记为S2，则S1 ______S2(填“>”、“<”或“=”)．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解方程：x2−4x=0；
(2)先化简，再求值：(1a−1+1)÷aa2−1，其中a=−4．
18.(本小题6分)
在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，我市某学校组织七、八年级学生开展植树造林活动.已知七年级植树90棵与八年级植树120棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树35棵，求八年级平均每小时植树多少棵？
19.(本小题7分)
如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．
21.(本小题9分)
非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格.某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A惠东盖子狮，B龙门农民画，C惠州剪纸，D莫家拳，E客家凉帽(竹编技艺)的相关传承人进校园宣讲，现随机抽取若干名七年级学生进行投票，选择自己喜欢的项目(假设每名学生只能选择一项)，并将投票结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生共______人，补全统计图1(要求在条形图上方注明人数)；
(2)若七年级学生共有1200人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的学生人数；
(3)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B龙门农民画和C惠州剪纸这两个项目的概率．
22.(本小题9分)
综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
23.(本小题12分)
如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA=PB.连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．
(1)证明：PA是⊙O的切线；
(2)证明：DB2=DC⋅DA；
(3)若BD=4，sin∠ADP=35，求线段OP的长．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)，点P为x轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，若△OBD的面积为94，请求出D点坐标；
(3)如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，请问PHQH的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选B．
根据三视图的判断方法判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，正确判断出三视图是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000000000000016=1.6×10−15，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：由题可知，
x−1≠0，
解得x≠1，
故选：C．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24，
即：众数是23，中位数是24，
故选：C．
根据众数、中位数的定义进行解答即可．
本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．
6.【答案】B
【解析】解：∵m2+1>0，
∴点P(−1,m2+1)在第二象限．
故选：B．
依据m2+1>0，即可得出点P(−1,m2+1)在第二象限．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
7.【答案】C
【解析】解：∵l1//l2，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．
本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义，掌握相关知识是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵4>3>1，
∴ 4> 3> 1，
∴2> 3>1．
故选：C．
分析被开方数的范围即可．
本题主要考查实数与数轴．给定某一无理数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该无理数的范围即可，比较简单，
9.【答案】C
【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=3+5=8，y2=2+3=5，z2=x2+y2=13；
即最大正方形E的面积为：z2=13．
故选：C．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=8，y2=5，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据图象可知：a>0，c<0，
∵对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，即b=−2a．
∴b<0，
∴abc>0．
故①错误．
方程ax2+bx+c=0，即为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点，
根据图象已知一个交点−1
∵对称轴是直线x=1，
∴点(32,y2)离对称轴更近，
∴y1>y2，
故③错误．
∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
根据图象，令x=−1，
y=a+2a+c=3a+c>0，
∴6a+2c>0，
∵a>0，
∴11a+2c>0，
故④正确．
m(am+b)=am2+bm=am2−2am≥a−2a，
am2−2am≥−a，
即证：m2−2m+1≥0，
m2−2m+1=(m−1)2，
∴m为任意实数，m2−2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确．
故选：C．
根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负，可以判断①；将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围，可以判断②；根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小，可以判断③；用a来表示改变函数解析式，根据图象，令x=−1，得到3a+c>0，即6a+2c>0，因为a>0，所以得出11a+2c>0，可以判断④；化简不等式，用a表示b，根据a>0及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．
11.【答案】9(a+1)(a−1)
【解析】解：原式=9(a2−1)
=9(a+1)(a−1)．
故答案为：9(a+1)(a−1)．
先提取公因式再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解： 4−(3−π)0
=2−1
=1，
故答案为：1．
先计算算术平方根和零次幂，再计算加减．
此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．
13.【答案】六
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和定理即n边形的内角和为(n−2)⋅180°，难度较易．根据n边形的内角和(n−2)⋅180°即可求得．
【解答】
解：∵n边形的内角和为(n−2)⋅180°，
∴(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是六．
故答案为六．
14.【答案】x≤64
【解析】解：第一次的结果为：3x−2，没有输出，则
3x−2>190，
解得：x>64．
故x的取值范围是x>64．
故答案为：x>64．
表示出第一次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解不等式求出即可．
本题考查了一元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．
15.【答案】120
【解析】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BCD=90°−30°=60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=180°−60°=120°，
故答案为：120．
根据圆周角定理得到∠BDC=90°，根据直角三角形的性质求出∠BCD，再根据圆内接四边形的性质求出∠BAD．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，事件圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16.【答案】=
【解析】解：∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于第一象限内的点A(12,8)和B(4,m)，
∴k2=12×8=4m，
∴m=1，
∴B(4,m)，
∵A(12,8)，B(4,1)，
∴S1=12PA⋅OP=12×12×8=2，S2=12PQ⋅BQ=12×4×1=2，
∴S1=S2．
故答案为：=．
利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点B的坐标，利用三角形面积公式求得S1、S2即可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−4x=0，
则x(x−4)=0，
∴x=0或x−4=0，
∴x1=0，x2=4；
(2)原式=(1a−1+a−1a−1)⋅(a+1)(a−1)a
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a
=a+1，
当a=−4时，原式=−4+1=−3．
【解析】(1)利用因式分解法解出方程；
(2)根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解法、分式的化简求值，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树(35−x)棵，
根据题意得：90x=12035−x，
解得：x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意，
∴35−x=20(棵)．
答：七年级平均每小时植树15棵，八年级平均每小时植树20棵．
【解析】设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树(35−x)棵，根据“七年级植树90棵与八年级植树120棵所用的时间相同”可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出七年级平均每小时植树棵数，再将其代入(35−x)中，即可求出八年级平均每小时植树棵数．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在△BED和△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴△BED≌△CFD(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC(等角对等边)．
∵∠BDE=30°，DE⊥AB，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．
利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边得到AB=AC，再求得∠B=60°，即可解答．
20.【答案】解：(1)如图所示；
(2)125．
【解析】【分析】
本题考查了角的平分线的定义平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)①以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半长度为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，②以D为圆心，大于点D到AC的距离的长度为半径画弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半的长度作半径画弧，两弧相交于AC右边一点，把该点与D点连接即可作出垂线；
(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．
【解答】
(1)见答案；
(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
设DE=CE=x，则AE=6−x，
∴x4=6−x6，
解得：x=125，
即DE=125，
故答案为：125．
21.【答案】120
【解析】解：(1)抽取人数是：24÷20%=120(人).投票给C的人数是：120×30%=36(人)，
投票给E的人数是：120−36−24−36−6=18(人)，
补全统计图如下：
故答案为：120；
(2)D占抽取人数的：6÷120×100%=5%．
那么七年级学生共有1200人，按照D抽取率，
所以喜欢“莫家拳”项目的人数大概是：1200×5%=60(人)；
(3)列表法有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(C,D)共10种，
所以选中(B,C)的概率是1÷10=110．
(1)根据条形统计图和扇形统计图，投票给B的是24人，占抽取人数的20%，所以抽取人数是：24÷20%=120(人).而C占抽取人数的30%，那么投票给C的人数是：120×30%=36(人)，总人数减去ABCD的人数，求出E的人生，据此补充统计图；
(2)在抽取人数中，投票给D的是6人，所以D占抽取人数的：6÷120×100%=5%.那么七年级学生共有1200人，按照D抽取率，所以喜欢莫家拳项目的人数大概是：1200×5%=60(人)；
(3)根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，解题的关键是掌握相关知识．
22.【答案】可以
【解析】解：任务一：1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+12−1= 2+1；
任务二：设MN为x，则BC=MB=x，AC=12x，
∴AB= BC2+AC2= x2+(12x)2= x2+x24= 52x，
证明：如图4，由折叠性质可以知道，
AD=AB，
∴CD=AD−AC=AB−AC= 52x−12x= 5−12x，
∴CD：BC= 5−12x：x= 5−12，
∴矩形BCDE是黄金矩形；
任务三：S△MCE=S△MBC+S△BCE，
S△MCE=12MB⋅BC+12BC⋅CD=12x2+12x⋅ 5−12x=12x2⋅ 5+12，
∵MN=2，
∴S△MCE=12×22× 5+12= 5+1
MC= MB2+BC2=2 2
∴S△MCE=12×2 2⋅EH= 2EH，
∴EH= 5+1 2= 10+ 22，
∴点E到线段MC的距离是 10+ 22．
故答案是： 2+1； 5−12x； 10+ 22．
①利用分母有理化进行化简；
②由勾股定理求出AB的长，折叠性质可以求出CD的长．从而对矩形两边进行比较；
③利用等积运算S△MCE，求出点E到线段MC的距离即可．
本题主要考查的是黄金分割和分母有理化，同时考查了三角形的面积的等积推理和勾股定理，借助图形推理是关键．
23.【答案】(1)证明：如图1，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
在△AOP和△BOP中，
PA=PAOA=OBOP=OP，
∴△AOP≌△BOP(SSS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
(2)证明：如图2，连接BA、BC，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠DBC=∠DAB，
又∵∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAB，
∴DCDB=DBDA，
∴DB2=DC⋅DA；
(3)解：在Rt△OBD中，sin∠ADP=35，设OB=3x，OD=5x，
∴BD=4x，
∵BD=4，
∴x=1，
∴OB=3x=3，OD=5x=5，
在Rt△PAD中，sin∠ADP=PAPD=PAPB+BD=PBPB+4=35，
∴PB=6，
在Rt△POB中，OP= OB2+PB2= 32+62=3 5．
【解析】(1)连接OB，判定△AOP≌△BOP，从而得到∠PAO=90°，即可得证；
(2)连接BA、BC，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定△DBC∽△DAB的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论；
(3)先解直角三角形BOD，求出OB、CD、BD，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出PB的长，再根据勾股定理即可求出OP．
本题是圆的综合题，主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c，
得：1−b+c=0c=−3，解得：b=−2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
(2)对于y=x2−2x−3，当y=0时，得x1=−1，x2=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
∵点P为x轴下方抛物线上一点，且点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y=22−2×2−3=−3，
∴点P的坐标为(2,−3)，
设直线AP的解析式为：y=kx+t，
将点A(−1,0)，点P(2,−3)代入y=kx+t，
得：−k+t=02k+t=−3，解得：k=−1t=−1，
∴直线AP的解析式为：y=−x−1，
∵点D为线段AP上的一点，设点D的横坐标为a，
∴点D的纵坐标y=−a−1，
∴点D的坐标为(a,−a−1)，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点A(−1,0)，点P(2,−3)，点B(0,3)，
∴线段AP在x轴的下方，
∴DE=−(−a−1)=a+1，OB=3，
∵S△OBD=12OB⋅DE=94，
∴12×3(a+1)=94，
解得：a=12，
∴−a−1=−32，
∴点D的坐标为(12,−32)．
(3)PHQH的值是定值，PHQH=3.理由如下：
过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，
设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，
∴PF=ON=m，PN=−(m2−2m−3)=−(m+1)(m−3)，QE=OK=−n，QK=−(n2−2n−3)=−(n+1)(n−3)，
∵点A(−1,0)，点B(0,3)，
∴OA=1，OB=3，AN=m+1，BK=3−n=−(n−3)，
∵OM//PN，
∴△APN∽△AMO，
∴AO：AN=OM：PN，
即：1m+1=OM−(m+1)(m−3)，
∴OM=−(m−3)，
同理：△BKQ∽△BOM，
∴OB：BK=OM：QK，
∴3−(n−3)=OM−(n+1)(n−3)，
∴OM=3(n+1)，
∴−(m−3)=3(n+1)，
∴m=−3n，
∵QE⊥y轴，PF⊥y轴，
∴QE//PF，
∴△QHE∽△PHF，
∴PHQH=PFQE=m−n=−3m−n=3．
【解析】(1)将点A(−1,0)，点C(0,−3)代入y=x2+bx+c建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式；
(2)先求出点B(0,3)，点P(2,−3)，进而可求出直线AP的解析式为y=−x−1，设点D的坐标为(a,−a−1)，过点D作DE⊥x轴于点E，根据△OBD的面积为94建立关于a的方程，解方程求出a即可得到点D的坐标；
(3)过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，设P(m,m2−2m−3)，Q(n,n2−2n−3)，先证△APN∽△AMO得AO：AN=OM：PN，进而得OM=−(m−3)，再证△BKQ∽△BOM得OB：BK=OM：QK，进而得OM=3(n+1)，据此可得出m=−3n，然后证△QHE∽△PHF得PH：QH=PF：QE，由此便可得出结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定方法与性质是解答此题的关键．难点是解答(3)时，通过点P，Q向坐标轴作垂线，构造相似三角形，把点的坐标与线段建立联系．问题：你了解黄金矩形吗？
问题背景
素材一矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等
素材二
宽与长的比是 5−12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.如希腊的巴特农神庙．
素材三
我们在学习二次根式时.常遇到2 3+1这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简.我们称之为“分母有理化”．
例如：
2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−12= 3−1
素材四
黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的
______
操作步骤
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图4中所示的AD处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE(图5)就是黄金矩形．
解决问题
任务一
化简：1 2−1
任务二
设MN为x，请用含x的式子表示AB，并证明矩形BCDE是黄金矩形
任务三
如图5，若MN=2，连接MC，求点E到线段MC的距离(提示：等面积法)
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