2023年广东省惠州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省惠州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

6.  某班一合作学习小组有人，某次数学测试成绩数据分别为、、、、，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，，分别为，，的中点若的长为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多吨，且用大货车运送吨货物所需车辆数与小货车运送吨货物所需车辆数相同每辆大、小货车货运量分别是多少吨？设每辆小货车的货运量是吨，则列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
方程组的解为；
方程的解为；
当时，．
其中结论正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一个八边形的外角和是______

12.  分解因式：          ．

13.  若分式的值为，则的值是______．

14.  如图，三个正方形的边长分别为，，，则图中阴影部分的面积为______ ．
 

15.  如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点，测得，均在的北偏东方向上，沿正东方向行走米至观测点，测得在的正北方向，在的北偏西方向上，两点间的距离为______ 米

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在中，，，平分交于点，，交于点求的度数．

18.  本小题分
已知：点是反比例函数的图象与直线的一个交点．
求、的值；
在第一象限内，当时，请直接写出的取值范围．

19.  本小题分
若关于的一元二次方程有两个实数根，．
试确定实数的取值范围；
若，求的值．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
求证：四边形为菱形；
若，，求的面积．

21.  本小题分
为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了户家庭，调查了他们月的用水量情况，结果如图所示．
这户家庭中月用水量在的有多少户？
把图中每组用水量的值用该组的中间值如的中间值为来代替，估计该小区平均每户用水量；
从该户用水量在的家庭中，任抽取户，用树状图或列表法求至少有户用水量在的概率．

22.  本小题分
如图，在中，弦，相交于点，点是劣弧中点，延长到点，使，连接，，．
求证：；
若，求证：是的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过、、三点，矩形的顶点在抛物线上．
求抛物线的表达式；
点为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；
左右平移抛物线，当平移后的抛物线与线段只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，是无理数，
故选：．
利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．
本题主要考查了有理数，无理数的定义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：．
运用积的乘方与幂的乘方法则计算并判定；运用同底数幂除法法则计算关判定；运用单项式除以单项式法则计算并判定；根据二次根式性质化简二次根式判定．
本题考查积的乘方与幂的乘方，同底数幂相除，单项式除以单项式，二次根式化简，熟练掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则，同底数幂相除的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，二次根式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．
左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，大正方形的边长为，面积为，
由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，
所以．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
将这组数据重新排列，再由中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形的对边平行，
由两直线平行，内错角相等可得．
故选：．
根据菱形的对边平行，以及两直线平行，内错角相等即可求解．
本题考查了菱形的性质，全等图形，平行线的性质，关键是熟悉菱形的对边平行的知识点．
 

8.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
在中，，为中点，，
．
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得的长是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：每辆小货车的货运量是吨，
每辆大货车的货运量是 吨，
依题意得：．
故选：．
由每辆小货车的货运量是吨，则每辆大货车的货运量是吨，根据用大货车运送吨货物所需车辆数与小货车运送吨货物所需车辆数相同，即可得出关于的分式方程．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以的值随着值的增大而减小，故错误；
由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故正确；
由函数图象可知，直线与轴的交点坐标为，所以方程的解为，故正确；
由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故错误；
故选：．
根据一次函数的函数的增减进行判断便可；
根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；
根据一次函数图象与的交点坐标进行判断便可；
根据一次函数图象与轴交点坐标进行判断便可．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程的关系，关键是综合应用一次函数的图象与性质解题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据任何凸多边形的外角和都是度解答即可．
本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是度，不随着边数的变化而变化．
【解答】
解：八边形的外角和是度．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
．
经检验，是原方程的根，
．
故答案为：．
依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．
本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是相似三角形的判定及性质、正方形的性质、梯形面积的计算，解决本题的关键是利用相似三角形的性质定理与判定定理．
根据正方形的性质来判定∽，再根据相似三角形的对应线段成比例求得的值；同理，求得∽，：：，即；然后再来求梯形的面积即可．
【解答】
解：如图，

根据题意，知∽，
：：，
又，，，
，
；
同理得，∽，
：：，
，，，
，
；


；
所以，则图中阴影部分的面积为．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
，两点间的距离约为米，
故答案为：．

根据题意可得：米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．
本题考查实数的综合运算能力，属于基础题，解决本题的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

17.【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
，
． 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
 

18.【答案】解：把代入得：，
，
把代入得：，
．

由图象可知：交于点和，在第一象限内，当时，的取值范围是． 

【解析】把代入解析式，即可求出答案；
根据图象和交点坐标即可求出答案．
本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数，能用待定系数法求出函数的解析式和会观察图象是解此题的关键．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，且，
且，
的取值范围为且 ；
根据题意得，
，
，
，
解得，，
经检验，是原方程的解，
的值为． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，再把变形为，整体代入得到，然后解的方程可得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】解：证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
． 

【解析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证，可得结论；
由菱形的性质可求，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质和角平分线的定义，灵活运用这些性质定义来解决问题是解题的关键．
解：证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
．
 

21.【答案】解：户，
即这户家庭中月用水量在的有户；
，
即估计该小区平均每户用水量约为；
由知：用水量在有户，
由条形统计图可知，用水量在有户，
设用水量在的用户用表示，用水量在的用户用表示，
树状图如下所示，

由上可得，一共有种可能性，其中至少有户用水量在的有种可能性，
至少有户用水量在的概率是． 

【解析】根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出用水量在的有多少户；
根据条形统计图中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该小区平均每户用水量；
根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出至少有户用水量在的概率．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，利用数形结合的思想解答．
解：户，
即这户家庭中月用水量在的有户；
，
即估计该小区平均每户用水量约为；
由知：用水量在有户，
由条形统计图可知，用水量在有户，
设用水量在的用户用表示，用水量在的用户用表示，
树状图如下所示，

由上可得，一共有种可能性，其中至少有户用水量在的有种可能性，
至少有户用水量在的概率是．
 

22.【答案】证明：点是劣弧的中点，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
证明：连接，如图，

，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等可得，，然后结合已知条件，利用证得≌，则，结合等量代换即可证得结论；
连接，由根据垂径定理的推论可得，再结合证得，然后根据切线的定义即可证得结论
由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得，再结合证得∽，由相似三角形的性质求得的长度，再由即可求得答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定，正确识别图形是解题关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式为：，
把，，分别代入得，
解得，
抛物线的解析式为：；
分两种情况：当点在第一象限时，
四边形是矩形，
，，
，
点与点重合，
，
，

整理得，，
，，
，
，
点的坐标为
如图，点在第二象限，设点的坐标为，

过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
整理得，，
解得，，，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
，
抛物线顶点坐标为，
当点向右平移个单位与点重合时，在平移过程中抛物线与线段只有一个公共点，此时抛物线顶点平移到点，
；
当点向左平移 个单位与点重合时，顶点由平移到，此时在平移过程中抛物线与线段有一个交点；
当点继续向左平移个单位长度到点时，此过程中抛物线与线段只有一个交点，此时抛物线的顶点坐标为，
的取值范围是，
综上所述，的取值范围为或． 

【解析】设抛物线解析式为，把，，分别代入得到方程组，解方程组即可；当点在第一象限时，由矩形性质可知，故点与点重合，当点在第二象限时，通过面积求，再由角平分线性质得到，代入可得到方程，解出即可；
分两种情况，向右平移和向左平移，若向右平移，则低昂平移到点过程中，抛物线与线段只有一个交点，由平移长度得到平移后抛物线顶点坐标可知的取值范围；若向左平移，则点平移到点时无交点，从点平移到点时抛物线与线段只有一个交点，分别确定平移后的顶点坐标可知的取值范围．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和，利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解题的关键．