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2023年广东省惠州市惠城区综合高级中学中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省惠州市惠城区综合高级中学中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省惠州市惠城区综合高级中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是( )
A. 2023 B. −12023 C. −2023 D. 12023
2. 2023年3月5日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理做政府报告时指出我国人民生活水平不断提高，基本养老保险参保人数增加1.4亿、覆盖10.5亿人，基本医保水平稳步提高.将“10.5亿”用科学记数法可表示为( )
A. 10.5×109 B. 1.05×1010 C. 0.105×1011 D. 1.05×109
3. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边
4. 下列运算正确的是( )
A. 2x2+3x3=5x5 B. (−2x)3=−6x3
C. (x+y)2=x2+y2 D. (3x+2)(2−3x)=4−9x2
5. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( )
A. y−8x=3y−7x=4 B. y−8x=37x−y=4 C. 8x−y=37x−y=4 D. 8x−y=3y−7x=4
7. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，如图是它的部分示意图，现测得∠B=50°，AB=60，则点A到BC的距离为( )
A. 60sin50° B. 60sin50∘ C. 60cos50° D. 60tan50°
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC= 3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为( )
A. π3 B. 3π5 C. 2π3 D. 3π4
9. 二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
10. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为( )
A. (−22022,− 3×22022) B. (22022, 3×22022)
C. (22021,− 3×22021) D. (22023, 3×22023)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：3m2−12=______．
12. 一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是______ ．
13. 如果点P(m,1+2m)在第三象限内，那么m的取值范围是______ ．
14. 圣诞节快要到了，某同学准备做一个圆锥形帽子.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10cm，取AD中点O.以O为圆心，以10cm长为半径作弧，分别交AB，CD于点M，N，得到扇形纸片OMN，发现点M，N恰好分别是边AB，CD的中点，则用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的侧面积为______ cm2.(结果保留π)
15. 如图，正方形ABCD的边长为3 2，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题7.0分)
计算： 12+(12)−1−2cos30°−|1− 3|．
17. (本小题7.0分)
先化简，再求值：m−1m2−2m÷(m+1m−2)，其中m是方程x2−x−1=0的根．
18. (本小题7.0分)
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图.请根据以上信息，解决下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______ 度；
(2)本次调查所得数据的众数是______ ，中位数是______ ；
(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
19. (本小题9.0分)
因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数34．
(1)求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？
(2)若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍.请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
20. (本小题9.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE，交BD于点F，连接CF，若DB=6，AC=8，求CF的长．
21. (本小题12.0分)
如图，已知，A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，过A作y轴的垂线交反比例函数y=kx的图象于点D，连接CD，AB//CD．
(1)证明：四边形ABCD为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求sin∠DAC的值．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O直径，点C为劣弧BD中点，弦AC、BD相交于点E，点F在AC的延长线上，EB=FB，FG⊥DB，垂足为G．
(1)求证：∠ABD=∠BFG；
(2)求证：BF是⊙O的切线；
(3)当DEEG=23时，求tan∠DAE的值．
23. (本小题12.0分)
如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解折式；
(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的連度匀速运动．设运动的时间为t秒．
①点P在运动过程中，若∠CBP=15°，求t的值；
②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】D
【解析】解：10.5亿=1050000000=1.05×109，
故选：D．
根据科学记数法的表示形式a×10n的形式，其中0≤|a|<10，n为整数即可解答．
本题考查了科学记数法的表示形式a×10n的形式，其中0≤|a|<10，n为整数，确定n和a的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是两点确定一条直线．
故选：C．
由直线的性质：两点确定一条直线，即可判断．
本题考查直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．
4.【答案】D
【解析】解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B选项，原式=−8x3，故该选项计算错误，不符合题意；
C选项，原式=x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；
D选项，原式=22−(3x)2=4−9x2，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，注意完全平方公式展开有三项．
5.【答案】B
【解析】解：连接EF，AE交BF于O点，如图，
由作法得AB=AF，AE平分∠BAD，即∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，OA= 52−32=4，
∴AE=2OA=8．
故选：B．
连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB=AF，AE平分∠BAD，即∠BAE=∠DAE，证明四边形ABEF为菱形得到AE⊥BF，BO=OF=3，然后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了平行四边形的性质．
6.【答案】D
【解析】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可得：
8x−y=3y−7x=4，
故选：D．
直接利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
在Rt△ABD中，
AD=AB×sinB=60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，
故A正确．
故选：A．
三角函数定义，求出AD=AB×sinB=60×sin50°，即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∵BA=BE=2，BC= 3，
∴cos∠CBE=CBBE= 32，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=90°−30°=60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面积公式求解．
本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
9.【答案】D
【解析】解：∵y=(x+m)2+n，
∴抛物线顶点坐标为(−m,n)，
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m<0，n<0，
∴直线y=mx+n经过第二，三，四象限，
故选：D．
由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的关系．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6=26，
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337…1，
点A2023在第一象限，且OA2023=22023，
如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，
在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，
∴OH=OA2023⋅cos∠HOA2023=22023×cos60°=22023×12=22022，
A2023H=OA2023⋅sin∠HOA2023=22023× 32= 3×22022，
∴点A2023的坐标为(22022, 3×22022)．
故选：B．
根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点A2023在第一象限，且OA2023=22023，即可求解．
本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11.【答案】3(m+2)(m−2)
【解析】解：3m2−12，
=3(m2−4)，
=3(m+2)(m−2)．
故答案为：3(m+2)(m−2)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】六
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13.【答案】m<−12
【解析】解：根据题意得m<0①1+2m<0②，
解①得m<0，
解②得m<−12．
则不等式组的解集是m<−12．
故答案为：m<−12．
根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14.【答案】100π3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，O是AD中点，M，N恰好分别是边AB，CD的中点，
∴∠A=90°，AM=12AB=5cm，
∴sin∠AOM=AMOM=510=12，
∴∠AOM=30°，
同理可求：∠DON=30°，
∴∠MON=180°−∠AOM−∠DON=120°，
∴S侧面积=12×120π×10180×10=100π3(cm2)，
故答案为：100π3．
根据圆锥形帽子的底面圆的周长就是扇形的弧长，求出圆心角，再利用圆锥侧面积公式即可求解．
本题考查了圆锥底面圆与对应扇形弧长的关系，圆锥侧面积，掌握二者之间的关系及弧长公式是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，作点E关于AB的对称点T，连接FT，PT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=3 2，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，
∴AC= 2AB=6，
∴AE=EF=CF=2，
∵E，T关于AB对称，
∴AT=AE=2，∠PAT=∠PAE=45°，PE=PT，
∴∠CAT=90°，
∴FT= AT2+AF2= 22+42=2 5，
∵PE+PF=PT+PF≥TF=2 5，
∴PE+PF的最小值为2 5．
故答案为：2 5．
如图，作点E关于AB的对称点T，连接FT，PT.利用勾股定理求出TF，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题．
16.【答案】解： 12+(12)−1−2cos30°−|1− 3|
=2 3+2−2× 32−( 3−1)
=2 3+2− 3− 3+1
=3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=m−1m(m−2)÷[m(m−2)m−2+1m−2]
=m−1m(m−2)÷m2−2m+1m−2
=m−1m(m−2)×m−2(m−1)2
=1m(m−1)
=1m2−m．
∵m是方程x2−x−1=0的根，
∴m2−m−1=0．
∴m2−m=1．
∴原式=1m2−m=11=1．
【解析】先根据分式化简规则进行化简计算，再根据方程解的性质求解式子的值．
本题考查分式的化简求值，分式化简过程需要先因式分解后上下约分，注意最后形式中不保留括号(除因式分解外任何计算结果都不保留括号).正确计算是解题的关键．
18.【答案】72 1 2
【解析】解：(1)本次调查的人数为：10÷25%=40(人)，
读2部的学生有：40−2−14−10−8=6(人)，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×840=72°，
故答案为：72；
补全的条形统计图如右图所示：
(2)故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是(2+2)÷2=2(部)，
故答案为：1，2；
(4)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是416=14，
即他们恰好选中同一名著的概率是14．
(1)根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去其他3部的人数求得2部的人数，可以将条形统计图补充完整，根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
(2)根据(1)中所求数据，然后即可得到众数和中位数；
(3)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为(x+4)元，
根据题意，得1200x+4=1200x⋅34，
解得：x=12
经检验，x=12是原分式方程的解且符合题意．
∴x+4=12+4=16，
答：成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元．
(2)设购买a包成人医用口罩，购买(120−a)包儿童医用口罩，所需总费用为w元，依题意，得w=12a+16(120−a)=−4a+1920，
∵120−a≥3a，
∴0≤a≤30，
∵−4<0，
∴当a=30时，w有最小值，
此时120−a=90，
答：购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低．
【解析】(1)设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为(x+4)元，根据用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数34列出方程，解方程并检验即可得到答案；
(2)设购买a包成人医用口罩，购买(120−a)包儿童医用口罩，所需总费用为w元，列出总费用的一次函数表达式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
此题考查了分式方程和一次函数的应用，读懂题意，正确列出方程和函数表达式是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE//OC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=12BD=3，
由(1)得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=3，∠OCE=90°，CE//OD，
在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 82+32= 73，
∵OF//CE，
∴AFAE=AOAC=12，
∴F为AE中点，
∴CF=12AE= 732．
【解析】(1)根据菱形的性质，得到∠DOC=90°，OC=12AC，进而得到DE=OC，推出四边形OCED是平行四边形，进而证明四边形OCED为矩形即可；
(2)根据菱形的性质，得到OD=3，再根据矩形的性质，得到CE=3，∠OCE=90°，CE//OD，利用勾股定理，求得AE= 73，然后根据平行线分线段成比例定理，得出F为AE中点，最后由直平行线分线段成比例定理，即可求出CF的长．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
21.【答案】(1)证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，
∴AD//BC，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，
∴BC=2−(−3)=5，AO=4，BO=3，CO=2，
在Rt△ABO中，AB= AO2+BO2= 42+32=5，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：过点D作DH⊥x轴于H，
则四边形AOHD是矩形，
∴DH=AO=4，OH=AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=5，
∴OH=5，
∴D(5,4)，
∵反比例函数y=kx的图象于点D，
∴4=k5，
∴k=20，
∴此反比例函数的解析式为y=20x；
(3)解：在Rt△ACO中，AC= AO2+CO2= 42+22=2 5
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴sin∠DAC=sin∠ACO=AOAC=42 5=2 55．
【解析】(1)根据平行四边形大盘点多了得到四边形ABCD是平行四边形，根据勾股定理得到AB= AO2+BO2= 42+32=5，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)过点D作DH⊥x轴于H，根据矩形的性质得到DH=AO=4，OH=AD根据菱形的性质得到AD=AB=5，求得D(5,4)，待定系数法即可得到结论；
(3)根据勾股定理得到AC= AO2+CO2= 42+22=2 5根据菱形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACO，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接BC，如图1所示，
∵点C为劣弧BD中点，
∴CD=BC，
∴∠DAC=∠BAC=∠DBC，
∵BE=BF，∠ACB=90°，
∴BC平分∠EBF，
∴∠EBF=2∠EBC，
∴∠DAB=∠EBF，
∵∠ADB=90°，FG⊥BD，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠EBF+∠BFG=90°，
∴∠ABD=∠BFG；
(2)证明：由(1)知，∠ABD=∠BFG，
∵FG⊥BD，
∴∠EBF+∠BFG=90°，
∴∠ABD+∠EBF=90°，
∴∠ABF=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴BF是⊙O的切线；
(3)解：如图2，作EH⊥AB于点H，
则∠EHB=∠BGF=90°，
由(1)得∠ABD=∠BFG，即∠BFG=∠EBH，
在△BFG和△EBH中，
∠FBG=∠BHE∠BFG=∠EBHBF=EB，
∴△BFG≌△EBH(AAS)，
∴BG=EH，
∵DEEG=23，
∴设DE=2x，则EG=3x，
∵∠DAC=∠CAB，∠EDA=∠EHA=90°，
∴ED=EH=2x，
∴BG=2x，BE=5x，
∴BF=5x，
∴FG= FB2−BG2= (5x)2−(2x)2= 21x，
∴tan∠EFG=EGFG=3x 21x= 217，
∵∠EDA=∠EGF=90°，∠DEA=∠GEF，
∴∠DAE=∠EFG，
∴tan∠DAE= 217．
【解析】(1)根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质(三线合一)，可以证明结论成立；
(2)根据(1)中的结论和FG⊥BD，可以证明结论成立；
(3)根据全等三角形的判定和性质和锐角三角函数可以求得tan∠DAE的值．
本题是一道圆的综合题目，考查圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：(1)令y=x−3=0，x=3，
∴B的坐标为(3,0)，
令x=0，y=0−3=−3，
∴C的坐标为(0,−3)，
将B、C代入y=x2+bx+c，
得：−3=c0=9+3b+c，
解得：b=−2c=−3，
∴抛物线的解折式为：y=x²−2x−3；
(2)由(1)知，OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
记抛物线对称轴交x轴于E，
∵y=x²−2x−3=(x−1)²−4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴EB=2，
∴顶点D的坐标为(1,−4)，
若∠CBP=15°，则分两种情况，
①如图，当P在直线BC下方时，
此时∠EBP=60°，
∴tan∠EBP=EPEB= 3，
∴EP=2 3，
∴DP=4−2 3，
∴t=DP1=4−2 3，
当P在直线BC上方时，
此时∠EBP=30°，
∴tan∠EBP=EPEB= 33，
∴EP=2 33，
∴DP=4−2 33，
∴t=DP1=4−2 33，
综上，t=4−2 3或4−2 33；
②设P的坐标为(1,n)，
令y=x²−2x−3=0，
x=3或−1，
∴A的坐标分别为(−1,0)，
此时PC²=1+(n+3)²=n²+6n+10，
PA²=(1+1)²+n²=4+n²，
AC²=1+3²=10，
当∠PCA=90°时，PC²+AC²=AP²，
n²+6n+10+10=4+n²，
解得：n=−83，
∴P的坐标为(1,−83)，DP=4−83=43，
∴t=43，
当∠APC=90°时，AP²+PC²=AC²，
4+n²+n²+6n+10=10，
解得：n=−1或−2，
∴P的坐标为(1,−1)或(1,−2)，
DP=4−1=3或DP=4−2=2，
∴t=3或2，
当∠PAC=90°时，PA²+AC²=CP²，
n²+4+10=n²+6n+10，
解得：n=23，
∴P的坐标为(1,23)，
DP=4+23=143，
∴t=143，
综上，t=43或3或2或143．
【解析】(1)由直线BC求出B、C的坐标，再待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)①由OB=OC得出∠OBC=∠OCB=45°，所以∠CBP=15°就可以分别得到∠PBE=30°或60°，再由tan30°或tan60°求出EP，进而求出DP，又因为P的速度为1，求出t即可；
②设出P的坐标，根据两点距离公式求出AP²、AC²和PC²，分三种情况：∠APC=90°或∠PCA=90°或∠PAC=90°分别讨论，求出P的坐标，进而求出DP，求出t即可．
本题时二次函数综合题，考查了待定系数法，角度15°的处理，直角三角形存在性问题，勾股定理，画出图形将15°转化成特殊角30°或60°是关键，直角三角形分三种情况讨论是关键．
2023年广东省惠州市惠城区综合高级中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是( )
A. 2023 B. −12023 C. −2023 D. 12023
2. 2023年3月5日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理做政府报告时指出我国人民生活水平不断提高，基本养老保险参保人数增加1.4亿、覆盖10.5亿人，基本医保水平稳步提高.将“10.5亿”用科学记数法可表示为( )
A. 10.5×109 B. 1.05×1010 C. 0.105×1011 D. 1.05×109
3. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边
4. 下列运算正确的是( )
A. 2x2+3x3=5x5 B. (−2x)3=−6x3
C. (x+y)2=x2+y2 D. (3x+2)(2−3x)=4−9x2
5. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( )
A. y−8x=3y−7x=4 B. y−8x=37x−y=4 C. 8x−y=37x−y=4 D. 8x−y=3y−7x=4
7. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，如图是它的部分示意图，现测得∠B=50°，AB=60，则点A到BC的距离为( )
A. 60sin50° B. 60sin50∘ C. 60cos50° D. 60tan50°
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC= 3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为( )
A. π3 B. 3π5 C. 2π3 D. 3π4
9. 二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
10. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为( )
A. (−22022,− 3×22022) B. (22022, 3×22022)
C. (22021,− 3×22021) D. (22023, 3×22023)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：3m2−12=______．
12. 一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是______ ．
13. 如果点P(m,1+2m)在第三象限内，那么m的取值范围是______ ．
14. 圣诞节快要到了，某同学准备做一个圆锥形帽子.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10cm，取AD中点O.以O为圆心，以10cm长为半径作弧，分别交AB，CD于点M，N，得到扇形纸片OMN，发现点M，N恰好分别是边AB，CD的中点，则用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的侧面积为______ cm2.(结果保留π)
15. 如图，正方形ABCD的边长为3 2，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题7.0分)
计算： 12+(12)−1−2cos30°−|1− 3|．
17. (本小题7.0分)
先化简，再求值：m−1m2−2m÷(m+1m−2)，其中m是方程x2−x−1=0的根．
18. (本小题7.0分)
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图.请根据以上信息，解决下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______ 度；
(2)本次调查所得数据的众数是______ ，中位数是______ ；
(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
19. (本小题9.0分)
因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数34．
(1)求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？
(2)若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍.请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
20. (本小题9.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE，交BD于点F，连接CF，若DB=6，AC=8，求CF的长．
21. (本小题12.0分)
如图，已知，A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，过A作y轴的垂线交反比例函数y=kx的图象于点D，连接CD，AB//CD．
(1)证明：四边形ABCD为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)求sin∠DAC的值．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O直径，点C为劣弧BD中点，弦AC、BD相交于点E，点F在AC的延长线上，EB=FB，FG⊥DB，垂足为G．
(1)求证：∠ABD=∠BFG；
(2)求证：BF是⊙O的切线；
(3)当DEEG=23时，求tan∠DAE的值．
23. (本小题12.0分)
如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解折式；
(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的連度匀速运动．设运动的时间为t秒．
①点P在运动过程中，若∠CBP=15°，求t的值；
②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】D
【解析】解：10.5亿=1050000000=1.05×109，
故选：D．
根据科学记数法的表示形式a×10n的形式，其中0≤|a|<10，n为整数即可解答．
本题考查了科学记数法的表示形式a×10n的形式，其中0≤|a|<10，n为整数，确定n和a的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是两点确定一条直线．
故选：C．
由直线的性质：两点确定一条直线，即可判断．
本题考查直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．
4.【答案】D
【解析】解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B选项，原式=−8x3，故该选项计算错误，不符合题意；
C选项，原式=x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；
D选项，原式=22−(3x)2=4−9x2，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，注意完全平方公式展开有三项．
5.【答案】B
【解析】解：连接EF，AE交BF于O点，如图，
由作法得AB=AF，AE平分∠BAD，即∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，OA= 52−32=4，
∴AE=2OA=8．
故选：B．
连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB=AF，AE平分∠BAD，即∠BAE=∠DAE，证明四边形ABEF为菱形得到AE⊥BF，BO=OF=3，然后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了平行四边形的性质．
6.【答案】D
【解析】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可得：
8x−y=3y−7x=4，
故选：D．
直接利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
在Rt△ABD中，
AD=AB×sinB=60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，
故A正确．
故选：A．
三角函数定义，求出AD=AB×sinB=60×sin50°，即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∵BA=BE=2，BC= 3，
∴cos∠CBE=CBBE= 32，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=90°−30°=60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，
故选：C．
解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面积公式求解．
本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
9.【答案】D
【解析】解：∵y=(x+m)2+n，
∴抛物线顶点坐标为(−m,n)，
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m<0，n<0，
∴直线y=mx+n经过第二，三，四象限，
故选：D．
由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的关系．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6=26，
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337…1，
点A2023在第一象限，且OA2023=22023，
如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，
在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，
∴OH=OA2023⋅cos∠HOA2023=22023×cos60°=22023×12=22022，
A2023H=OA2023⋅sin∠HOA2023=22023× 32= 3×22022，
∴点A2023的坐标为(22022, 3×22022)．
故选：B．
根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点A2023在第一象限，且OA2023=22023，即可求解．
本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11.【答案】3(m+2)(m−2)
【解析】解：3m2−12，
=3(m2−4)，
=3(m+2)(m−2)．
故答案为：3(m+2)(m−2)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】六
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
13.【答案】m<−12
【解析】解：根据题意得m<0①1+2m<0②，
解①得m<0，
解②得m<−12．
则不等式组的解集是m<−12．
故答案为：m<−12．
根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14.【答案】100π3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，O是AD中点，M，N恰好分别是边AB，CD的中点，
∴∠A=90°，AM=12AB=5cm，
∴sin∠AOM=AMOM=510=12，
∴∠AOM=30°，
同理可求：∠DON=30°，
∴∠MON=180°−∠AOM−∠DON=120°，
∴S侧面积=12×120π×10180×10=100π3(cm2)，
故答案为：100π3．
根据圆锥形帽子的底面圆的周长就是扇形的弧长，求出圆心角，再利用圆锥侧面积公式即可求解．
本题考查了圆锥底面圆与对应扇形弧长的关系，圆锥侧面积，掌握二者之间的关系及弧长公式是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，作点E关于AB的对称点T，连接FT，PT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=3 2，∠B=∠BAD=90°，∠BAC=45°，
∴AC= 2AB=6，
∴AE=EF=CF=2，
∵E，T关于AB对称，
∴AT=AE=2，∠PAT=∠PAE=45°，PE=PT，
∴∠CAT=90°，
∴FT= AT2+AF2= 22+42=2 5，
∵PE+PF=PT+PF≥TF=2 5，
∴PE+PF的最小值为2 5．
故答案为：2 5．
如图，作点E关于AB的对称点T，连接FT，PT.利用勾股定理求出TF，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题．
16.【答案】解： 12+(12)−1−2cos30°−|1− 3|
=2 3+2−2× 32−( 3−1)
=2 3+2− 3− 3+1
=3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=m−1m(m−2)÷[m(m−2)m−2+1m−2]
=m−1m(m−2)÷m2−2m+1m−2
=m−1m(m−2)×m−2(m−1)2
=1m(m−1)
=1m2−m．
∵m是方程x2−x−1=0的根，
∴m2−m−1=0．
∴m2−m=1．
∴原式=1m2−m=11=1．
【解析】先根据分式化简规则进行化简计算，再根据方程解的性质求解式子的值．
本题考查分式的化简求值，分式化简过程需要先因式分解后上下约分，注意最后形式中不保留括号(除因式分解外任何计算结果都不保留括号).正确计算是解题的关键．
18.【答案】72 1 2
【解析】解：(1)本次调查的人数为：10÷25%=40(人)，
读2部的学生有：40−2−14−10−8=6(人)，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×840=72°，
故答案为：72；
补全的条形统计图如右图所示：
(2)故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是(2+2)÷2=2(部)，
故答案为：1，2；
(4)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如图所示：
一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是416=14，
即他们恰好选中同一名著的概率是14．
(1)根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去其他3部的人数求得2部的人数，可以将条形统计图补充完整，根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
(2)根据(1)中所求数据，然后即可得到众数和中位数；
(3)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为(x+4)元，
根据题意，得1200x+4=1200x⋅34，
解得：x=12
经检验，x=12是原分式方程的解且符合题意．
∴x+4=12+4=16，
答：成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元．
(2)设购买a包成人医用口罩，购买(120−a)包儿童医用口罩，所需总费用为w元，依题意，得w=12a+16(120−a)=−4a+1920，
∵120−a≥3a，
∴0≤a≤30，
∵−4<0，
∴当a=30时，w有最小值，
此时120−a=90，
答：购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低．
【解析】(1)设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为(x+4)元，根据用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数34列出方程，解方程并检验即可得到答案；
(2)设购买a包成人医用口罩，购买(120−a)包儿童医用口罩，所需总费用为w元，列出总费用的一次函数表达式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
此题考查了分式方程和一次函数的应用，读懂题意，正确列出方程和函数表达式是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE//OC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=12BD=3，
由(1)得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=3，∠OCE=90°，CE//OD，
在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 82+32= 73，
∵OF//CE，
∴AFAE=AOAC=12，
∴F为AE中点，
∴CF=12AE= 732．
【解析】(1)根据菱形的性质，得到∠DOC=90°，OC=12AC，进而得到DE=OC，推出四边形OCED是平行四边形，进而证明四边形OCED为矩形即可；
(2)根据菱形的性质，得到OD=3，再根据矩形的性质，得到CE=3，∠OCE=90°，CE//OD，利用勾股定理，求得AE= 73，然后根据平行线分线段成比例定理，得出F为AE中点，最后由直平行线分线段成比例定理，即可求出CF的长．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．
21.【答案】(1)证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，
∴AD//BC，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，
∴BC=2−(−3)=5，AO=4，BO=3，CO=2，
在Rt△ABO中，AB= AO2+BO2= 42+32=5，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：过点D作DH⊥x轴于H，
则四边形AOHD是矩形，
∴DH=AO=4，OH=AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=5，
∴OH=5，
∴D(5,4)，
∵反比例函数y=kx的图象于点D，
∴4=k5，
∴k=20，
∴此反比例函数的解析式为y=20x；
(3)解：在Rt△ACO中，AC= AO2+CO2= 42+22=2 5
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴sin∠DAC=sin∠ACO=AOAC=42 5=2 55．
【解析】(1)根据平行四边形大盘点多了得到四边形ABCD是平行四边形，根据勾股定理得到AB= AO2+BO2= 42+32=5，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)过点D作DH⊥x轴于H，根据矩形的性质得到DH=AO=4，OH=AD根据菱形的性质得到AD=AB=5，求得D(5,4)，待定系数法即可得到结论；
(3)根据勾股定理得到AC= AO2+CO2= 42+22=2 5根据菱形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACO，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接BC，如图1所示，
∵点C为劣弧BD中点，
∴CD=BC，
∴∠DAC=∠BAC=∠DBC，
∵BE=BF，∠ACB=90°，
∴BC平分∠EBF，
∴∠EBF=2∠EBC，
∴∠DAB=∠EBF，
∵∠ADB=90°，FG⊥BD，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠EBF+∠BFG=90°，
∴∠ABD=∠BFG；
(2)证明：由(1)知，∠ABD=∠BFG，
∵FG⊥BD，
∴∠EBF+∠BFG=90°，
∴∠ABD+∠EBF=90°，
∴∠ABF=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴BF是⊙O的切线；
(3)解：如图2，作EH⊥AB于点H，
则∠EHB=∠BGF=90°，
由(1)得∠ABD=∠BFG，即∠BFG=∠EBH，
在△BFG和△EBH中，
∠FBG=∠BHE∠BFG=∠EBHBF=EB，
∴△BFG≌△EBH(AAS)，
∴BG=EH，
∵DEEG=23，
∴设DE=2x，则EG=3x，
∵∠DAC=∠CAB，∠EDA=∠EHA=90°，
∴ED=EH=2x，
∴BG=2x，BE=5x，
∴BF=5x，
∴FG= FB2−BG2= (5x)2−(2x)2= 21x，
∴tan∠EFG=EGFG=3x 21x= 217，
∵∠EDA=∠EGF=90°，∠DEA=∠GEF，
∴∠DAE=∠EFG，
∴tan∠DAE= 217．
【解析】(1)根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质(三线合一)，可以证明结论成立；
(2)根据(1)中的结论和FG⊥BD，可以证明结论成立；
(3)根据全等三角形的判定和性质和锐角三角函数可以求得tan∠DAE的值．
本题是一道圆的综合题目，考查圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：(1)令y=x−3=0，x=3，
∴B的坐标为(3,0)，
令x=0，y=0−3=−3，
∴C的坐标为(0,−3)，
将B、C代入y=x2+bx+c，
得：−3=c0=9+3b+c，
解得：b=−2c=−3，
∴抛物线的解折式为：y=x²−2x−3；
(2)由(1)知，OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
记抛物线对称轴交x轴于E，
∵y=x²−2x−3=(x−1)²−4，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴EB=2，
∴顶点D的坐标为(1,−4)，
若∠CBP=15°，则分两种情况，
①如图，当P在直线BC下方时，
此时∠EBP=60°，
∴tan∠EBP=EPEB= 3，
∴EP=2 3，
∴DP=4−2 3，
∴t=DP1=4−2 3，
当P在直线BC上方时，
此时∠EBP=30°，
∴tan∠EBP=EPEB= 33，
∴EP=2 33，
∴DP=4−2 33，
∴t=DP1=4−2 33，
综上，t=4−2 3或4−2 33；
②设P的坐标为(1,n)，
令y=x²−2x−3=0，
x=3或−1，
∴A的坐标分别为(−1,0)，
此时PC²=1+(n+3)²=n²+6n+10，
PA²=(1+1)²+n²=4+n²，
AC²=1+3²=10，
当∠PCA=90°时，PC²+AC²=AP²，
n²+6n+10+10=4+n²，
解得：n=−83，
∴P的坐标为(1,−83)，DP=4−83=43，
∴t=43，
当∠APC=90°时，AP²+PC²=AC²，
4+n²+n²+6n+10=10，
解得：n=−1或−2，
∴P的坐标为(1,−1)或(1,−2)，
DP=4−1=3或DP=4−2=2，
∴t=3或2，
当∠PAC=90°时，PA²+AC²=CP²，
n²+4+10=n²+6n+10，
解得：n=23，
∴P的坐标为(1,23)，
DP=4+23=143，
∴t=143，
综上，t=43或3或2或143．
【解析】(1)由直线BC求出B、C的坐标，再待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)①由OB=OC得出∠OBC=∠OCB=45°，所以∠CBP=15°就可以分别得到∠PBE=30°或60°，再由tan30°或tan60°求出EP，进而求出DP，又因为P的速度为1，求出t即可；
②设出P的坐标，根据两点距离公式求出AP²、AC²和PC²，分三种情况：∠APC=90°或∠PCA=90°或∠PAC=90°分别讨论，求出P的坐标，进而求出DP，求出t即可．
本题时二次函数综合题，考查了待定系数法，角度15°的处理，直角三角形存在性问题，勾股定理，画出图形将15°转化成特殊角30°或60°是关键，直角三角形分三种情况讨论是关键．
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