2023年广东省惠州市博罗县中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省惠州市博罗县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年全国新冠病毒疫苗及接种费用余亿元，将数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了场，则本次比赛共有参赛队伍(    )

A. 支 B. 支 C. 支 D. 支

6.  数据，，，，，，，的众数、中位数分别为(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

7.  关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

8.  如图，平行四边形的对角线、相交于点，是的中点，若的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在半径为的中，点，，都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图等边的边长为，点，点同时从点出发点，沿以的速度向点运动，点沿以的速度也向点运动，直到到达点时停止运动，若的面积为，点的运动时间为，则下列最能反映与之间大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  二元一次方程组的解是______ ．

12.  一个边形的内角和等于，则______．

13.  将抛物线向上平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是______ ．

14.  已知，则代数式的值为______ ．

15.  如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点、连接，，，与交于点，则下列结论：四边形是菱形；；：：；：：其中结论正确的是______ 填序号．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，，，点、在上，且．
求证：≌；
试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

19.  本小题分
以“赏中华诗词、寻文化基因，品生活之美”为基本宗旨的中国诗词大会是央视首档全民参与的诗词节目某语文科组对本校学生了解中国诗词大会的情况进行调查，随机选取部分学生进行问卷调查，问卷设有个选项每位被调查的学生必选且只选一项：几乎每期都看；看过几期；听说过，但没看过；没听说过，现绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：

本次共问卷调查______ 名学生：扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是______ 度
补全图中的条形统计图．
该校选“”的学生中有甲、乙、丙三人最关注该节目，学校决定从这三名学生中随机抽取两名为该节目作宣传，用列表法或画树状图法求同时抽到甲、乙两名学生的概率．

20.  本小题分
因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少元，用元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数．
求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？
若购买这两种口罩共包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的倍请设计一种购买方案，使所需总费用最低．

21.  本小题分
如图，直线与双曲线交于、两点，且点的坐标为．
求双曲线与直线的解析式；
求点的坐标；
若，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于过点作于点，交于，连接，．
求证：；
求证：是的切线；
若，求的长．

23.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．

求抛物线的解析式；
点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算正确；
B.，故选项B计算正确；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算错误．
故选：．
利用单项式乘单项式法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：设共有支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得或舍，
共有支队伍参加比赛．
故选：．
设共有支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了场”列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：数据中出现的次数最多，所以众数为，
将数据重新排列为、、、、、、、，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得或，
由于该方程是一元二次方程，
则有，所以的值为．
故选：．
先把代入方法求出的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；一元二次方程的未知数的最高项次数为，且最高项系数不为零．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
是的中点，
是的中位线，
：：，的边的高：的边的高：，
，
的面积为，
的面积为，
故选：．
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理得出面积关系解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出对角线平分解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
故选A．
本题考查扇形面积的计算，平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．
连接，根据平行四边形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在边运动时，，图象为开口向上的抛物线，
当点在边运动时，如下图，，

图象为开口向下的抛物线；
故选：．
当点在边运动时，，图象为开口向上的抛物线，当点在边运动时，如下图，，即可求解．
本题主要考查了动点问题的函数图象，是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是．
故答案为：．
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．
【解答】
解：依题意有：
，
解得．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是：．
故答案为：．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
原式


．
故答案为：．
将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，
，
，故正确，
，
，
，故错误，
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
四边形的面积为，的面积为，
：：故正确，
故答案为：．
根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

18.【答案】证明：如图，，
．
在与中，
，
≌；

如图，连接、．
由知，≌，
，，
，
，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】由全等三角形的判定定理证得≌；
利用中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．在证明题时，利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理．
 

19.【答案】   

【解析】解：人，
即本次共问卷调查名学生．
，即选项对应的扇形圆心角是．
故答案为；；
选项人数为人，
补全条形统计图如图所示：

画树状图如下：

由图知共有种等可能的结果，同时抽到甲、乙两名学生的情况有种，
同时抽到甲、乙两名学生．
由选项人数及其所占百分比可得总人数，用乘以选项人数所占比例即可得出答案；
求出选项人数即可补全图形；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图、树状图的画法以及概率公式；读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】解：设成人医用口罩每包的价格为元，儿童医用口罩每包的价格为元，
根据题意，得，
解得：
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
，
答：成人医用口罩每包的价格为元，儿童医用口罩每包的价格为元．
设购买包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为元，依题意，得，
，
，
，
当时，有最小值，
此时，
答：购买包成人医用口罩，包儿童医用口罩时，所需总费用最低． 

【解析】设成人医用口罩每包的价格为元，儿童医用口罩每包的价格为元，根据用元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数列出方程，解方程并检验即可得到答案；
设购买包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为元，列出总费用的一次函数表达式，求出的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
此题考查了分式方程和一次函数的应用，读懂题意，正确列出方程和函数表达式是解题的关键．
 

21.【答案】解：把点的坐标代入一次函数的解析式中，可得：，解得：，
所以一次函数的解析式为：；
把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得：，
所以反比例函数的解析式为：；
把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，
解得：或，
所以点的坐标为；
由图象可知，若，则的范围是：或． 

【解析】把的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；
根据、的坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
 

22.【答案】证明：为的直径，
，
即：，
又，
；
证明：连接，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为的切线，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，，
，
，
在中，，
，
∽，
，
． 

【解析】根据圆周角定理及平行线的判定可得结论；
连接，利用全等三角形的判定与性质可得，再由切线的判定与性质可得结论；
利用三角函数可得，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：直线与轴交于点，
，
，
点，
抛物线经过点，，
，
，
抛物线的解析式为：；

如图，过点作交于点，

抛物线与轴的交点为、，
，
，，
点，
设点，则点，
，
四边形面积，
当时，四边形面积有最大值，
此时点；

如图，当点在上方时，设交于点，

，
，
，
，
，
，
点，
点，点，
直线解析式为：，
联立方程组可得，
解得：或，
点，
当点在下方时，
，
，
点的纵坐标为，
点的坐标为；
综上所述：点或． 

【解析】先求出点，利用待定系数法可求解；
过点作交于点，先求出点坐标，设点，则点，利用面积和差关系可求解；
分两种情况讨论，先求出直线或的解析式，联立方程组可求解．
本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，利用勾股定理求出点的坐标是本题的关键．