10 衡水中学高一数学预习知识点——函数模型

衡水中学高一数学预习知识点——函数模型

一、 知识点讲解

1.常见的函数模型

（1）一次函数：y=kx+b（k≠0）

（2）二次函数：y=ax ²+bx+c（a≠0）

（3）指数函数：y＝ax(a>0且a≠1)

（4）对数函数：y＝logax(a>0且a≠1)

（5）幂函数：y＝xn

（6）指数型函数：y=pqx+r

（7）分段函数

2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤

（1）收集数据；

（2）画散点图；

（3）选择函数模型；

（4）求函数模型；

（5）检验；

（6）用函数模型解释实际问题.

二、 经典例题

1.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：

为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y

＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．

【解析】将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：

或(a>0)

解得(两方程组的解相同)．

∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.

当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；

当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.

由于56与53.9的误差较大，

∴选y＝ax＋b较好．

2.用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)

的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)

时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．

(1)当b＝，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；

(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．

【解析】(1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝14(a－)2＋，

∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．

(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.