05 衡水中学高一数学预习知识点——函数的性质

衡水中学高一数学预习知识点——函数的性质

一、 知识点讲解

1.函数的单调性：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

2. 增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

3.减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。

4.最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

5.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x) ≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值。

6.一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

7.一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数

8.偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

9.奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

二、 经典例题

1.已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

【解析】(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．

(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．

证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为x2>x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．

2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

【解析】函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2，故当x＝0时函数有最小值，当x＝1时函数有最大值．因为当x＝0时，f(0)＝a＝－2，所以f(1)＝－12＋4×1－2＝1.

【答案】1.

3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)

A．奇函数    B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

【解析】F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．

【答案】B

4.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________．

【解析】因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，

所以f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.

【答案】－2