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09 衡水中学高一数学预习知识点——函数与方程
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衡水中学高一数学预习知识点——函数与方程
一、 知识点讲解
1．函数的零点
(1)定义：把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。
(2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系
2．函数零点的判断
条件 | (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线[来源:Z.xx. (2)f(a)·f(b)＜0 |
结论 | 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根 |
3. 求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。
4.二分法
条件 | (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断； (2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)<0 |
方法 | 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 |
5.二分法求函数零点近似值的步骤
二、 经典例题
1.(1)若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________．
(2)函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求函数g(x)＝bx2－ax的零点．
【解析】(1)因为2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，
所以f(2)＝0，即22－m＝0，所以m＝4.故填4.
(2)由于函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得2a＋b＝0，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令－2ax2－ax＝0，可得x＝0或－，故g(x)的零点为0和－.
【答案】（1）4；（2）0和－.
2.函数f(x)＝x＋的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点。
【答案】A
3.已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6＜0，f(4)＝6＞0，由函数零点的性质可知函数在[1，4]内有零点，用二分法求解时，取(1，4)的中点a，则f(a)＝________．
【解析】显然(1，4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
【答案】－2.25
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