黑龙江省哈尔滨市香坊区达标名校2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°

2．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（　　）

A． B． C． D．1

3．等式组的解集在下列数轴上表示正确的是（    ）．

A．           B．

C．      D．

4．如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是（　　）

A．∠EGD＝58° B．GF＝GH C．∠FHG＝61° D．FG＝FH

5．某中学篮球队12名队员的年龄如下表：

关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是(     )

A．众数是14岁 B．极差是3岁 C．中位数是14.5岁 D．平均数是14.8岁

6．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（　　）

A． B． C． D．

7．2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（      ）

A．1.35×106 B．1.35×105 C．13.5×104 D．135×103

8．已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为（ ）

A．-6 B．6 C．-2或6 D．-2或30

9．平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）

A． B．

C． D．

10．下列计算正确的是（　　）

A． +＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．＝4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有m、n的式子表示AB的长为______．

12．在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图所示，则x+y的值是_____．

13．在△ABC中，AB=1，BC=2，以AC为边作等边三角形ACD，连接BD，则线段BD的最大值为_____．

14．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高是20米，背水坡的坡角为30°，迎水坡的坡度为1∶2，那么坝底的长度等于________米（结果保留根号）

15．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

16．16的算术平方根是           ．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣|﹣3|．

18．（8分）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．

19．（8分）北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面雷达站处测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达点，测得的仰角为.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02)

(Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离；

(Ⅱ)求这枚火箭从到的平均速度是多少(结果精确到0.01)？

20．（8分）如图，，，，求证：。

21．（8分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．

22．（10分）庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量（件）之间的关系及成本如下表所示：

（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元；若所有的T恤都能售完，求该商店获得的总利润（元）与乙种T恤的进货量（件）之间的函数关系式；在（2）的条件下，已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能使获得的利润最大？

23．（12分）如图1，菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120o，连接对角线AC、BD交于点O，

（1）如图2，将△AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的△A′BO与菱形ABCD重合部分的面积.

（2）如图3，将△A′BO绕点O逆时针旋转交AB于点E′，交BC于点F，

①求证：BE′+BF=2，

②求出四边形OE′BF的面积.

24．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为　   　，并在图上标出此时点P的位置．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．

【详解】

∵AD＝CD，∠1＝40°，

∴∠ACD＝70°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠ACD＝70°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．

2、C

【解析】
延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.

【详解】

解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，

在Rt△AC′B′中，AB′=AC′=2，

∵BC′垂直平分AB′，

∴C′D=AB=1，

∵BD为等边三角形△ABB′的高，

∴BD=AB′=，

∴BC′=BD-C′D=-1．

故本题选择C.

【点睛】

熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.

3、B

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后在数轴上表示出每个不等式的解集，对比即可得.

【详解】，

解不等式①得，x>-3，

解不等式②得，x≤2，

在数轴上表示①、②的解集如图所示，

故选B.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.

4、D

【解析】
根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论．

【详解】

解：

，故A选项正确；

又

故B选项正确；

平分

，

，故C选项正确；

，故选项错误；

故选．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．

5、D

【解析】

分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案．

解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14，故选项A正确，不合题意；

极差是：16﹣13=3，故选项B正确，不合题意；

中位数是：14.5，故选项C正确，不合题意；

平均数是：（13+14×5+15×4+16×2）÷12≈14.5，故选项D错误，符合题意．

故选D．

“点睛”此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键．

6、B

【解析】
根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．

【详解】

解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥-3，
A、不等式组的解集为x＞-3，故A错误；

B、不等式组的解集为x≥-3，故B正确；

C、不等式组的解集为x＜-3，故C错误；

D、不等式组的解集为-3＜x＜5，故D错误．

故选B．

【点睛】

本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．

7、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：135000=1.35×105

故选B．

【点睛】

此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8、B

【解析】

方程两边同时乘以2，再化出2x2-4x求值．

解：x2-2x-3=0
2×（x2-2x-3）=0
2×（x2-2x）-6=0
2x2-4x=6
故选B．

9、B

【解析】
根据第二象限中点的特征可得： ，

解得： .

在数轴上表示为：

故选B.

考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征

10、B

【解析】
根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．

【详解】

解：A、与不能合并，所以A选项不正确；

B、-=2−=，所以B选项正确；

C、×=，所以C选项不正确；

D、=÷=2÷=2，所以D选项不正确．

故选B．

【点睛】

此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
过点C作CE⊥CF延长BA交CE于点E,先求得DF的长,可得到AE的长,最后可求得AB的长.

【详解】

解：延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，如图所示．

在Rt△BDF中，BF＝n，∠DBF＝30°，

∴．

在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，

∴AE＝CE＝BF＝n，

∴．

故答案为：．

【点睛】

此题考查解直角三角形的应用,解题的关键在于做辅助线.

12、0

【解析】
根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．

【详解】

解：根据题意得：，即，

解得：，

则x+y＝﹣1+1＝0，

故答案为0

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13、3

【解析】
以AB为边作等边△ABE，由题意可证△AEC≌△ABD，可得BD=CE，根据三角形三边关系，可求EC的最大值，即可求BD的最大值．

【详解】

如图：以AB为边作等边△ABE，
，
∵△ACD，△ABE是等边三角形，
∴AD=AC，AB=AE=BE=1，∠EAB=∠DAC=60o,
∴∠EAC=∠BAD，且AE=AB，AD=AC，
∴△DAB≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，
若点E，点B，点C不共线时，EC＜BC+BE；
若点E，点B，点C共线时，EC=BC+BE．
∴EC≤BC+BE=3，
∴EC的最大值为3，即BD的最大值为3.
故答案是：3

【点睛】

考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．

14、

【解析】
过梯形上底的两个顶点向下底引垂线、，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解、求得线段、的长，然后与相加即可求得的长．

【详解】

如图，作，，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形．

由题意得，米，米，，斜坡的坡度为1∶2，

在中，∵，

∴米．

在Rt△DCF中，∵斜坡的坡度为1∶2，

∴，

∴米，

∴（米）．

∴坝底的长度等于米．

故答案为．

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．

15、

【解析】
过D点作DF⊥AB于点F．

∵AD=1，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积

=.

故答案为：.

16、4

【解析】
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根

∵

∴16的平方根为4和-4

∴16的算术平方根为4

三、解答题（共8题，共72分）

17、﹣1．

【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式

=1﹣3+4﹣3，

=﹣1．

【点睛】

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18、证明见解析

【解析】

证明：（1）∵DF∥BE，

∴∠DFE=∠BEF．

又∵AF=CE，DF=BE，

∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，

∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，

∴AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．

（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

19、 (Ⅰ)发射台与雷达站之间的距离约为；(Ⅱ)这枚火箭从到的平均速度大约是.

【解析】
(Ⅰ)在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义，利用∠ADC的余弦值解直角三角形即可；(Ⅱ)在Rt△BCD和Rt△ACD中，利用∠BDC的正切值求出BC的长，利用∠ADC的正弦值求出AC的长，进而可得AB的长，即可得答案.

【详解】

(Ⅰ)在中，，≈0.74，

∴.

答：发射台与雷达站之间的距离约为.

(Ⅱ)在中，，

∴.

∵在中，，

∴.

∴.

答：这枚火箭从到的平均速度大约是.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

20、见解析

【解析】
据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．

【详解】

证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD．

∵在△ABC和△AED中，

∴△ABC≌△AED（AAS）．

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角

21、（1）详见解析；（2）BD=9.6.

【解析】

试题分析：(1)连接OB，由垂径定理可得BE=DE，OE⊥BD， ，再由圆周角定理可得 ，从而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°，即 ，命题得证.

(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长.

试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB.

∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，，

∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.

∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，

∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线．

(2)解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ,

∵ ，∴ ，

∴.

点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.

22、（1）10750；（2）；（3）最大利润为10750元.

【解析】
（1）根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可；

（2）根据题意，分两种情况进行讨论：①0<m<200；②200≤m≤400时，根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关函数关系式；

（3）求出（2）中各函数最大值，进行比较即可得到结论.

【详解】

（1）∵甲种T恤进货250件

∴乙种T恤进货量为：400-250=150件

故由题意得，；

（2）①

②；

故.

（3）由题意，，①，，

②，

综上，最大利润为10750元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键．

23、 (1)；（2）①2，②

【解析】

分析：(1)重合部分是等边三角形，计算出边长即可.

①证明：在图3中，取AB中点E,证明≌,即可得到

,

②由①知，在旋转过程60°中始终有≌四边形的面积等于 =.

详解：(1)∵四边形为菱形，

∴

∴为等边三角形

∴

∵AD//

∴

∴为等边三角形，边长

∴重合部分的面积：

①证明：在图3中，取AB中点E,

由上题知，

∴

又∵

∴≌,

∴

∴,

②由①知，在旋转过程60°中始终有≌

∴四边形的面积等于=.

点睛：属于四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握每个知识点是解题的关键.

24、（1）详见解析；（2）.

【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；

（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．

【详解】

（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．

∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=AB=AE=BE．

同理，BF=DF．

∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；

（2）连接BF．

∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．

∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．

则EM=BE•sin60°=4×=2．

即PF+PM的最小值是2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．