2023年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  反比例函数的图象经过点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，，，则的余弦值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面内，将绕若直角顶点逆时针旋转得到，若
，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知直线，直线，与直线，，分别交于点、、、、、，，，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  甲、乙两同学进行赛跑，两人在比赛时所跑的路程米与时间分钟之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是(    )

A. 甲同学率先到达终点 B. 甲同学比乙同学多跑了米路程
C. 乙同学比甲同学少用分钟跑完全程 D. 乙同学的速度比甲同学的速度慢

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  把数据用科学记数法表示为______ ．

12.  函数中自变量的取值范围是______．

13.  把多项式分解因式的结果是______．

14.  计算的结果是______．

15.  不等式组的解集是______ ．

16.  有一个半径为的扇形，它的圆心角为，则该扇形的面积为______ ．

17.  篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是______ ．

18.  某服装进货价为元件，按进价提高后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价八折销售，则该服装每件可获利______ 元

19.  在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为______ ．

20.  如图，在四边形中，，，以为斜边作等腰直角，连接，若，，则 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

21.  先化简，再求代数式的值，其中．

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．
在图中画出以为腰的等腰，点在小正方形顶点上，且的面积为；
在图中画出以为一边的矩形，点在小正方形顶点上，连接，请直接写出的长度．
 

23.  本小题分
麦当劳公司为扩大规模，占领市场，决定最新推出种套餐，下面是该公司市场调研人员来到某校就，，，四种套餐在学生心中的喜爱程度进行的调查，询问了一部分同学，结果统计如图，请你结合图中信息解答下列问题．
该公司一共询问了多少名同学？
通过计算把条形统计图补充完整；
已知该校有人，估计全校最喜爱种套餐的人数是多少？
 

24.  本小题分
已知四边形中，，相交于点，，．
如图，求证：；
如图，延长，延长相交于点，若点是的中点在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的倍．

25.  本小题分
奋斗中学为了奖励学生，准备在商店购买、两种文具作为奖品，已知每件种文具的价格比每件种文具的价格少元，而用元购买种文具的数量与用元购买种文具的数量相等．
求每件种文具的价格是多少元？
根据需要，学校准备在该商店购买、两种文具，且购进种文具的数量比购进种文具的数量的倍还多件，学校购买两种奖品的总费用不超过元，求学校购买种文具数量最多有多少件？

26.  本小题分
已知四边形内接于，．
如图：求证：；
如图，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点，求证：；
如图，在的条件下，连接，，若是的直径，，，求的长．
 

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为．
求抛物线的解析式；
点为第一象限抛物线上一点，连接交轴交于，设点的横坐标为，的长为，求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，将沿轴翻折交抛物线于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作交轴于点，连接，若，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不属于同类英，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、该图形既不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
如图：．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值．
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
由，可求得，继而可求得的度数．
此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将绕若直角顶点逆时针旋转得到，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得，在中，利用勾股定理求出的长，进而得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的长，则可求得答案．
【解答】
解：，
，
，，，
，
解得：，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：由函数图象可以得出乙运动员先到达终点，
故A错误，不符合题意；
整个运动过程中甲乙的总路程一样，都是米．
故B错误，不符合题意；
甲到达终点用的时间是分钟，乙到达终点用的时间是分钟，故可以得出乙比甲少用分钟到达终点；
故C正确，符合题意；
比赛中两人从出发到分钟时段甲的速度大，
故D错误，不符合题意．
故选：．
A、由函数图象可以得出乙运动员先到达终点；
B、由题意可以得出甲乙跑的路程一样；
C、由函数图象可以得出甲用的时间乙用的时间即可以得出结论；
D、由函数图象可以得出比赛中两人从出发到分钟时段甲的速度大．
本题考查了一次函数的应用，行程问题的数量路程速度时间的关系的运用，解答本题时认真分析函数图象的含义是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．
本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集是．
故答案为：．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

16.【答案】 

【解析】解：半径为的扇形，圆心角为，
该扇形的面积
故答案为：．
直接根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查的是扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：抛硬币有两种结果：正面向上、反面向上，
则正面向上的概率为．
故答案为：．
根据概率的计算公式直接计算即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意列式得：元．
故答案为：．
读懂题意，根据题意列式计算．
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意列出正确的算式，有理数混合运算的法则．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在右侧时，在▱中，
，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
当点在左侧时，在▱中，
，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出．
 

20.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，延长交于点，如图，

，，
四边形是矩形，
，，
是等腰三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，延长交于点，从而可判定四边形是矩形，则有，可得，再求得，利用可判定≌，则有，从而可求得，利用勾股定理求得，，即可求，从而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，解答的关键是作出适当的辅助线．
 

21.【答案】解：当时，
原式


． 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：如图：

等腰三角形即为所求；
矩形即为所求． 

【解析】根据三角形的面积公式及网格线的特征求解；
根据矩形想性质及网格线的特征求解．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
 

23.【答案】解：名，
答：该公司一共询问了名同学；
项目人数为名，
补全条形图如下：

名，
答：估计全校最喜爱种套餐的人数是名． 

【解析】由套餐人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
根据四种套餐的人数之和可求得套餐人数，据此即可补全条形图；
用总人数乘以样本中套餐人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
；
解：，理由如下：
点是的中点，
，，，
由可知，，
，
，
即，
，
，
，
点是的中点，
，
， 

【解析】证≌，得，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
先证，，，再证，则，然后证点是的中点，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设每件种文具的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，
每件种文具的价格是元；
设学校购买种文具数量有件，
购进种文具的数量比购进种文具的数量的倍还多件，
购进种文具件，
学校购买两种奖品的总费用不超过元，每件种文具的价格是元，
，
解得：，
答：学校购买种文具数量最多有件． 

【解析】设每件种文具的价格是元，根据用元购买种文具的数量与用元购买种文具的数量相等得：，解方程并检验可得答案；
设学校购买种文具数量有件，根据学校购买两种奖品的总费用不超过元，可得，即可解得答案．
本题考查分式方程的应用，涉及一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
 

26.【答案】证明：如图，连接，

四边形内接于，
，
，
，
；
证明：如图，连接，，

由知，
，
四边形内接于，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，

；
解：如图，连接、，延长交于点，连接，

、是的半径，
，
点在的中垂线上，
由可知，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，，
 在中．，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
为的直径，
，
在中，，
，
 由可知≌，
，
的长为． 

【解析】如图，连接，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论；
如图，连接，，由知，求得根据圆内接四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；
如图，连接、，延长交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，推出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理得到，设，则，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，角平分线的定义，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图，抛物线与轴交于，两点，
当时，，
，
；
当时，，
解得或，
点，
点，
过点作轴的垂线，垂足为点，点在第一象限，
设点的横坐标为，则，
，

，
在中，，
在中，，
，
，
，
；
综上，；
如图，延长交轴于点，轴，
，
过作轴于点，
设，
由翻折可知，
，
，
整理得，
；
，，
，
，
轴，轴，
，
，
≌，
，
过作轴于点，
，
四边形是矩形，
，，
设与轴交于点，
，
，
，
，
又，，，
，
，
，
，
，

作轴交轴于点，则，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
解，，
点在第一象限，，
，
当时，，
，
，，
，

设直线的解析式为，
直线经过点，点两点，
，
解得，
直线的解析式为． 

【解析】将点的坐标代入抛物线的解析式，解之即可得出结论；
根据抛物线解析式可分别得出，的坐标，过点作轴的垂线，垂足为点，点在第一象限，设点的横坐标为，则，用分别表示，用表示即可得出结论；
延长交轴于点，轴，过作轴于点，设，由翻折可得，，则，由此可得；可证≌，所以，过作轴于点，可得四边形是矩形，设与轴交于点，通过倒角可得，所以，可得，作轴交轴于点，则，由，可得，所以，所以，整理得，，解得，舍，可得，，利用待定系数法可得直线的解析式．
本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．