2023年福建省三明市中考数学二检试卷（含解析）

2023年福建省三明市中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体的三视图中没有矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  正八边形的中心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某校举行年度十佳校园歌手大赛，陈老师根据七位评委所给的分数，把最后一位参赛同学的得分制作成如下表格对七位评委所给的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不会发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  如图，在中，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是半圆的直径，，，是半圆上的两点，且满足，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若点，，，，均在抛物线上，且，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  如图，在中，，，垂足为，为的中点若，则的长是______ ．

13.  某班从甲、乙、丙三位选手中随机选取两人参加校体能测试，恰好选中甲、乙两位手的概率是______ ．

14.  如图，▱的顶点，分别在轴和轴上，点在第一象限内，若双曲线经过点，则▱的面积为______ ．

15.  若，是方程的两个根，则的值为______ ．

16.  如图，为的直径，点为内一个定点，，，经过点的弦交于点，连接，，，在下列结论中：为直角三角形；与相似；若平分，则四边形为矩形；若，则，其中正确的是______ 填写所有正确结论的序号．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：．

18.  本小题分
如图，在中，点在上，，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，为等边三角形，点在边上．
在内部求作点，使得是以为底边的等腰直角三角形；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接，，延长交于点，若，求证：．

21.  本小题分
为进一步提高全民“节约用水”意识，某校组织学生进行家庭月用水量情况调查，小丽随机抽查了所住小区若干户家庭的月用水量，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图请根据统计图中信息，解答下列问题：

请补全条形统计图；
求本次调查中的所有家庭的月平均用水量；并估计小丽所住小区户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数．

22.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”世界读书日来临之即，育知书店决定用不多于元购进甲、乙两种图书共本进行销售甲、乙两种图书的进价分别为每本元、元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的倍若用元育知书店购买甲种图书的本数比用元购买乙种图书的本数多本．
甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？
育知书店为了让利给读者，决定将甲种图书售价每本降低元，乙种图书售价每本降低元那么，育知书店销售完购进的这两种图书后，所获利润能否达到元？

24.  本小题分
如图，菱形的边长为，点，分别是边，上的动点，，连接，交于点．
求证：；
求周长的最小值；
若，求的长．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线：在第一象限交于点，点为线段上一点不含端点，过点作直线轴，分别交轴，抛物线于点，．
若点的横坐标为，求的值；
过点作，垂足为，求证：；
如图，若过点的抛物线：与直线交于点，点在的左侧，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；
B.该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C.该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D.该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意；
故选：．
根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：正八边形的中心角的度数，
故选：．
根据正八边形中心角的定义即可求解．
本题考查了正多边形和圆的性质，熟练掌握正边形的中心角为是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
【解答】
解：、不是同底数幂的乘法，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而平均数、众数和方差均有可能改变，
故选：．
根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理可得，代入已知解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．设合伙人数为人，羊价为钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】

解：设合伙人数为人，羊价为钱，
根据题意，可列方程组为：．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
的长为，
故选：．
由圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可．
本题考查弧长的计算和圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线过原点，
点，，在抛物线上，且，
抛物线开口向下，对称轴在之间，
点，，在抛物线上，且到对称轴的距离最近，到对称轴的距离最远，
，
故选：．
根据题意得到抛物线开口向下，对称轴在之间，然后根据点，，到对称轴的距离即可判断，，的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先计算特殊角的函数值和负整数指数幂，再计算加减．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，垂足为，
是直角三角形；
是的中点．
直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半；
又，
．
故答案为：．
根据垂线的性质推知是直角三角形；然后在直角三角形中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得；最后由等腰三角形的两腰，求得．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质．掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位手的结果有种，
恰好选中甲、乙两位手的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位手的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比
 

14.【答案】 

【解析】解：作轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
顶点，分别在轴和轴上，
轴，
，
．
故答案为：．
作轴于，根据平行四边形的性质得出，即可得出，利用反比例函数系数的几何意义得到，即可得到．
本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

15.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
，，
则原式．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出与，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于点，连接，取的中点，连接，

为的直径，，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
点与重合，
为直角三角形；故正确；
，
，
要使与相似，
则或，
由于是经过点的弦，或都是变化的，不能等于，
故与不能相似，故不正确；
若平分，

则，
，
是等边三角形，
，
，
与都是的直径，
，
四边形为矩形，故正确；
，，
，
，
，
连接，

同理可得是等边三角形，
，
，
，故正确；
综上，正确．
故答案为：．
延长交于点，连接，取的中点，连接，证明和重合，即可证明：为直角三角形；要使与相似，则或，由于或都是变化的，可判断不正确；证明与重合，得到与都为的直径，利用圆周角定理即可判断；连接，证明是等边三角形，据此即可判断．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定，矩形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】解：，
，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为． 

【解析】用，可消去未知数，求出未知数的值，再把的值代入其中一个方程求出的值即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用平行线的性质可得，然后根据“”可得≌，再由全等三角形的性质可得结论．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作，交的垂直平分线于点，
则点为所作；

证明：为等腰直角三角形，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
而，
，
，
． 

【解析】如图，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作，交的垂直平分线于点，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，则为等腰直角三角形；
先利用为等腰直角三角形得到，，利用为等边三角形得到，则，再证明得到，所以，然后证明得到，从而有．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了等边三角形的性质．
 

21.【答案】解：本次抽查的户数为：，
用水量为吨的用户有：户，
补全的条形统计图如图所示；
平均用水量为：吨，


户，
答：估计小丽所住小区户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭有户． 

【解析】根据用水量吨和吨的户数和他们所占的百分比，可以计算出本次抽取的户数，然后即可计算出用水量吨的户数，再将条形统计图补充完整即可；
根据条形统计图中的数据，可以计算出小丽所住小区户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：连接，
是的切线，
，，，
是的角平分线，
即，
又，
≌，
，
与相切，
解：过点作于点．
，是的切线，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，先证明≌，得出，从而可证得结论．
根据等角的余角相等，得到，由勾股定理求得，根据同圆的半径相等，得到的值．
此题考查了切线的判定与性质，三角函数，勾股定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，
 

23.【答案】解：设乙种图书的售价为每本元，则甲种图书的售价为每本元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种图书的售价为每本元，乙种图书的售价为每本元；
设甲种购进图书本，则乙种图书购进本，
由题意得：，
解得：，
设总利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当最大时最大，
当时，的最大值，
，
所获利润不能达到元，
答：所获利润不能达到元． 

【解析】设乙种图书的售价为每本元，则甲种图书的售价为每本元，由题意：用元育知书店购买甲种图书的本数比用元购买乙种图书的本数多本．列出分式方程，解方程即可；
设甲种购进图书本，则乙种图书购进本，由题意：育知书店决定用不多于元购进甲、乙两种图书，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意得出关于的一次函数，然后由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】证明：，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，，
，，
，
≌，
；
解：≌，
，
菱形的边长为，
的周长，
当最小时，的周长最小，
，，
是等边三角形，
，
即当最小时，的周长最小，最小值为，
点是边上的动点，
当时，最小，
在中，，，
，
周长的最小值为；
解：四边形是菱形，，
，
是等边三角形，
，
由知是等边三角形，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据菱形的性质得是等边三角形，再利用证明≌，即可证明结论；
说明是等边三角形，再将周长转化为，从而得出求的最小值即可；
根据一线三等角基本模型，说明∽，根据对应边成比例可得的长．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握基本图形是解题的关键．
 

25.【答案】解：将代入中，得，，则，
将代入：中得，
；
证明：由题意，设，则，，
，
由得，，，
，
，
，
，
；
证明：作于，于，于，
 
由知，，，
抛物线都过点，，
，
则，
设，，
则，，
由得，
，，
，
∽，∽，
，，
，
，
，
即． 

【解析】将代入中，得到，求得，将代入即可得到结论；
设，则，，根据题意列方程得到，根据，得到，于是得到；
作于，于，于，由知，，，根据抛物线都过点，，求得，设，，得到，，由根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，比例性质，一次函数与一元二次方程的关系，利用相似三角形的性质探究线段之间的关系是解题的关键．