佳木斯市第一中学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

佳木斯市第一中学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数z满足，则(   )

A. B. C. D.

2、中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为(   )

A.23 B.92 C.128 D.180

3、如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为(   )

A.4 B.6 C.8 D.

4、如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为_______米(   )

A. B. C. D.

5、以将10个数据按照从小到大的顺序进行排列，第四个数据被墨水污染，2，4，5，，10，14，15，39，41，50，已知第40百分位数是8.5，则第四个数据是(   )

A.5 B.7.5 C.8 D.7

6、已知O为的外心，，则(   )

A.8 B.10 C.12 D.1

7、已知三棱锥中，底面ABC，，，，则此几何体外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

8、若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是(   )

A.  B. 

C.  D.

二、多项选择题

9、如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是(   )

A.有水的部分始终呈棱柱状 B.水面四边形EFGH的面积为定值

C.棱始终与水面EFGH平行 D.若，，则是定值

10、设l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的有(   )

A.若，且，则

B.若，且，则

C.若，，，则

D.若，，，且，则

11、如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.直线AC与平面AEF所成角为定值

C.的面积与面积相等 D.三棱锥的体积为定值

12、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(   )

A.是的充要条件

B.在中，若，，，则

C.若，，则面积的最大值为

D.若，则为钝角三角形

三、填空题

13、若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.

14、已知向量，满足，，则______.

15、数据，，的方差为，则数据，，的平均数为______.

16、如图，棱长为4的正方体中，P为线段的中点，M，N分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为______.

四、解答题

17、已知空间中三点，，，设，.

（1）求向量与向量的夹角；

（2）若与互相垂直，求实数k的值.

18、从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

（1）求第七组的频率；

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；

（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.

19、如图，四棱锥中，ABCD为正方形，E为PC的中点，平面平面ABCD，，.

（1）证明：平面BDE；

（2）证明：.

（3）求三棱锥的体积.

20、甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的频率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.

（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；

（2）求团体总分为4分的概率；

（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率.

21、如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点.

（1）证明：平面平面PBC；

（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

22、在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为.

（1）求C的大小；

（2）若的面积为，求的值；

（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值.

参考答案

1、答案：B

解析：因为, 所以,

所以; 故选B.

2、答案：B

解析：由题意可得, 在随机抽查 100 名学生并提问 “二十四节 气歌” 中, 只能说出一句或一句也说不出的人数有 人,

则据此估计该校一年级的 400 名学生中对 “二十四节气歌” 只能说出 一句或一句也说不出的人数约为,

故选: B.

3、答案：C

解析：水平放置的平面图形的直观图是用斜二测画法,所以与x轴平行的保持不变,

与y轴平行的变为原来的一半,所以将直观图还原如图所示的图形, ,,,所以原图形的周长是.

故选C

4、答案：A

解析：如图：由已知 ，， 米,

故, 所以 ,

即, 解得,

所以在中.

故选: A.

5、答案：D

解析：

6、答案：A

解析：取AB 中点D, 因为O 为 的外心, 故,

故

故选A

7、答案：C

解析：设底面 外接圆的半径为r, 则

设外接球的半径为R, 则, 即, 所以,

所以外接球的体积.

故选: C.

8、答案：D

解析：因为 与b 的夹角是锐角，

所以 且与 不共线，

即:, 解得 且.

故选: D.

9、答案：ACD

解析：

10、答案：AD

解析：A. 若, 且, 则, 故 A 正确;

B. 直线l 可能平行于 也可能在 内, 故B 错;

C. 直线 l,m,n可能平行也可能相交于一点, 故C 错;

D. 因为，，, 所以, 同理, , 所以, 故 D 正确.

故选: AD

11、答案：ABD

解析：

12、答案：ACD

解析：对于A ：由正弦定理 ，

整理得, 所以, 由, 所以,

利用正弦定理, 故 是 的充要条件, 故A 正确;

对于B: 在 中, 若，, , 利用正弦定理：,

所 以, 则 或, 故B 错 误；

对于C : 若，, 则, 利用均值不等式:, 故

, 故C正确;

对于D : 故

由于

所以, 故 为钝角三角形, 故D 正确.

故选: ACD.

13、答案：

解析：圆雉的轴截面是面积为 的等边三角形,

等边三角形的边长为 4 ,

圆锥的底面半径为 2 , 母线长为 4 ,

该圆锥的侧面积为.

故答案为:.

14、答案：

解析：，

故答案为：.

15、答案：7或-5

解析：

16、答案：8

解析：

17、答案：(1) 60°

(2) 或

解析：（1）空间中三点，，，

，，

设向量与向量的夹角为，

，又，

，

即向量与向量的夹角为60°.

（2），且，

，

即

或.

18、答案：(1)0.08

(2)102

(3)

解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：

.

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：

，

（3）样本成绩属于第六组的有人，设为A，B，C，样本成绩属于第八组的有人，设为a，b，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有，，，，，，，，，，共10种，

他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有，，，，共4种，

他们的分差的绝对值小于10分的概率.

19、答案：(1)见解析

(2)见解析

(3)

解析：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，

因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点，

又E为PC的中点，所以，

又因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE.

（2）证明：因为四边形ABCD为正方形，则，

因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

∴平面PAD，平面PAD，∴.

（3）∵四边形ABCD为正方形，则，

因为，， ， ，

所以，，

所以.

20、答案：(1) 乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为

(2)

(3)

解析：（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，

甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为

设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为

乙丙独立闯关，

根据独立事件同时发生的概率公式得：.

解得，.

即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.

（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.

设“团体总分为4分”为事件A，

则

即团体总分为4分的概率为.

（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，

设“团体总分不小于4分”为事件B，

由（2）知团体总分为4分的概率为，

团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为.

所以参加复赛的概率为.

即该小组参加复赛的概率为.

21、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）证明： 平面ABCD，平面ABCD，

.

，有，且ABCD是直角梯形，

，即，

.

，平面PBC，平面PBC，

平面PBC.

平面EAC，

平面平面PBC

（2）由（1）易知平面PAC，

即为直线PB与平面PAC所成角.

，

，则

，

平面PBC

所以角为二面的平面角，在中由余弦定理得二面角的余弦值为.

22、答案：(1)

(2)

(3)

解析：（1）在中，，

即，

由余弦定理得， ，

即，

即，

即，

在中，，则，

又， ；

（2），

由正弦定理得，∴，

则

，

由余弦定理得，

；

（3），

，

，上式两边同时除以得，

①，

如图，

O是的外心， ，

，

同理，，

代入①式得，

由正弦定理，得，，

代入化简得，

.