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    这是一份2021-2022学年上海市实验学校高一下学期期末考试数学试卷(含详解),共15页。试卷主要包含了06, ______, 定义“二元函数”如下等内容,欢迎下载使用。

    上海实验学校高一期末数学试卷

    2022.06

    一、填空题(本大题病分40分,本大题共有10题)

    1. 已知等差数列中,,则数列的通项公式是___________.

    2. 已知四边形是边长为1的正方形,则________

    3. 设复数,则的共轭复数的虚部是______.

    4. 已知向量,则方向上的投影为___________.

    5. ______

    6. 复数的辐角主值是___________.

    7. 已知向量,则的取值范围是______.

    8. 在数列中,,则________

    9. 复平面上对应的点分别为.若,则四边形的面积为______

    10. 定义二元函数如下:;例如:,对于奇数m,若任意,存在为正整数,且彼此不同),满足,则最小的正整数m的值为___________.

    二、选择题(本大题满分16分,本大题共有4题)

    11. 中,""为钝角三角形的(   

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    12. 已知复数虚数单位)为纯虚数,则实数   

    A. 2 B.  C. 2 D.

    13. 已知是方程在复数集中的两根,则下列等式成立的是(   

    A. 共轭 B.

    C  D.

    14. 数列满足n为正整数),则下列命题中真命题的个数是(   

    若数列满足,则n为正整数);

    (其中pqmn正整数),则

    一定存在常数d,使得n为正整数)都成立;

    一定存在常数q,使得n为正整数)都成立.

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    三、解答题(体大题满分44分,本大题共有4题,解答下列各题必须写出必要的步骤)

    15. ,依照下列条件求实数k的值.

    (1)相互平行;

    (2)相互垂直.

    16. 已知是复数,为实数(为虚数单位),且

    1)求复数

    2)若,求实数取值范围.

    17. 某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张,以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

    (1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列,每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列,写出这两个数列的通项公式;

    (2)从2013年算起,求到2029年(包含2029年)累计各年发放牌照数.

    18. 已知数列的各项均为正数,其前项和为,且满足,若数列满足,且等式对任意成立.

    1)求数列的通项公式;

    2)将数列的项相间排列构成新数列,设该新数列为,求数列的通项公式和前项的和

    3)对于(2)中的数列项和,若对任意都成立,求实数的取值范围.



    上海实验学校高一期末数学试卷

    2022.06

    一、填空题(本大题病分40分,本大题共有10题)

    1. 已知等差数列中,,则数列的通项公式是___________.

    【答案】##

    【分析】设公差为d,由基本量代换列方程组,解出,即可得到通项公式.

    【详解】设等差数列的公差为d,由题意可得:

    解得:

    所以.

    故答案为:.

    2. 已知四边形是边长为1的正方形,则________

    【答案】

    【分析】根据平面向量的加法运算求得,进而根据模长的定义即可求出结果.

    详解】,

    故答案为:.

    3. 设复数,则的共轭复数的虚部是______

    【答案】

    【分析】根据题意,计算出复数的代数形式,即可求解.

    详解】,

    所以,因此的共轭复数的虚部是.

    故答案为:.

    4. 已知向量,则方向上的投影为___________.

    【答案】##2.2

    【分析】求出的值及,由计算即可.

    【详解】解:因为

    所以

    可得:

    方向上的数量投影为:.

    故答案为:.

    【点睛】理解投影的概念是关键.

    5. ______

    【答案】

    【分析】根据已知条件,利用复数模的公式直接计算即可.

    【详解】

    故答案为:.

    6. 复数的辐角主值是___________.

    【答案】##

    【分析】复数的代数形式化为复数的三角形式即可.

    【详解】复数化为复数三角形式,

    可得:

    所以复数辐角主值是.

    故答案为:

    7. 已知向量,则的取值范围是______.

    【答案】

    【分析】展开结合已知条件以及余弦函数的性质即可求解.

    【详解】设向量夹角为

    因为,所以

    所以,即

    所以

    故答案为:.

    8. 在数列中,,则________

    【答案】

    【分析】先由,得到,求出数列的通项公式,进而可求出结果.

    【详解】因为,所以,则,所以数列是以为公差的等差数列,

    ,所以,解得.

    故答案为:.

    【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式,关键在于对递推公式进行合适的变形,构造成等差数列或等比数列,属于常考题型.

    9. 复平面上对应的点分别为.若,则四边形的面积为______

    【答案】

    【分析】根据题意,将复数改写成三角形式,结合已知条件分别算出、和,即可求解.

    【详解】,得,由,得

    ,所以,即,且

    又因,所以,即,且,

    因此.

    故答案为:.

    10. 定义二元函数如下:;例如:,对于奇数m,若任意,存在为正整数,且彼此不同),满足,则最小的正整数m的值为___________.

    【答案】81

    【分析】计算得到,故m至少有4个不同的正的奇约数,且4个奇约数中,至少有一个为的形式,找到3为最小的大于1的正奇数,且,从而求出m的值.

    【详解】

    由题意可知:存在4组不同的正整数,使得奇数

    m至少有4个不同的正的奇约数,且4个奇约数中,至少有一个为的形式,

    因为3为最小的大于1的正奇数,且,故m的最小值为.

    故答案为:81

    二、选择题(本大题满分16分,本大题共有4题)

    11. 中,""为钝角三角形的(   

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.

    【详解】,可得

    所以为钝角,是钝角三角形,

    所以由可以得出为钝角三角形,

    为钝角三角形,不一定为钝角,所以也得不出

    所以在中, ""为钝角三角形的充分不必要条件,

    故选:A.

    12. 已知复数为虚数单位)为纯虚数,则实数   

    A. 2 B.  C. 2 D.

    【答案】A

    【分析】由于复数为纯虚数,所以,从而可求出的值

    【详解】解:因为复数为虚数单位)为纯虚数,

    所以

    ,得

    ,得

    所以

    故选:A

    13. 已知是方程在复数集中的两根,则下列等式成立的是(   

    A. 共轭 B.

    C.  D.

    【答案】C

    【分析】由复数范围内的求根公式结合复数的运算法则依次判断即可.

    【详解】由复数范围内的求根公式可得,当时,;当时,,则B错误;

    时,方程有两个不相等的实根,不共轭,A错误;

    时,易得;当时,

    C正确;

    时,

    ,故D错误.

    故选:C.

    14. 数列满足n为正整数),则下列命题中真命题的个数是(   

    若数列满足,则n为正整数);

    (其中pqmn为正整数),则

    一定存在常数d,使得n为正整数)都成立;

    一定存在常数q,使得n为正整数)都成立.

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

    【答案】B

    【分析】对于:根据数列为递增数列分析判断;对于:取,分析判断;对于:根据进行放缩,取,利用累加法运算处理;对于:取代入检验判断.

    【详解】,则

    ∴数列为递增数列

    ,即,可得,则为真命题;

    ,则

    数列为递减数列,数列为递增数列符合题意

    若令,则

    为假命题;

    ∵对

    取常数d满足

    为真命题;

    ,显然满足

    但对为假命题;

    故选:B

    三、解答题(体大题满分44分,本大题共有4题,解答下列各题必须写出必要的步骤)

    15. ,依照下列条件求实数k的值.

    (1)相互平行;

    (2)相互垂直

    【答案】1   

    2

    【分析】1)根据向量平行坐标表示即可求解;

    2)根据向量垂直的坐标表示即可求解.

    【小问1详解】

    解:因为

    所以

    因为相互平行,

    所以,解得

    【小问2详解】

    解:因为

    所以

    因为相互垂直,

    所以,解得.

    16. 已知是复数,为实数(为虚数单位),且

    1)求复数

    2)若,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2

    【分析】1)设,根据已知条件可得出关于的方程组,解出的值,即可得出复数的值;

    2)化简复数,利用复数的模长公式可得出关于实数的不等式,由此可解得实数的取值范围.

    【详解】1)设,则,所以,,可得

    为实数,

    所以,,解得,因此,

    2,所以,,可得

    解得

    因此,实数的取值范围是.

    17. 某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张,以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

    (1)2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列,每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列,写出这两个数列的通项公式;

    (2)2013年算起,求到2029年(包含2029年)累计各年发放的牌照数.

    【答案】1   

    2206万张

    【分析】1)利用等差数列通项公式可得,结合题意可得,根据等比数列通项公式可得,结合题意利用前项和公式判断可得;(2)根据(1)分别求数列的前17项和,再相加.

    【小问1详解】

    设当时,数列为等差数列,则

    根据题意令,则

    ,则

    设当时,数列为等比数列,则

    其前项和为递增数列,且

    ,则

    【小问2详解】

    根据题意可得到2029年(包含2029年),即为第17

    对于数列的前项和

    对于数列的前项和

    2029年(包含2029年)累计各年发放的牌照数为(万张)

    18. 已知数列的各项均为正数,其前项和为,且满足,若数列满足,且等式对任意成立.

    1)求数列的通项公式;

    2)将数列的项相间排列构成新数列,设该新数列为,求数列的通项公式和前项的和

    3)对于(2)中的数列项和,若对任意都成立,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2;(3

    【分析】1)由4Sn=(an+12n1时,4a1,解得a1n2时,4an4SnSn1),化为:(an+an1)(anan12)=0,根据数列{an}的各项均为正数,可得anan12,利用等差数列的通项公式可得an

    2)数列{bn}满足b12b24,且等式bn2bn1bn+1对任意n2成立.利用等比数列的通项公式可得bn.进而得出cnT2n

    3Tnλcn,即n2+2n+12λcn,对n分类讨论即可得出.

    【详解】1)由,即,所以

    两式相减得,

         

    因为,所以     

    又由

    所以,数列是首项为,公差为的等差数列.

    所以,数列的通项公式为 

    2)由题意,数列是首项为,公比为的等比数列,故

    所以,   

    数列的前项和,数列的前项和

    所以, 

    3)当为偶数时,设),由(2)知,

    ,得 

     

    ,则

    所以,当时,单调递增,当时,单调递减.

    因为,当时,,所以,

    所以, 

    为奇数时,设),则

     

    ,得,即

    ,则

    ,故单调递增,,故

    综上,的取值范围是

    【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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