2021-2022学年广东省深圳外国语学校高一第一学期期末考试数学试卷含答案

深圳外国语学校2021-2022学年高一期末考试

数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

第I卷（选择题共60分）

一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的）

1．若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

2．在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边与非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是(    )

A．1B．4 C．1或4D．2或4

4．函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则(    )

A．9B．8 C．6D．

5．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车(    )

A．11辆 B．10辆

C．9辆 D．8辆

6．若，那么的取值范围是(    )

A． B． C．D．

7．函数的图象大致是（）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则方程的根的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选的得0分）

9．下列说法中，正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若对，恒成立，则实数的最大值为
D. 若，，，则的最小值为

10．给出下面四个结论，其中正确的是(    )

A. 角是的必要不充分条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 方程在区间上有唯一一个零点
D. 若奇函数满足，且当时，，则

11．已知函数，则(    )

A. 的最小正周期为
B. 可以改写成
C. 在区间上单调递减
D. 的图象关于直线对称

12．已知函数，其中，，且，若对一切恒成立，则下列错误的是(    )

A． B．

C．是偶函数 D．是奇函数

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）

13. 化简：

14．设函数，，则的值域为.

15．已知，则.

16．已知函数，对任意，，当时都有

成立，那么的取值范围是          ．

四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）设全集是，集合，．
若，求；
问题：已知，求实数的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
；；．

18．（12分）（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值.

19．（12分）已知函数，且.

（1）求的值，并证明函数为偶函数；

（2）用定义证明函数为上的增函数.

20．（12分）已知函数的最小正周期为.

（1）求图象的对称轴方程；

（2）将图象向右平移个单位长度后，得到函数，求函数在上的值域.

21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲其覆盖面积为，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．
试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．参考数据：，．

22．（12分）已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值为1，设.

（1）求，的值;

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围;

（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

数学参考答案

1．【B】解析：当时，有违背集合中元素的互异性，故；
必有，解得：或舍去，
故实数的值为．

2．【A】解析：若角的顶点在坐标原点，始边与非负半轴重合，终边与单位圆交于点

，且，，
又，
，即，
，

3．【C】解析：设扇形所在圆的半径为，

由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，

又由弧长公式，可得，即，

当时，可得；

当时，可得，

4．【A】解析：令，得，即时，，

点的坐标是；幂函数的图象过点，

所以，解得；

所以幂函数为；则．

5．【B】解析：设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，

由题意得：，解得，

∴，而x为正整数，

故x＝10.

6．【D】解析：根据题意分析可知且，，，

，是单调递增函数,.

7．【A】解析：令，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故CD错误；

，故B错误；

8．【A】解析：函数的图象如图：
令，
则方程即为对应的值，则或或，
时对应的有个，
时对应的有个，
时对应的有个，
故方程的根的个数是个，
9．【ACD】解析：若，则，则，所以A正确；
若，则，所以，所以不正确；
对，恒成立当且仅当时取等号，则实数的最大值为，所以C正确；
若，，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D正确；

10．【BC】解析：解：因为，
所以或，，
所以或，，
所以由不能推出，由也不能推出，
即角是的既不充分又不必要条件，故选项A不正确；
命题“，”的否定是“，”，故选项B正确；
令，在定义域内单调递增，
，，
所以方程在区间上有唯一一个零点，故选项C正确；
因为，
所以，即的周期为，
所以，
又因函数为奇函数，
所以，即，故选项D不正确．

11．【ACD】解析：的最小正周期，A正确；
，B错误；
因为，所以，则在区间上单调递减，C正确；
令，解得，当时，，故的图象关于直线对称，D正确．

12．【ACD】解析：由知且，

利用辅助角公式可得，其中，

又对一切恒成立，知是的最值，

所以，

即，所以，即，

所以，，可得，

所以，

对于选项A：，

，又因为，则，

当时，，当时，，故选项A不正确；

对于选项B：

，故选项B正确；

对于选项C：是奇函数，故选项C不正确；

对于选项D：是偶函数，故选项D不正确，

13．【答案】-1   解析：．

14．【答案】[-1,3]  解析：因为，令，则.

故函数的值域为.

15．【答案】 解析：因为，故可得，

则

.

16．【答案】对任意，，当时都有成立，
，
在上单调递减，
解得．

17．【答案】解：集合或，
，
若，则，
．
选：，则，
当时，则有，即，
当时，则有或，均无解，
综上所述，所求实数的取值范围是．
选：，由于，
则有，解得，
故所求实数的取值范围是．
选：，由于，
当时，则有，即，
当时，则有，解得，
综上所述，所求实数的取值范围是．

18．【答案】解：（1）由，可得：，

∴，解得.

（2）由，可得：，即，

∴.

19．【答案】解：（1）函数，且，

或者

因为

故函数为偶函数.

（2）

任取，

，

，

故函数在上为增函数

20．【答案】解：（1）

，

.

由可得：

图象的对称轴方程为

（2），

，   ，

∴  函数在上的值域为.

21．【答案】解：函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
，解得．
故该函数模型的解析式为，，；
当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
，
，
，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是六月份．

22．【答案】解：（1）由题意，又，∴在上单调递增，

∴，解得．

（2）由（1），，

时，，令，则在上有解，

，∵，∴，

，则，∴的最大值为，

∴，即．

∴的取值范围是．

（3）原方程化为,

令，则，有两个实数解，

作出函数的图象，如图原方程有三个不同的实数解，

则，，或，，或

记,

则，解得，或，无解，

或经检验符合题意，故.

综上的取值范围是．