2023年湖南省株洲市攸县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市攸县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省株洲市攸县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．5a2﹣3a2＝2 B．
C．a3÷a2＝a D．（a+b）2＝a2+b2
3．（4分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.25×107 B．2.5×107 C．2.5×106 D．25×105
4．（4分）某市6月某周内每天的最高气温数据如下（单位：℃）：
24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．29，29 B．26，26 C．26，29 D．29，32
5．（4分）一次函数y＝﹣x+2的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D，∠A＝120°，则∠DBC的度数是（　　）

A．60° B．25° C．20° D．30°
9．（4分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
10．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1+y2）＞0
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算﹣×＝　 　．
12．（4分）若关于x方程的解是x＝3，则a的值为 　 　．
13．（4分）因式分解：ab﹣b＝　 　．
14．（4分）一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，则第5组数据的频数为 　 　．
15．（4分）已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，则BC＝　 　cm．

16．（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为　 　．

17．（4分）如图，相邻两线段互相垂直，甲、乙两人同时从点A处出发到点C处，甲沿着“A→B→C”的路线走，乙沿着“A→D→E→F→C→H→C的路线走，若他们的行走速度相同，则甲、乙两人谁先到C处？　 　．

18．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，sin∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．计算：|﹣4|+（π﹣2023）0+4sin60°﹣．
20．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
21．鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

22．某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加初赛的选手共有　 　名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．

23．已知：如图所示，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，求证：四边形MFNE是平行四边形．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．

25．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，作PD∥AB交CA的延长线于点P，连接AD，BD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PAD∽△DBC；
（3）当AC＝6cm，BC＝8cm，求线段PA的长．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年湖南省株洲市攸县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据负数小于零小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【解答】解：∴，
∴最大的数是2，故A正确．
故选：A．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．5a2﹣3a2＝2 B．
C．a3÷a2＝a D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据二次根式的加减运算、整式的乘法运算、积的乘方运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：A、5a2﹣3a2＝2a2，故A不符合题意．
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意．
C、a3÷a2＝a，故C符合题意．
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意．
故选：C．
3．（4分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.25×107 B．2.5×107 C．2.5×106 D．25×105
【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．
【解答】解：根据题意：2500000＝2.5×106．
故选：C．
4．（4分）某市6月某周内每天的最高气温数据如下（单位：℃）：
24 26 29 26 29 32 29
则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．29，29 B．26，26 C．26，29 D．29，32
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列24，26，26，29，29，29，32，
在这一组数据中29是出现次数最多的，故众数是29℃．
处于中间位置的那个数是29，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是29℃；
故选：A．
5．（4分）一次函数y＝﹣x+2的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
6．（4分）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180°﹣120°＝60°，
360÷60＝6，则这个多边形是六边形．
故选：C．
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
∵解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤2，
在数轴上表示为：，
故选：C．
8．（4分）如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D，∠A＝120°，则∠DBC的度数是（　　）

A．60° B．25° C．20° D．30°
【分析】首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠ABD＝∠D＝30°；然后由平行线的性质得到∠DBC＝∠D＝30°．
【解答】解：如图，∵∠ABD＝∠D，∠A＝120°，∠ABD+∠D+∠A＝180°，
∴∠ABD＝∠D＝30°．
又∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D＝30°．
故选：D．
9．（4分）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
10．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1+y2）＞0
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
无法确定y1+y2的正负情况，
a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算﹣×＝　﹣　．
【分析】根据有理数的乘法法则计算可得．
【解答】解：﹣×＝﹣，
故答案为：﹣．
12．（4分）若关于x方程的解是x＝3，则a的值为 　4　．
【分析】将x＝3代入分式方程后解关于a的一次方程即可．
【解答】解：将x＝3代入分式方程得，
＝2，
a＝4，
故答案为：4．
13．（4分）因式分解：ab﹣b＝　b（a﹣1）　．
【分析】根据提公因式法因式分解即可．
【解答】解：ab﹣b＝b（a﹣1）．
故答案为：b（a﹣1）．
14．（4分）一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，则第5组数据的频数为 　20　．
【分析】总数减去其它四组的数据就是第5组的频数．
【解答】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，共2+8+15+5＝30，样本总数为50，故第5小组的频数是50﹣30＝20．
故答案为：20．
15．（4分）已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，则BC＝　4　cm．

【分析】根据圆周角定理，可得出∠C＝90°；在Rt△ABC中，已知了特殊角∠A的度数和AB的长，易求得BC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°；
在Rt△ACB中，∠A＝30°，AB＝8cm；
因此BC＝AB＝4cm．
16．（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为　　．

【分析】设正方形边长为x，用△ADE∽△ACB，对应边成比例列方程即可求解；
【解答】解：设正方形CDEF边长为x，则CD＝DE＝x，
由Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12可知AC＝5，AD＝5﹣x，BC＝12，
∵正方形CDEF，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，相邻两线段互相垂直，甲、乙两人同时从点A处出发到点C处，甲沿着“A→B→C”的路线走，乙沿着“A→D→E→F→C→H→C的路线走，若他们的行走速度相同，则甲、乙两人谁先到C处？　甲、乙两人同时达到　．

【分析】根据平移的性质可知；AD+EF+GH＝CB，DE+FG+HI＝AB，从而可得出问题的答案．
【解答】解：由平移的性质可知：AD+EF+GH＝CB，DE+FG+HI＝AB
∴AB+BC＝AD+EF+GH+DE+FG+HI．
∴他们的行走的路程相等．
∵他们的行走速度相同，
∴他们所用时间相同．
故答案为：甲、乙两人同时达到
18．（4分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，sin∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 　﹣24　．

【分析】易证S菱形ABCO＝2S△COD，再根据可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数解析式即可．
【解答】解：作DE∥AO交CO于点E，CF⊥AO交x轴于点F，设CF＝4x，

∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∴DE∥AO，
∴S△ADO＝S△DEO，
同理S△BCD＝S△CDE，
∵S菱形＝S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO＝2（S△DEO+S△CDE）＝2S△CDO＝40，
∵，
∴OC＝5x，
∴，
∵S菱形ABCD＝AO•CF＝20x2，
解得（负值舍去），
∴，，
∴点，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴．
故答案为：﹣24．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．计算：|﹣4|+（π﹣2023）0+4sin60°﹣．
【分析】先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：
＝
＝5．
20．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（2﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝．
21．鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝50米，可求出AM即可；
（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝100米，可求出DN，进而求出DM和CD即可．
【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，
∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50米，
（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50米，
∴AM＝2MC＝100＝BN，
答：无人机的飞行高度AM为100米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，
∴DN＝300米，
∴DM＝DN+MN＝300+50＝350（米），
∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264（米），
答：河流的宽度CD约为264米．

22．某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加初赛的选手共有　40　名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．

【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）8÷20%＝40（人），
40×25%＝10（人）．
频数分布直方图补充如下：

故答案为：40；
（2）C组对应的圆心角度数是：360°×＝108°，
E组人数占参赛选手的百分比是：×100%＝15%；
（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有4种结果，
∴抽取的两人恰好是两名女生的概率为＝．
23．已知：如图所示，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，求证：四边形MFNE是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）的结论和中点的性质可得ME＝FN，ME∥FN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CA，∠A＝∠C，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF，
又∵M、N分别是BE、DF的中点
∴，，
∴ME＝FN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠CFD＝∠FBE，
∴EB∥DF，即ME∥FN，
∴四边形MFNE是平行四边形．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．

【分析】（1）令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0即可求出点A的坐标；
（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，证明△BCM∽△BAO，利用和OA＝3进而求出CM的长，再由S△AOC＝3求出CN的长，进而求出点C坐标即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，
即ax﹣3a＝0，解得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
故答案为（3，0）．
（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：

显然，CM∥OA，
∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，
∴△BCM∽△BAO，
∴，即：，
∴CM＝1，
又
即：，
∴CN＝2，
∴C点的坐标为（1，2），
故反比例函数的k＝1×2＝2，
再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，
即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，
∴当S△AOC＝3时，a＝﹣1，k＝2．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，作PD∥AB交CA的延长线于点P，连接AD，BD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PAD∽△DBC；
（3）当AC＝6cm，BC＝8cm，求线段PA的长．

【分析】（1）圆周角定理，得到∠ACB＝90°，角平分线得到∠DCA＝∠DCB＝45°，进而得到∠AOD＝90°，根据平行线的性质，得到∠ODP＝90°，即可得证；
（2）由平行和圆周角定理可得：∠PDA＝∠DAB＝∠BCD，由圆内接四边形的性质，可得∠PAD＝∠DBC，即可得证；
（3）勾股定理求出AB，等积法求出AD•BD＝50，相似三角形的性质，得到，进行求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．

∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，
又CD平分∠ACB，
∴∠DCA＝∠DCB＝45°，
∴∠AOD＝90°，
又∵AB∥PD，
∴∠ODP＝90°，
∴OD⊥DP，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵AB∥PD，
∴∠PDA＝∠DAB＝∠BCD，
∵∠PAD＝∠DBC，
∴△PAD∽△DBC；
（3）解：在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴
∴cm．
∵S△ABD＝AD•BD＝AB•OD，
即AD•BD＝50，
∵△PAD∽△DBC，
∴，
即8PA＝AD⋅BD＝50，
∴．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）本题需先根据直线过B，C两点，求得B，C的坐标，然后根据待定系数法即可得出抛物线的解析式．
（2）把D的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形OBDC是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；
（3）本题首先判断出存在，首先设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为﹣m2+m+2，再分两种情况进行讨论：当＝＝时和当＝＝时，得出△APQ∽△BCO，△APQ∽△CBO，分别求出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，
∴B（3，0），C（0，2），
将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得．
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为2，
∴y＝﹣×22+×2+2＝2，
∴D（2，2），
∵C（0，2），
∴CD∥AB，
∴四边形OBDC是梯形，
∴S△BCD＝CD•OC＝×2×2＝2；
（2）存在．
如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为﹣m2+m+2，
AQ＝m+1，PQ＝﹣m2+m+2，
又∵∠COB＝∠PQA＝90°，
∴①当＝＝时，
△APQ∽△BCO，
即2（m+1）＝3（﹣m2+m+2）
解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去），
则P（2，2），
②当＝＝时，
△APQ∽△CBO，
即3（m+1）＝2（﹣m2+m+2），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝，
则P（，）．
故符合条件的点P的坐标为P（2，2）或（，）．