2023年湖南省株洲市醴陵市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省株洲市醴陵市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在中，，点，分别为，的中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在▱中，一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在单词数学中任意选择一个字母，字母为元音字母、、、、的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学名著九章算术中记载：“今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三问人数、价格几何？”意思是：一起去买琎琎：一种像玉的石头，每个人出两，则多两；每个人出两，则不足两问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数人，琎的价格为两，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知直线与相交于点，则关于的方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知是的一条弦，，点在上，且，若，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线是常数与轴的交点为，点与点关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量与函数值的部分对应值如表：

下列结论正确的是(    )

A. 抛物线的对称轴是直线
B. 当时，随的增大而增大
C. 将抛物线向上平移个单位后经过原点
D. 点的坐标是，点的坐标是

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  的系数是______ ．

12.  化简的结果是______．

13.  分解因式：          ．

14.  不等式的解集为______．

15.  为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了名销售员在某月的销售额单位：万元，数据如下：这组数据的众数是______ ．

16.  为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前天完成任务，则原计划每天种树的棵数是______．

17.  已知中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是______ ．

18.  如图，正方形的边长为，是对角线上一点，且，则 ______ ，是中点，在上取点，使得，交于，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
求证：；
若，，求的度数．

22.  本小题分
由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．
参考数据：，，，，，

23.  本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
 

24.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，▱的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．
求的值和点的坐标；
求▱的周长．
 

25.  本小题分
如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
求证：平分；
若，求的值；
在的条件下，且，求的面积．

26.  本小题分
已知：抛物线
当时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
设该抛物线与轴交于、，，与轴交于点，且满足，求这个抛物线的解析式；
在的条件下，是否存在着直线与抛物线交于点、，使轴平分的面积？若存在，求出，应满足的条件；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
利用平行线的性质可得结论．
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
故选：．
由题意可得是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出的长度．
本题考查了三角形中位线，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，为元音字母，出现四次，其概率为；
故选：．
总共有个字母，分别求出所求字母的个数，利用概率公式进行求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据“每个人出两，则多两；每个人出两，则不足两”列出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线和直线的图象相交于点，
，解得，
，
关于的方程的解是为，
故选：．
先把点代入直线求出的值，故可得出点坐标，再根据交点坐标进行解答即可．
本题考查的是一次函数与一元一次方程，熟知函数与方程的关系是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，如图，则，
，
，
在中，，
在中，，
即的半径为．
故选：．
过点作于点，连接，如图，根据垂径定理得到，则，再利用勾股定理计算出，然后计算出即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：当和时，，
抛物线的对称轴是直线，故A选项不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，
，
将代入得，，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意；
将抛物线向上平移个单位后的解析式为：，
令，，
即抛物线经过点，故C选项不符合题意；
时，，则点，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
点坐标，
故D选项符合题意．
故选：．
利用当和时，，得出抛物线的对称轴是直线，判断选项；根据表格求得解析式，判断选项，根据平移的规律得出解析式，判断选项，再利用时，，结合对称轴，即可得出、点坐标，判断选项．
此题主要考查了二次函数的性质，由表格数据获取信息是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的系数是，
故答案为：．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此即可得到答案．
本题考查了单项式，熟练掌握单项式的相关概念是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据算术平方根的性质直接写出结果即可．
本题考查了算术平方根的定义，算术平方根是一个正数正的平方根，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点是解题的关键．
直接利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：去括号，得，
移项，合并得
系数化为，得；
故答案为．
先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为即可．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，出现次数最多的数是，
所以众数是，
故答案为：．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，求解即可．
本题考查求众数，熟练掌握知识点是解题关键．
 

16.【答案】棵 

【解析】解：设原计划每天种树棵，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：棵．
设原计划每天种树棵，由题意得等量关系：原计划所用天数实际所用天数，根据等量关系，列出方程，再解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

17.【答案】相切 

【解析】解：中，，，，
，
，
，
与的位置关系是相切．
故答案为：相切．
根据勾股定理求得，和的半径比较即可．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，熟练掌握直线与圆的判定方法是解决问题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：四边形是边长为的正方形，
，，，
，
，
；
如图所示，过点作于，则是等腰直角三角形，
，
是的中点，
，
，
，
，，
∽，
，
设，，
，
，
，
解得或舍去，
，
，
故答案为：，．

先根据正方形的性质和勾股定理求出，再由，可得；如图所示，过点作于，则是等腰直角三角形，即可得到，求出，则，进而求出，证明∽，得到，设，，则，解方程求出，则．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确∽是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先运用乘方、绝对值化简，然后再运用有理数四则混合运算法则计算即可．
本题主要考查了乘方、绝对值、有理数四则混合运算等知识点，灵活运用有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再进行加减运算，化简后代入求值即可．
本题考查了完全平方公式和平方差公式，掌握完全平方公式和平方差公式是关键．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；

解：≌，
，，，
，

，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键．
根据平行线的性质求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质得出即可；
根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案．
 

22.【答案】解：由题意得：，，海里，
在直角三角形中，海里，
在直角三角形中，海里．
答：还需航行的距离的长为海里． 

【解析】根据题意得：，，海里，在直角三角形中，由三角函数得出海里，在直角三角形中，得出，即可得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，三角函数的应用；求出的长度是解决问题的关键．
 

23.【答案】；；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：点在上，
，
．
四边形是平行四边形，
，
点的纵坐标为，
点在上，
．
，，
，
，，
平行四边形的周长为． 

【解析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
利用待定系数法求出，再利用平行四边形的性质，推出，推出点的纵坐标为，即可解答．
求出点的坐标，得出，的长即可解决问题．
 

25.【答案】证明：连接，

是的切线，
，即，
，
，
，
，
，
，即平分；

解：是的直径，
，
，
又，
∽，
，
，，

，
在中，
；

解：，，
，
，
，
，
，
中，，
，
在中，
，
． 

【解析】连接，证明，即，可得，，证明，可得，即平分；
证明∽，可得，再求解，可得；
求解，证明，可得，则，求解，从而可得答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出过切点的半径是解本题的关键．
 

26.【答案】解：当时，得出，
抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为；

，
，，
又，
，
，
，
，
即
针对于抛物线，
令，则，
，，
，
解得舍去，．
二次函数的解析式为．

存在着直线与抛物线交于点、，使轴平分的面积，
设点的横坐标为，点的横坐标为，直线与轴交于点，
，，
，
轴平分的面积，
点、在轴异侧，
即，
由，
得
而，为的两根，
，
，
又直线与抛物线有两个交点，
，即，
当且时直线与抛物线交于点，使轴平分的面积． 

【解析】将代入抛物线解析式中，并且配方得出，即可得出结论；
先表示出，，，再用 ，建立方程化简得出，再根据根与系数的关系得出，，即可得出结论；
设点的横坐标为，点的横坐标为，直线与轴交于点，利用面积相等得出，即，
再由，得出，进而得出，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，三角形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．