2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数为负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  为了解学生课外阅读情况，某校随机抽取了一个班的名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正五边形内接于，点在弧上若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：


                                 
点、、是该抛物线上的点，则

 为任意实数
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  若分式有意义，则的取值范围是        ．

12.  写出一个比大且比小的无理数        ．

13.  因式分解：        ．

14.  某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于______．

15.  如图，在中，，点、、分别为、、的中点，若，则的长为______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______．

17.  如图，正方形的边长为，点，分别在，上，且，连接，交于点，连接，则的值为______ ．

18.  新定义：由边长为的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上，则 ______ ； ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，点是正方形的边上的动点，，且，．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌，点、、在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，且沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度：，米，米测角器的高度忽略不计
求点距水平地面的高度；
若市政规定广告牌的高度不得大于米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明．

23.  本小题分
年月日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

表中 ______ ， ______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图；
若该校共有名学生，估计在知识竞赛中取得分以上的学生大约有多少名？

24.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上的一动点过点作上轴，垂足为，交直线于点．
求与的值；
若的面积是，求此时点的坐标．

25.  本小题分
已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
求证：是的切线；
连接，求证：；
若的半径为，，求的长．

 

26.  本小题分
如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
求抛物线的表达式．
过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形与相似？并求出此时点的坐标．
如图，连接，，请问的面积能否取得最大值？若能，请求出最大面积，并求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，故A不符合题意；
B.，，故B符合题意；
C.，，故C不符合题意；
D.，，故D不符合题意；
故选：．
先化简各式，然后再进行判断即可．
本题考查了有理数的乘方，正数和负数，相反数，绝对值，熟练准确地化简各式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
先计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．
本题主要考查频率和频数，掌握频率和频数的关系是解题的关键．
【解答】
解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是个．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：去括号，得：，
移项，得：，
系数化为，得：，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为全班抽取了人，所以一共有个数据，
且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据都是，，所以这一组数据的中位数是，
这一组数据中出现次数最多的是，所以众数是．
故选：．
根据众数与中位数的定义可以直接得到答案．
本题主要考查了众数和中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，
由作法得，
，
，
，
直线，
，
．
故选：．
先利用作法得到得，则利用等腰三角形的性质得到，于是可计算出，再根据平行线的性质得到，然后根据邻补角的定义得到的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
正五边形内接于，
，
，
，
故选：．
连接，，，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解．
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，
，
正确；
抛物线的对称轴为，
，
，
正确；
抛物线的对称轴为，点在抛物线上，
点关于对称轴对称的点为
，且抛物线对称轴左边图象值随的增大而增大，
．
错误；
当时，，且，
，
，
正确；
，
方程中，
抛物线与轴只有一个交点，
图中抛物线开口向下，
，
，
即．
正确，
正确的结论有个，
故选：．
逐一分析条结论是否正确：由抛物线与轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；根据抛物线的对称轴为，即可得出，即正确；根据抛物线的对称性找出点在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出错误；由时，，即可得出，结合即可得出正确；由方程中结合，即可得出抛物线中，由此即可得出正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点，解题的关键是逐一分析条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得，解可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
一个比大且比小的无理数是：，
故答案为：答案不唯一．
根据算术平方根的意义，可知，再根据无理数的意义，即可解答．
本题考查了无理数，实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根，以及无理数的意义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式．
 

14.【答案】 

【解析】解：某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，
则这个数据的总和为：，
所以平均数为：．
故答案为：．
直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．
此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
在中，，点为的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半解答．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：与交于点，
  
设，
，
在矩形和矩形中，
，，
，
在和中，
≌，



，
，
，
；
故答案为：．
设，证明≌，根据，等量代换后得出，从而求出．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数的几何意义列出算式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是正方形，
，，
，
≌，
．
又，
，
．
，
，
、、、四点共圆，
，
．
故答案为：．
首先证明≌，再利用角的关系求得，证明、、、四点共圆，得，可得结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明．
 

18.【答案】  

【解析】解：过作于，如图：

由图可得：
，，，
，
，
，
故答案为：，．
由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过作于，用面积法可求的长，在中可得．
本题考查勾股定理，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握勾股定理，三角形面积，求锐角三角函数．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值代入运算即可．
本题考查特殊角的三角函数值的运算，以及负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即；
解：延长、交于，如图：

由知≌，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
，
的长是． 

【解析】由四边形是正方形，，可得≌，即得，有，故BE；
延长、交于，由≌可得，证明四边形是矩形，有，，得，根据勾股定理可得的长是．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理性质与应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明≌．
 

22.【答案】解：如图，过点作，，垂足分别为、，
由题意可知，，，：，米，米．
：，
，
米，
即点距水平地面的高度为米；
在中，
米，
米，
米，
，
米，
米，
在中，，米，
米，



米米，
符合要求． 

【解析】根据坡度的意义，求出，再利用直角三角形的边角关系求出答案；
在中求出，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值比较得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，直角三角形的应用坡角坡度问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：由题意得：，，，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

名，
答：估计在知识竞赛中取得分以上的学生大约有名．
由抽取的人数减去其它三个组的频数得出的值，再由频率的定义求出、即可；
由中的值，补全频数分布直方图即可；
用乘样本中分以上的学生的频率即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
，，
，
设点的横坐标为，则，
，
，
，
负数舍去，
点的横坐标为，
，
点的坐标为． 

【解析】利用正比例函数的解析式求得，然后利用待定系数法即可求得；
设点的横坐标为，则，即可求得，由，得出，解得，进而求得点的坐标为．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图中，

，，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
证明：连接，如图所示：

，
，，
，
，
∽，
，
，
；
解：连接，如图所示：

是的直径，
，
的半径为，，
，，
，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
如图中，欲证明是切线，只要证明即可；
连接，如图所示，欲证明，只要证明∽即可；
连接，如图所示，由，可得，在中，根据，计算即可．
 

26.【答案】解：将点，的坐标代入函数的表达式得：，
解得：．
抛物线的解析式为；
如图所示：

，
，
令得，
，
，
，
时，以，，为顶点的三角形与相似，
设点的坐标为．
则，，
，
解得：或，
点的坐标为或；
如图所示：连接，．

设点的坐标为则，，，
，，
，
，
当时，的面积有最大值，最大值为，此时． 

【解析】将点，的坐标代入抛物线的解析式，求得、的值即可；
先由函数解析式求得点的坐标，从而得到为等腰直角三角形，故此当时，以，，为顶点的三角形与相似．
设点的坐标为则，，接下来列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
连接设点的坐标为则，，然后依据列出的面积与的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含的式子表示相关线段的长度，然后列出的面积与的函数关系式是解题的关键．