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2023年湖南省株洲市石峰区五校联考中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南省株洲市石峰区五校联考中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若式子 x+2x−1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≥−2且x≠1B. x≠1C. x>1D. x≥−2
2.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是( )
A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和5
3.(−5)2的相反数是( )
A. −25B. 25C. −125D. 125
4.已知一元二次方程x2+kx+4=0有一个根为1，则k的值为( )
A. 4B. 5C. −4D. −5
5.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0(单位：分)，这五个有效评分的平均数和众数分别是( )
A. 9.0，8.9B. 8.9，8.9C. 9.0，9.0D. 8.9，9.0
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ABD为等边三角形，下列作法不正确的是( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”(斛：古量器名，容量单位)其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为( )
A. 5x+y=3x+5y=2B. 5x+y=2x+5y=3C. 5x+y=2x+y=3D. 5x+y=3x+y=2
8.按如图所示方式用火柴棒搭五边形，搭1个五边形需要5根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，按此规律，搭101个五边形需要根火柴棒．( )
A. 401B. 405C. 409D. 505
9.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(−1,0)，对称轴为直线x=12.则下列选项中的结论，错误的是( )
A. abc<0
B. 2a+b<0
C. 4a+2b+c<0
D. 关于x的方程ax2+bx+c=2b有两个不相等的实数根
10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：①AE=12FC；②∠PDE=15°；③S△DHCS△BHC= 33；④DE2=PF⋅FC.其中正确的为( )
A. ①②③④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②④
二、填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
11.计算：−1−|−1|= ______．
12.2x3y5−8xy因式分解的结果为______．
13.已知|3x−2|+(y−2)2=0，则x+y=______．
14.不等式组x≥1x−3<0的解集是______．
15.如图所示的折线统计图分别表示A市与B市在4月份的日平均气温的情况，记该月A市和B市日平均气温是20℃的天数分别为m天和n天，则m+n=______．
16.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2 3，则它的面积为______．
17.《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有______斛.
18.如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=120°，∠ECA=135°，那么∠A的度数是______．
19.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx(k≠0)经过AC边的中点D，若BC=6 2，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算：(−3)2+|1− 3|+3×(−4)．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：5(3a2b−ab2)−4(3a2b−ab2)，其中a和b满足：(a+1)2与|b−2|互为相反数．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE=EF，连接CF、BE、CD，且BE、CD交于点G，CF//AB．
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)若△DGE的面积为2，求平行四边形BCFD的面积．
23.(本小题8分)
2021年12月，疫情来袭，西安不得不按下暂停键，全市中小学居家观测，停课不停学．西安某学校建议同学们在家里“停课不停学”的同时也要帮助父母做一些力所能及的家务．小明随机调查了该校部分同学一月份在家做家务的总时间，设被调查的每位同学一月份在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x<6)，B(6≤x<12)，C(12≤x<18)，D(18≤x<24)，E(x≥24)，并将调查结果绘成下列两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
(1)在这次活动中被调查的学生共______人；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1350人，根据抽样调查结果，请你估计该校有多少名学生在三月份在家做家务的时间不低于18个小时．
24.(本小题10分)
随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
25.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，F在BC边上，且EF=EC，过点C作EF的垂线交BE于点G，垂足为点H，连接FG．
(1)若∠GCB=20°，求∠BEC的度数；
(2)求证：BG= 2DE；
(3)若F为BC的中点，求GHHF的值．
26.(本小题12分)
如图，开口向下的抛物线y=ax2−4ax−5a交x轴于A、B(A左B右)两点，交y轴于点C．
(1)求线段AB的长；
(2)设抛物线的顶点为D，若S△BCD=15，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，P、Q为线段BC上两点(P左Q右，P、Q不与B、C重合)，PQ=2 2，在第一象限的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：式子 x+2x−1有意义，则x+2≥0且x−1≠0，
解得：x≥−2且x≠1．
故选：A．
直接利用二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，再结合分式的分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关有意义的条件是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵1<2<4，9<10<16，
∴1< 2<2，3< 10<4，
∴在数轴上点A和点B之间的整数为2，3．
故选：B．
根据算术平方根的定义得到1< 2<2，3< 10<4，则点A和点B之间是大于1小于4的数，所以满足条件的整数为2和3．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
3.【答案】A
【解析】解：∵(−5)2=25，
∴(−5)2的相反数是−25．
故选：A．
先计算(−5)2，然后根据相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的定义，有理数的乘方，理解相反数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将x=1代入原方程得：12+k+4=0，
解得：k=−5，
∴k的值为−5．
故选：D．
将x=1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x−=9.0+9.2+9.0+8.8+9.05=9.0，
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．
本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.由作法得D点为AC的垂直平分线与BC的交点，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，则∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形，所以A选项不符合题意；
B.由作法得BA=BD，而∠B=60°，所以△ABD为等边三角形，所以B选项不符合题意；
C.由作法得D点为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，而∠B=60°，所以△ABD为等边三角形，所以C选项不符合题意；
D.由作法得AD平分∠BAC，则∠BAD=45°，所以△ABD为不是等边三角形，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用基本作图、线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定可对A选项和C选项进行判断；根据基本作图和等边三角形的判定可对B、D选项进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：5x+y=3x+5y=2．
故选：A．
根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：搭1个五边形需要5根火柴棒，即5=4+1=4×1+1，
搭2个五边形需要9根火柴棒，即9=4+4+1=4×2+1，
搭3个五边形需要13根火柴棒，即13=4×3+1，
搭4个五边形需要17根火柴棒，即17=4×4+1，
…，
搭n个五边形需要(4n+1)根火柴棒，
所以搭101个五边形需要4×101+1=405(根)火柴棒．
故选：B．
根据题意，用火柴棒搭五边形，搭1个五边形需要5根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，搭3个五边形需要13根火柴棒，搭4个五边形需要17根火柴棒……搭n个五边形需要(4n+1)根火柴棒，据此解答即可．
本题考查了数与形的排列规律知识，在探索数与形结合的规律时，要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：由图，抛物线开口向下，a<0，与y轴交于正半轴，c>0；对称轴x=12=−b2a>0，
∴b>0．
∴abc<0.A正确；
∵x=12=−b2a，
∴b=−a．
∴2a+b=2a−a=a<0；B正确；
∵2−12=32,12−(−1)=32，
∴点(−1,0)，(2,0)关于对称轴x=12对称．
∴y=a×22+b×2+c=4a+2b+c=0.C错误；
x=−1时，y=a−b+c=0，
∵b=−a
∴2a+c=0
∴c=2b．
当x=12时，ymax=14a+12b+c=−14b+12b+2b=94b>2b，
∴ax2+bx+c=2b有两个不相等的实数根．D正确；
故选：C．
同图象知a<0，由对称轴可得b=−a，结合对称轴判断出点(−1,0)，(2,0)关于对称轴x=12对称；抛物线经过(−1,0)，从而确定出c=2b，进而计算判断正误．
本题考查二次函数的图象和性质，由图象获取信息是解题的关键，需具体一定的数形结合思想．
10.【答案】A
【解析】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB=PC，∠PBC=∠PCB=60°，
∵FE//BC，
∴△FEP∽△CPB，
∴PEPB=PFPC，
∴PE=PF，
∴FC=EB，
∵∠PBC=60°，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，
∵∠ABE=30°，
∴AE=12BE，
又∵BE=FC，
∴AE=12FC，
故①正确；
∵PC=BC=CD，∠PCD=90°−60°=30°，
∴∠DPC=∠PDC=180°−30°2=75°，
∴∠PDE=∠ADC−∠PDC=90°−75°=15°，
故②正确；
∵FD//BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴DHBH=FDBC，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴S△DHCS△BHC=DHBH，
又∵DHBH=FDBC，∠FCD=90°−60°=30°，
∴DHBH=FDBC=FDDC=tan∠FCD=tan30°= 33，
∴S△DHCS△BHC= 33，
故③正确；
∵∠EPD=180°−∠EPF−∠DPC=180°−60°−75°=45°=∠ADB，∠PED=∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴PEED=EDBE，
∴ED2=PE⋅BE，
又∵PE=PF，BE=FC，
∴DE2=PF⋅FC，
故④正确，
故选：A．
由△BPC是等边三角形和相似三角形的性质，得出PE=PF，进而得到FC=EB，再根据直角三角形的性质，得到AE=12BE，而BE=CF，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出∠PDC=75°，可判定②正确；由△FDN∽△CHB，得DHBH=FDBC，由△BHC与△DHC同高，可知S△DHCS△BHC=DHBH，则判定③正确，由△PED∽△DEB，得PEED=EDBE，则ED2=PE⋅BE，可判定④正确．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：原式=−1−1
=−1+(−1)
=−(1+1)
=−2，
故答案为：−2．
利用绝对值性质及有理数的减法法则进行计算即可．
本题考查有理数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2xy(xy2+2)(xy2−2)
【解析】解：2x3y5−8xy
=2xy(x2y4−4)
=2xy(xy2+2)(xy2−2)．
故答案为：2xy(xy2+2)(xy2−2)．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
13.【答案】223
【解析】解：∵|3x−2|+(y−2)2=0，
∴3x−2=0，y−2=0，
解得：x=23，y=2，
故x+y=223．
故答案为：223．
直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
14.【答案】1≤x<3
【解析】解：解不等式组得x≥1或x<3，综合两者，可知1≤x<3．
故答案为：1≤x<3．
分别解出两个不等式，观察两者的交集，就是x的取值范围．
此题主要考查了不等式组的解法，比较简单．
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查了折线统计图，观察统计图获得m、n的值是解题关键．
根据观察折线统计图可得m、n的值，根据加法运算，可得答案．
【解答】
解：由折线统计图看出A市日平均气温是20℃的天数为2天，B市日平均气温是20℃的天数为10天，即m=2，n=10．
则m+n=12，
故答案为：12．
16.【答案】6 3
【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，OB与AC相交于点G，由对称性可知OB⊥AC，
AG=CG=12AC= 3，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=360°6=60°，
在Rt△OAG中，∠AOG=60°，AG= 3，
∴OA=AGsin60∘=2，
∴AB=OA=2，
∴S六边形ABCDEF=6× 34×22=6 3，
故答案为：6 3．
根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，锐角三角函数，掌握正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
17.【答案】22
【解析】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，由题意，得：14×2πr=8，
∴r=16π，
∴米堆的体积为：14⋅13πr2×5=3203π≈35.56，
∴米堆的斛数为：≈22；
故答案为：22．
根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
18.【答案】75°
【解析】解：∵∠DBA=120°，∠ECA=135°，
∴∠ABC=180°−120°=60°，∠ACB=180°−135°=45°，
∴∠A=180°−60°−45°=75°，
故答案为：75°．
先求出∠ABC，∠ACB，再根据三角形的内角和定理即可求解．
本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．
19.【答案】−272
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE=BE，
∴AE=12BC=3 2，
∴A(0,3 2)，C(−3 2,6 2)，
∵D是AC的中点，
∴D(−3 22,9 22)，
∴k=−3 22×9 22=−272．
故答案为：−272．
如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=3 2，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：(−3)2+|1− 3|+3×(−4)
=9+ 3−1−12
=−4+ 3．
【解析】先算乘方与绝对值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：因为(a+1)2与|b−2|互为相反数，
所以(a+1)2+|b−2|=0，
所以a+1=0，b−2=0，
所以a=−1，b=2，
所以5(3a2b−ab2)−4(3a2b−ab2)
=15a2b−5ab2−12a2b+4ab2，
=3a2b−ab2，
当a=−1，b=2时，
原式=3×(−1)2×2−(−1)×22
=3×1×2−(−1)×4
=6+4
=10．
【解析】由(a+1)2+|b−2|=0求出a、b的值，把整式去括号、合并同类项化简，代入计算即可得出答案．
本题考查了整式的加减—化简求值，非负数的性质，把整式去括号、合并同类项正确化简是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，
∵DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF(AAS)，
∴AD=CF．
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
又∵BD//CF，
∴四边形BCFD是平行四边形；
(2)解：∵四边形BCFD是平行四边形，
∴DF//BC，
∴∠EDG=∠BCG，∠DEG=∠CBG，
∴△DEG∽△CBG，
∴DEBC=DGCG=12，
∴S△CEG=2S△DEG=4，
∵DE=EF，
∴S△DCF=2S△DEC=12，
∴平行四边形BCFD的面积=2S△DCF=24．
【解析】(1)证明△AED≌△CEF(AAS)，由全等三角形的性质得出AD=CF.由平行四边形的判定可得出结论；
(2)证明△DEG∽△CBG，得出DEBC=DGCG=12，则可求出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在这次活动中被调查的学生共10÷20%=50(人)，
故答案为：50；
(2)D类别人数为50−(10+14+16+4)=6(名)，
补全图形如下：
(3)估计该校在三月份在家做家务的时间不低于18个小时的学生有1350×6+450=270(名)．
【解析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
(2)根据各类别人数之和等于总人数可得D类别人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．
24.【答案】解：(1)设该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：
2000(1+x)2=12500，
解得：x1=1.5=150%，x2=−3.5(不合题意舍去)，
答：该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
(2)设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机(100−a)架，需要成本为w元，
依据题意可得：a≤3(100−a)，
解得：a≤75，
w=200a+300(100−a)=−100a+30000，
∵−100<0，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当a=75时，w取最小值，此时100−75=25，
w=−100×75+30000=22500，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可．
(1)直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
(2)根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
25.【答案】(1)解：∵CG⊥EF，
∴∠CHF=90°，
∵∠GCB=20°，
∴∠EFC=70°，
∵EF=EC，
∴∠ECF=∠EFC=70°，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=45°，
在△BEC中，∠BEC=180°−∠BCE−∠EBC=180°−70°−45°=65°；
(2)证明：过点E作ET⊥BC于T，过点G作GR⊥BC于R．
∵∠A=∠ABT=∠BTE=90°，
∴四边形ABTE是矩形，
∵AB=AE，
∴四边形ABTE是正方形，
∴∠EBT=∠BET=45°，
∵EF=EC，ET⊥CF，
∴FT=TC，∠FET=∠CET，∠EFC=∠ECF，
∵CH⊥EF，
∴∠CHF=∠ETC=90°，
∴∠CFH+∠FCH=90°，∠CET+∠ECT=90°，
∴∠HCF=∠CET，
∵∠CEG=∠CET+∠BET=45°+∠CET，∠CGE=∠CBG+∠GCB=45°+∠GCB，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵GR⊥BC，
∴∠CRG=∠ETC=90°，
∴△CRG≌△ETC(AAS)，
∴GR=CT，
∵∠D=∠DCT=∠ETC=90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴DE=CT=GR，
∵△BRG是等腰直角三角形，
∴BG= 2GR= 2DE；
(3)解：由(2)知FC=2TC，四边形EDCT是矩形，ED=TC，
∵点F为BC的中点，
∴BF=FC，
设CT=m，则ED=GR=m，FC=BF=2m，
∴BC=AD=4m，AE=3m，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=3m，
∴CD=3m，EC=EF= 10m，
∵S△GFC=12GC⋅FH=12GR⋅FC，
∴12⋅ 10m⋅FH=12⋅m⋅2m，
∴FH= 105m，
∴GC= 105m，
由(2)知∠GCR=∠ECD，
∵∠FHC=∠D=90°，
∴△EDC∽△FHC，
∴DC：EC=HC：FC，即3m： 10m=HC：2m，
解得CH=3 105m，
∴FH=GC−CH= 10m−3 105m=2 105m，
∴GHFH=2 105m 105m=2．
【解析】(1)由直角三角形两锐角互余及等腰三角形两底角相等可得∠ECF=∠EFC=70°，再由角平分线的性质可得∠EBC的度数，最后在三角形中利用三角形内角和可得出结论；
(2)首先证明CG=CE，再证明△CRG≌△ETC(AAS)，推出GR=CT=DE，可得结论；
(3)由等腰三角形三线合一的性质可得FC=2CT，设CT=m，则ED=GR=m，FC=BF=2m，所以BC=AD=4m，AE=CD=3m，利用△GRC的面积的不同表示可得FH的长，由(2)可得△EDC∽△FHC，由比例可得CH的长，由线段的加减可得GH的长，进而可得结论．
本题主要考查矩形的性质与判定，三角形内角和，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等相关知识，设CT=m，用m表达FH和GH的长是解题关键．
26.【答案】解：(1)把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得ax2−4ax−5a=0，
∵a≠0，
∴两边同时除以a，得x2−4x−5=0，
解得x1=5，x2=−1，
∴A(−1,0)，B(5,0)，
∴AB=6；
(2)抛物线的对称轴为直线x=−−4a2a=2，
把x=2代入y=ax2−4ax−5a，
得：y=−9a，
∴D(2,−9a)，
当x=0时，y=−5a，
∴C(0,−5a)，
过点D作DE⊥y轴于点E，
S△BCD=S梯形EOBD−S△CDE−S△COB，
=12(DE+OB)⋅OE−12DE⋅CE−12OB⋅OC，
=−15a，
∵−15a=15，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5；
(3)分三种情况：
①以点P为直角顶点
∵PQ=2 2，
∴RQ= 2PQ=4，
∵C(0,5)，B(5,0)，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°，
∴RQ//OC，
可求得直线BC的解析式为y=−x+5，
设R(m,−m2+4m+5)，则Q(m,−m+5)，
则RQ=(−m2+4m+5)−(−m+5)=4，
解得m1=4，m2=1，
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R(4,5)；
②以点R为直角顶点，
∵PQ=2 2，
∴RQ= 22PQ=2，
设R(m,−m2+4m+5)则Q(m,−m+5)，
则RQ=(−m2+4m+5)−(−m+5)=2，
解得 m1=5+ 172，m2=5− 172，
∵点Q在点P右侧，
∴m=5+ 172，
∴R(5+ 172,9− 172)；
③以点Q为直角顶点，
∵PQ=2 2，
∴PR= 2PQ=4，
∵C(0,5)，B(5,0)，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RPQ=45°，
∴PR//OB，
设R(m,−m2+4m+5)，则P(m−4,−m2+4m+5)，
把P(m−4,−m2+4m+5)代入y=−x+5，得−(m−4)+5=−m2+4m+5，
解得m1=4，m2=1，
此时点P(0,5)，
因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．
综上所述：当 R(4,5)或(5+ 172,9− 172)时，△PQR为等腰直角三角形．
【解析】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，两点间的距离公式，抛物线的对称轴，面积计算，求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
(1)把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得x2−4x−5=0，解方程可以得到A(−1,0)，B(5,0)，再根据两点间的距离公式即可得到AB=6；
(2)根据对称轴得到顶点D(2,−9a)，再求出点C的坐标，过点D作DE⊥y轴于点E，根据S△BCD=S梯形EOBD−S△CDE−S△COB得到关于a的方程，求得a的值，即可得到抛物线的解析式；
(3)分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．
1.若式子 x+2x−1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≥−2且x≠1B. x≠1C. x>1D. x≥−2
2.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是( )
A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和5
3.(−5)2的相反数是( )
A. −25B. 25C. −125D. 125
4.已知一元二次方程x2+kx+4=0有一个根为1，则k的值为( )
A. 4B. 5C. −4D. −5
5.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0(单位：分)，这五个有效评分的平均数和众数分别是( )
A. 9.0，8.9B. 8.9，8.9C. 9.0，9.0D. 8.9，9.0
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ABD为等边三角形，下列作法不正确的是( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”(斛：古量器名，容量单位)其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为( )
A. 5x+y=3x+5y=2B. 5x+y=2x+5y=3C. 5x+y=2x+y=3D. 5x+y=3x+y=2
8.按如图所示方式用火柴棒搭五边形，搭1个五边形需要5根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，按此规律，搭101个五边形需要根火柴棒．( )
A. 401B. 405C. 409D. 505
9.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(−1,0)，对称轴为直线x=12.则下列选项中的结论，错误的是( )
A. abc<0
B. 2a+b<0
C. 4a+2b+c<0
D. 关于x的方程ax2+bx+c=2b有两个不相等的实数根
10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：①AE=12FC；②∠PDE=15°；③S△DHCS△BHC= 33；④DE2=PF⋅FC.其中正确的为( )
A. ①②③④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①②④
二、填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
11.计算：−1−|−1|= ______．
12.2x3y5−8xy因式分解的结果为______．
13.已知|3x−2|+(y−2)2=0，则x+y=______．
14.不等式组x≥1x−3<0的解集是______．
15.如图所示的折线统计图分别表示A市与B市在4月份的日平均气温的情况，记该月A市和B市日平均气温是20℃的天数分别为m天和n天，则m+n=______．
16.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2 3，则它的面积为______．
17.《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有______斛.
18.如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=120°，∠ECA=135°，那么∠A的度数是______．
19.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y=kx(k≠0)经过AC边的中点D，若BC=6 2，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算：(−3)2+|1− 3|+3×(−4)．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：5(3a2b−ab2)−4(3a2b−ab2)，其中a和b满足：(a+1)2与|b−2|互为相反数．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE=EF，连接CF、BE、CD，且BE、CD交于点G，CF//AB．
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)若△DGE的面积为2，求平行四边形BCFD的面积．
23.(本小题8分)
2021年12月，疫情来袭，西安不得不按下暂停键，全市中小学居家观测，停课不停学．西安某学校建议同学们在家里“停课不停学”的同时也要帮助父母做一些力所能及的家务．小明随机调查了该校部分同学一月份在家做家务的总时间，设被调查的每位同学一月份在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x<6)，B(6≤x<12)，C(12≤x<18)，D(18≤x<24)，E(x≥24)，并将调查结果绘成下列两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
(1)在这次活动中被调查的学生共______人；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1350人，根据抽样调查结果，请你估计该校有多少名学生在三月份在家做家务的时间不低于18个小时．
24.(本小题10分)
随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
25.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，F在BC边上，且EF=EC，过点C作EF的垂线交BE于点G，垂足为点H，连接FG．
(1)若∠GCB=20°，求∠BEC的度数；
(2)求证：BG= 2DE；
(3)若F为BC的中点，求GHHF的值．
26.(本小题12分)
如图，开口向下的抛物线y=ax2−4ax−5a交x轴于A、B(A左B右)两点，交y轴于点C．
(1)求线段AB的长；
(2)设抛物线的顶点为D，若S△BCD=15，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，P、Q为线段BC上两点(P左Q右，P、Q不与B、C重合)，PQ=2 2，在第一象限的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：式子 x+2x−1有意义，则x+2≥0且x−1≠0，
解得：x≥−2且x≠1．
故选：A．
直接利用二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，再结合分式的分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关有意义的条件是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵1<2<4，9<10<16，
∴1< 2<2，3< 10<4，
∴在数轴上点A和点B之间的整数为2，3．
故选：B．
根据算术平方根的定义得到1< 2<2，3< 10<4，则点A和点B之间是大于1小于4的数，所以满足条件的整数为2和3．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
3.【答案】A
【解析】解：∵(−5)2=25，
∴(−5)2的相反数是−25．
故选：A．
先计算(−5)2，然后根据相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的定义，有理数的乘方，理解相反数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将x=1代入原方程得：12+k+4=0，
解得：k=−5，
∴k的值为−5．
故选：D．
将x=1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x−=9.0+9.2+9.0+8.8+9.05=9.0，
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选出正确答案．
本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.由作法得D点为AC的垂直平分线与BC的交点，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，则∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形，所以A选项不符合题意；
B.由作法得BA=BD，而∠B=60°，所以△ABD为等边三角形，所以B选项不符合题意；
C.由作法得D点为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，而∠B=60°，所以△ABD为等边三角形，所以C选项不符合题意；
D.由作法得AD平分∠BAC，则∠BAD=45°，所以△ABD为不是等边三角形，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用基本作图、线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定可对A选项和C选项进行判断；根据基本作图和等边三角形的判定可对B、D选项进行判断．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：5x+y=3x+5y=2．
故选：A．
根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：搭1个五边形需要5根火柴棒，即5=4+1=4×1+1，
搭2个五边形需要9根火柴棒，即9=4+4+1=4×2+1，
搭3个五边形需要13根火柴棒，即13=4×3+1，
搭4个五边形需要17根火柴棒，即17=4×4+1，
…，
搭n个五边形需要(4n+1)根火柴棒，
所以搭101个五边形需要4×101+1=405(根)火柴棒．
故选：B．
根据题意，用火柴棒搭五边形，搭1个五边形需要5根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，搭3个五边形需要13根火柴棒，搭4个五边形需要17根火柴棒……搭n个五边形需要(4n+1)根火柴棒，据此解答即可．
本题考查了数与形的排列规律知识，在探索数与形结合的规律时，要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：由图，抛物线开口向下，a<0，与y轴交于正半轴，c>0；对称轴x=12=−b2a>0，
∴b>0．
∴abc<0.A正确；
∵x=12=−b2a，
∴b=−a．
∴2a+b=2a−a=a<0；B正确；
∵2−12=32,12−(−1)=32，
∴点(−1,0)，(2,0)关于对称轴x=12对称．
∴y=a×22+b×2+c=4a+2b+c=0.C错误；
x=−1时，y=a−b+c=0，
∵b=−a
∴2a+c=0
∴c=2b．
当x=12时，ymax=14a+12b+c=−14b+12b+2b=94b>2b，
∴ax2+bx+c=2b有两个不相等的实数根．D正确；
故选：C．
同图象知a<0，由对称轴可得b=−a，结合对称轴判断出点(−1,0)，(2,0)关于对称轴x=12对称；抛物线经过(−1,0)，从而确定出c=2b，进而计算判断正误．
本题考查二次函数的图象和性质，由图象获取信息是解题的关键，需具体一定的数形结合思想．
10.【答案】A
【解析】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB=PC，∠PBC=∠PCB=60°，
∵FE//BC，
∴△FEP∽△CPB，
∴PEPB=PFPC，
∴PE=PF，
∴FC=EB，
∵∠PBC=60°，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，
∵∠ABE=30°，
∴AE=12BE，
又∵BE=FC，
∴AE=12FC，
故①正确；
∵PC=BC=CD，∠PCD=90°−60°=30°，
∴∠DPC=∠PDC=180°−30°2=75°，
∴∠PDE=∠ADC−∠PDC=90°−75°=15°，
故②正确；
∵FD//BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴DHBH=FDBC，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴S△DHCS△BHC=DHBH，
又∵DHBH=FDBC，∠FCD=90°−60°=30°，
∴DHBH=FDBC=FDDC=tan∠FCD=tan30°= 33，
∴S△DHCS△BHC= 33，
故③正确；
∵∠EPD=180°−∠EPF−∠DPC=180°−60°−75°=45°=∠ADB，∠PED=∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴PEED=EDBE，
∴ED2=PE⋅BE，
又∵PE=PF，BE=FC，
∴DE2=PF⋅FC，
故④正确，
故选：A．
由△BPC是等边三角形和相似三角形的性质，得出PE=PF，进而得到FC=EB，再根据直角三角形的性质，得到AE=12BE，而BE=CF，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出∠PDC=75°，可判定②正确；由△FDN∽△CHB，得DHBH=FDBC，由△BHC与△DHC同高，可知S△DHCS△BHC=DHBH，则判定③正确，由△PED∽△DEB，得PEED=EDBE，则ED2=PE⋅BE，可判定④正确．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：原式=−1−1
=−1+(−1)
=−(1+1)
=−2，
故答案为：−2．
利用绝对值性质及有理数的减法法则进行计算即可．
本题考查有理数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2xy(xy2+2)(xy2−2)
【解析】解：2x3y5−8xy
=2xy(x2y4−4)
=2xy(xy2+2)(xy2−2)．
故答案为：2xy(xy2+2)(xy2−2)．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
13.【答案】223
【解析】解：∵|3x−2|+(y−2)2=0，
∴3x−2=0，y−2=0，
解得：x=23，y=2，
故x+y=223．
故答案为：223．
直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
14.【答案】1≤x<3
【解析】解：解不等式组得x≥1或x<3，综合两者，可知1≤x<3．
故答案为：1≤x<3．
分别解出两个不等式，观察两者的交集，就是x的取值范围．
此题主要考查了不等式组的解法，比较简单．
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查了折线统计图，观察统计图获得m、n的值是解题关键．
根据观察折线统计图可得m、n的值，根据加法运算，可得答案．
【解答】
解：由折线统计图看出A市日平均气温是20℃的天数为2天，B市日平均气温是20℃的天数为10天，即m=2，n=10．
则m+n=12，
故答案为：12．
16.【答案】6 3
【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，OB与AC相交于点G，由对称性可知OB⊥AC，
AG=CG=12AC= 3，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=360°6=60°，
在Rt△OAG中，∠AOG=60°，AG= 3，
∴OA=AGsin60∘=2，
∴AB=OA=2，
∴S六边形ABCDEF=6× 34×22=6 3，
故答案为：6 3．
根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，锐角三角函数，掌握正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
17.【答案】22
【解析】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，由题意，得：14×2πr=8，
∴r=16π，
∴米堆的体积为：14⋅13πr2×5=3203π≈35.56，
∴米堆的斛数为：≈22；
故答案为：22．
根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
18.【答案】75°
【解析】解：∵∠DBA=120°，∠ECA=135°，
∴∠ABC=180°−120°=60°，∠ACB=180°−135°=45°，
∴∠A=180°−60°−45°=75°，
故答案为：75°．
先求出∠ABC，∠ACB，再根据三角形的内角和定理即可求解．
本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．
19.【答案】−272
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，
∴CE=BE，
∴AE=12BC=3 2，
∴A(0,3 2)，C(−3 2,6 2)，
∵D是AC的中点，
∴D(−3 22,9 22)，
∴k=−3 22×9 22=−272．
故答案为：−272．
如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=3 2，得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论．
本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：(−3)2+|1− 3|+3×(−4)
=9+ 3−1−12
=−4+ 3．
【解析】先算乘方与绝对值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查了实数的综合运算能力，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：因为(a+1)2与|b−2|互为相反数，
所以(a+1)2+|b−2|=0，
所以a+1=0，b−2=0，
所以a=−1，b=2，
所以5(3a2b−ab2)−4(3a2b−ab2)
=15a2b−5ab2−12a2b+4ab2，
=3a2b−ab2，
当a=−1，b=2时，
原式=3×(−1)2×2−(−1)×22
=3×1×2−(−1)×4
=6+4
=10．
【解析】由(a+1)2+|b−2|=0求出a、b的值，把整式去括号、合并同类项化简，代入计算即可得出答案．
本题考查了整式的加减—化简求值，非负数的性质，把整式去括号、合并同类项正确化简是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，
∵DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF(AAS)，
∴AD=CF．
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
又∵BD//CF，
∴四边形BCFD是平行四边形；
(2)解：∵四边形BCFD是平行四边形，
∴DF//BC，
∴∠EDG=∠BCG，∠DEG=∠CBG，
∴△DEG∽△CBG，
∴DEBC=DGCG=12，
∴S△CEG=2S△DEG=4，
∵DE=EF，
∴S△DCF=2S△DEC=12，
∴平行四边形BCFD的面积=2S△DCF=24．
【解析】(1)证明△AED≌△CEF(AAS)，由全等三角形的性质得出AD=CF.由平行四边形的判定可得出结论；
(2)证明△DEG∽△CBG，得出DEBC=DGCG=12，则可求出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在这次活动中被调查的学生共10÷20%=50(人)，
故答案为：50；
(2)D类别人数为50−(10+14+16+4)=6(名)，
补全图形如下：
(3)估计该校在三月份在家做家务的时间不低于18个小时的学生有1350×6+450=270(名)．
【解析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
(2)根据各类别人数之和等于总人数可得D类别人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握频数分布直方图．
24.【答案】解：(1)设该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：
2000(1+x)2=12500，
解得：x1=1.5=150%，x2=−3.5(不合题意舍去)，
答：该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
(2)设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机(100−a)架，需要成本为w元，
依据题意可得：a≤3(100−a)，
解得：a≤75，
w=200a+300(100−a)=−100a+30000，
∵−100<0，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当a=75时，w取最小值，此时100−75=25，
w=−100×75+30000=22500，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可．
(1)直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
(2)根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
25.【答案】(1)解：∵CG⊥EF，
∴∠CHF=90°，
∵∠GCB=20°，
∴∠EFC=70°，
∵EF=EC，
∴∠ECF=∠EFC=70°，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=45°，
在△BEC中，∠BEC=180°−∠BCE−∠EBC=180°−70°−45°=65°；
(2)证明：过点E作ET⊥BC于T，过点G作GR⊥BC于R．
∵∠A=∠ABT=∠BTE=90°，
∴四边形ABTE是矩形，
∵AB=AE，
∴四边形ABTE是正方形，
∴∠EBT=∠BET=45°，
∵EF=EC，ET⊥CF，
∴FT=TC，∠FET=∠CET，∠EFC=∠ECF，
∵CH⊥EF，
∴∠CHF=∠ETC=90°，
∴∠CFH+∠FCH=90°，∠CET+∠ECT=90°，
∴∠HCF=∠CET，
∵∠CEG=∠CET+∠BET=45°+∠CET，∠CGE=∠CBG+∠GCB=45°+∠GCB，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∵GR⊥BC，
∴∠CRG=∠ETC=90°，
∴△CRG≌△ETC(AAS)，
∴GR=CT，
∵∠D=∠DCT=∠ETC=90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴DE=CT=GR，
∵△BRG是等腰直角三角形，
∴BG= 2GR= 2DE；
(3)解：由(2)知FC=2TC，四边形EDCT是矩形，ED=TC，
∵点F为BC的中点，
∴BF=FC，
设CT=m，则ED=GR=m，FC=BF=2m，
∴BC=AD=4m，AE=3m，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=3m，
∴CD=3m，EC=EF= 10m，
∵S△GFC=12GC⋅FH=12GR⋅FC，
∴12⋅ 10m⋅FH=12⋅m⋅2m，
∴FH= 105m，
∴GC= 105m，
由(2)知∠GCR=∠ECD，
∵∠FHC=∠D=90°，
∴△EDC∽△FHC，
∴DC：EC=HC：FC，即3m： 10m=HC：2m，
解得CH=3 105m，
∴FH=GC−CH= 10m−3 105m=2 105m，
∴GHFH=2 105m 105m=2．
【解析】(1)由直角三角形两锐角互余及等腰三角形两底角相等可得∠ECF=∠EFC=70°，再由角平分线的性质可得∠EBC的度数，最后在三角形中利用三角形内角和可得出结论；
(2)首先证明CG=CE，再证明△CRG≌△ETC(AAS)，推出GR=CT=DE，可得结论；
(3)由等腰三角形三线合一的性质可得FC=2CT，设CT=m，则ED=GR=m，FC=BF=2m，所以BC=AD=4m，AE=CD=3m，利用△GRC的面积的不同表示可得FH的长，由(2)可得△EDC∽△FHC，由比例可得CH的长，由线段的加减可得GH的长，进而可得结论．
本题主要考查矩形的性质与判定，三角形内角和，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等相关知识，设CT=m，用m表达FH和GH的长是解题关键．
26.【答案】解：(1)把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得ax2−4ax−5a=0，
∵a≠0，
∴两边同时除以a，得x2−4x−5=0，
解得x1=5，x2=−1，
∴A(−1,0)，B(5,0)，
∴AB=6；
(2)抛物线的对称轴为直线x=−−4a2a=2，
把x=2代入y=ax2−4ax−5a，
得：y=−9a，
∴D(2,−9a)，
当x=0时，y=−5a，
∴C(0,−5a)，
过点D作DE⊥y轴于点E，
S△BCD=S梯形EOBD−S△CDE−S△COB，
=12(DE+OB)⋅OE−12DE⋅CE−12OB⋅OC，
=−15a，
∵−15a=15，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5；
(3)分三种情况：
①以点P为直角顶点
∵PQ=2 2，
∴RQ= 2PQ=4，
∵C(0,5)，B(5,0)，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°，
∴RQ//OC，
可求得直线BC的解析式为y=−x+5，
设R(m,−m2+4m+5)，则Q(m,−m+5)，
则RQ=(−m2+4m+5)−(−m+5)=4，
解得m1=4，m2=1，
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R(4,5)；
②以点R为直角顶点，
∵PQ=2 2，
∴RQ= 22PQ=2，
设R(m,−m2+4m+5)则Q(m,−m+5)，
则RQ=(−m2+4m+5)−(−m+5)=2，
解得 m1=5+ 172，m2=5− 172，
∵点Q在点P右侧，
∴m=5+ 172，
∴R(5+ 172,9− 172)；
③以点Q为直角顶点，
∵PQ=2 2，
∴PR= 2PQ=4，
∵C(0,5)，B(5,0)，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RPQ=45°，
∴PR//OB，
设R(m,−m2+4m+5)，则P(m−4,−m2+4m+5)，
把P(m−4,−m2+4m+5)代入y=−x+5，得−(m−4)+5=−m2+4m+5，
解得m1=4，m2=1，
此时点P(0,5)，
因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．
综上所述：当 R(4,5)或(5+ 172,9− 172)时，△PQR为等腰直角三角形．
【解析】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，两点间的距离公式，抛物线的对称轴，面积计算，求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
(1)把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得x2−4x−5=0，解方程可以得到A(−1,0)，B(5,0)，再根据两点间的距离公式即可得到AB=6；
(2)根据对称轴得到顶点D(2,−9a)，再求出点C的坐标，过点D作DE⊥y轴于点E，根据S△BCD=S梯形EOBD−S△CDE−S△COB得到关于a的方程，求得a的值，即可得到抛物线的解析式；
(3)分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．
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