安徽省定远中学2023届高三下学期4月第三次检测数学试卷（含答案）

安徽省定远中学2023届高三下学期4月第三次检测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7,则展开式中的的系数最小为(   )

A.8 B.9 C.10 D.11

3、某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，四居室住户占.如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是(   )

A.

B.被调查的所有市民中四居室住户共有150户

C.用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户

D.用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户

4、数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于(   )

A.2023 B.2024 C.2025 D.2026

5、中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？(结果精确到0.1，参考数据,(   )

A. B. C. D.

6、已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、已知函数，，若存在，，使得，则(   )

A.  B.

C. D.

8、定义在R上的偶函数，对任意的,，都有，，则不等式的解集是(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、已知复数，，则下列结论正确的是(   )

A.

B.若，则

C.若，则，中至少有1个是0

D.若且，则

10、已知定义在R上的奇函数对任意的有，当时，函数，则下列结论正确的是(   )

A.函数是周期为4的函数

B.函数在区间上单调递减

C.当时，方程在R上有2个不同的实数根

D.若方程在R上有4个不同的实数根，则

11、数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转得到如图所示的十面体已知，，则(   )

A.十面体的上、下底面之间的距离是

B.十面体的表面积是

C.十面体外接球球心到平ABE面的距离是

D.十面体外接球的表面积是

12、已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，时，，则下列结论正确的是(   )

A.的周期为4

B.

C.在上为单调递减函数

D.方程有且仅有四个不同的解

三、填空题

13、中国书法一般分为篆书、隶书、行书、楷书和草书这种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草、今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷．为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书、隶书和草书种字体书写个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草、今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写．将这个福字排成一排，要求相同类型字体的福字不能相邻，则不同的排法种数为______．

14、著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为____________．

15、已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______．

16、如图所示，设正三角形边长为a，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和，求__________．

四、解答题

17、已知数列满足，且，且，，成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

18、设函数，若锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为R，．

(1)若，求B;

(2)求的取值范围．

19、2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复帮扶旅游业发展围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013～2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第i年的年份代号和国内游客人数(单位：百万人次)，得到下面的表格与散点图．

(1)2020年～2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型；

(2)2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，．

20、已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点A．

(1)过点F的直线l交C于P，Q两点，且，求直线l的方程；

(2)作直线AM，FM相交于点M，且直线AM的斜率与直线FM的斜率的差是，求点M的轨迹方程，并说明方程表示什么形状的曲线．

21、如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，，，，平面平面PBD，M为线段PB上的一点．

(1)证明：平面ABCD；

(2)当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值．

22、已知函数，．

(1)判断的零点个数，并说明理由；

(2)若对任意的，总存在，使得成立，求a的取值范围．

参考答案

1、答案：A

解析：集合，或，

又，

．

故选A：．

2、答案：B

解析：m，n是正整数，的展开式中x的系数为．

展开式中的的系数为，

把代入上式得，的系数为，

故当或时，的系数有最小值为9．

故选：B．

3、答案：D

解析：因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，

所占比例为，

所以，

四居室住户有户，三居室住户有户，故A，B正确；

用分层抽样的方法抽取的二居室住户有户，故C正确；

用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有户，故D错误．

故选：D．

4、答案：D

解析：因为，

所以，

设，则，

所以为2的整数次幂，

因为，

所以，

故满足条件的，8，16，32，64，128，256，512，1024，

故则区间内的所有期盼数的和为．

故选：D．

5、答案：B

解析：由题意可得方程组：，

化简可得：，所以；大约需要放置能达到最佳饮用口感．

6、答案：D

解析：，

设E、F的中点为D，在半径为2的圆C中，，得，，

，

即，

当与反向共线时，取得最小值1；

当与同向共线时，取得最大值13；

即的取值范围是；

7、答案：D

解析：令，

则，

所以在上单调递增，，故，故A错误；

由题意得，

所以，

因为，，所以，，

令，则，且在上恒成立，

所以在上单调递增，故，

所以，即，

故，故B错误．

又，

所以，所以，即，

所以，C错误，D正确．

故选：D．

8、答案：A

解析：对任意，，

都有，

可得在上单调递减，

由函数是定义在R上的偶函数，

可得在上单调递增，

且，

由可得，

时，，即，可得，

时，即，可得．

综上可得所求不等式的解集为，

故选A．

9、答案：ACD

解析：设，，，，，，

，

，A正确；

复数不能比较大小，B错误；

，则，

b，c，d都不等于0时，得出，显然不成立，

b，c，d至少一个为0，若，则至少，，也可得出，C正确；

，，

，，，a，b中至少一个不为0，不妨设，则，代入并整理得，，，，D正确．

故选：ACD．

10、答案：ABC

解析：对于A，，，

是周期为4的函数，A正确；

对于B，时，，

函数在区间上单调递减，B正确；

对于C，函数是R上的奇函数，

，又，

，的图象关于直线对称，

时，当时，，

当时，，，

函数在上单调递增，在上单调递减，，

函数在R上的值域为，

当时，，当时，，

方程在上无解，

当时，令，，

当时有，在上递增，

当时，，函数在上有唯一零点，

当时，令，显然函数在上单调递减，

又，，函数在上有唯一零点，

当时，，即方程在上无解，

当时，方程在R上有2个不同的实数根，C正确；

对于D，函数在上单调递增，在上单调递减，

又，而函数的周期为4，

，，，

由选项C知，当时，，

即方程在上有一个根，当时，，

函数在上单调递减，，，

即方程在上有一个根，

显然函数在上单调递增，在上单调递减，当，即时，

方程在上有两个根，要方程在上有个不同的实数根，

必有，即，又，

因此当时，方程在上无解，

所以方程在R上有4个不同的实数根，，D错误．

故选：ABC．

11、答案：ABD

解析：如图，补全长方体，

对于A，由题中数据可知，

则，故A正确；

对于B，因为，，

所以的面积，

则十面体的表面积，故B正确；

对于D，因为十面体由长方体的上底面绕着其中心旋转得到，

所以长方体的外接球就是十面体的外接球，

设十面体外接球的半径为R，则，

则十面体外接球的表面积是，故D正确；

对于C，因为，，

所以，

设外接圆的半径为r，

由正弦定理得，

则十面体外接球球心到平面ABE的距离是

，故C错误．

故选ABD．

12、答案：BCD

解析：因为为奇函数，故关于点对称，

由为偶函数，可知关于直线对称，故的周期为，故A错；

结合时，，作出在一个周期内的图象：

，故B对；

结合在下一个周期上图象可知，在上是减函数，故C对；

方程的根，即为与的图象的交点横坐标，作出与的图象，是减函数，且时，；时，；时，，

故它们交与四个不同的点，故方程有且仅有四个不同的解，D对．

故选：BCD．

13、答案：120

解析：①先排三张草书字体的福字有，再在中间两空位插入隶书字体的福字胡，

最后再插入楷书字体的福字有，由分步计数原理有，

②先排三张草书字体的福字有，再在最前面和前两个福字中插入隶书字体的福字胡，最后再插入楷书字体的福字有1种，

先排三张草书字体的福字有，再在最后和后两个福字中插入隶书字体的福字胡，最后再插入楷书字体的福字有1种，共有．

③先排三张草书字体的福字有，再在最前面和后两个福字中插入隶书字体的福字胡，最后再插入楷书字体的福字有1种，

先排三张草书字体的福字有，再在最后和前两个福字中插入隶书字体的福字胡，最后再插入楷书字体的福字有1种，共有．

所以共有．

14、答案：

解析：根据题意，设椭圆C的焦距为，实轴长为，

所以地球轨道与太阳中心的最远距离为，最近距离为，

因为地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，

则，解得，

所以，

则C的离心率为．

故答案为：．

15、答案：

解析：因为为奇函数，所以，

所以，即，

当时，，

，故切点为．

又时，，．

所以在点处切线为：，即．

故答案为：．

16、答案：

解析：解：由题意可知；

；

；

；

；

；

故答案为：．

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)在数列中，由得，

而，则数列是公比为2的等比数列，

因为，，成等差数列，即，有，解得，

所以数列的通项公式为．

(2)由(1)得，有，即数列是等差数列，

所以数列的前n项和．

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意

得．

又根据正弦定理，有，，，

由，有，得，

因为A，，所以，．

(2)由(1)知，，所以，

因为，所以

则

，

，有，所以，

所以的取值范围为．

19、答案：

(2)7825

解析：(1)，，

，

，

，

国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型为；

(2)在中，取，可得．

即预测2027年国内游客人数为7825百万人次．

20、答案：(1)

(2)，

解析：(1)由抛物线的方程可得：焦点，，

由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，

设，，

联立，整理可得：，

显然，，，

由抛物线的性质可得，

可得，解得；

所以直线l的方程为，即；

(2)设，，，

可得，，

由题意可得，整理可得：，，所以点M的轨迹方程为：，．

21、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：连接PO，过点A作PO的垂线，垂足为H，

平面平面PBD，且交线为PO，

平面PBD，

又平面PBD，

，

又四边形ABCD为菱形，

，又，AC，平面PAC，

平面PAC，

又平面PAC，

，

又，，AC，平面ABCD，

平面ABCD．

(2)连接MH，由知为AM与平面PBD所成的角，

，

因为AH为定值，且，

所以当点M为PB的中点时AM取得最小值，此时取最大值，

如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

易知平面ABCD的一个法向量为．

设平面AMC的法向量，

则，则可取，

设平面AMC与平面ABCD的夹角为，

则，

所以AM当与平面PBD所成的角的正弦值最大时，

平面AMC与平面ABCD夹角的余弦值为．

22、答案：(1)的零点个数为0个

(2)

解析：(1)函数，，可得，令，解得，

时，，函数是增函数，时，，函数是减函数，

所以函数取得极大值，

，

的零点个数为0个．

(2)对任意的，函数是减函数，，，

，可得，令，解得，(舍去，)，

当时，，函数是增函数，，恒成立，

对任意的，总存在，使得成立，

可得，解得．

a的取值范围：．