安徽省定远中学2023届高三下学期6月考前适应性检测数学试卷

2023届高三6月考前适应性检测数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的最大值为 (    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知中，，设点，满足，，若，则(    )

A.   B.  C. 或 D. 或

4.  为弘扬社会主义核心价值观，传承中华优秀文化，某县举行“诵读经典，相约论语”的诵读活动某校初步推选出甲乙名教师和名学生共名朗诵爱好者，并从中随机选取名组成学校代表队参加汇报演出，则代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率为

A.   B.  C.  D.

5.  已知函数，其中，若，对任意的都有，且在上单调，则下列说法错误的是 (    )

A.       关于对称 B.
C. 一定是奇数 D. 有两个不同的值

6.  打羽毛球是全民皆宜的运动标准的羽毛球由根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，若把球托之外由羽毛围成的部分看成一个圆台的侧面，又测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，则这个圆台的体积约是单位：(    )

注：本题运算时取，取，运算最后结果精确到整数位．

A.  B.  C.  D.

7.  椭圆：经过点，点是椭圆的右焦点，点到左顶点的距离和到右准线的距离相等，过点的直线交椭圆于两点点位于轴下方，且，则直线的斜率为 (    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的图象关于对称，，且在上恰有个极大值点，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题正确的是(    )

A. 对于事件，，若，且，，则
B. 若随机变量∽，，则
C. 相关系数的绝对值越接近，两个随机变量的线性相关程度越强
D. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好

10.  在平面直角坐标系中，已知圆：，点，，点，为圆上的两个动点，则下列说法正确的是(    )

A. 圆关于直线对称的圆的方程为
B. 分别过，两点所作的圆的切线长相等
C. 若点满足，则弦的中点的轨迹方程为
D. 若四边形为平行四边形，则四边形的面积最小值为

11.  已知函数，若对满足的，，且的最小值为，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 若函数为偶函数，则
C. 方程在上有个相异的实数根
D. 若函数在上的最小值为一，则

12.  图中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”将其推广到空间，如图类似地以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体便称为“勒洛四面体”则下列结论正确的是 (    )

A. 若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为
B. 若正三角形的边长为，勒洛三角形的面积比其中间正三角形的面积大
C. 若正四面体的棱长为，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
D. 若正四面体的棱长为，勒洛四面体表面上交线的长度小于

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，          ．

14.  已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数          ．

15.  过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，作，垂直于直线，垂足分别为，记的面积分别为，则的最小值为____________

16.  冰雹猜想是指：一个正整数，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题已知正整数列满足递推式请写出一个满足条件的首项，使得，而 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

数列前项和为，且；数列满足，．

求数列，的通项公式；   

求数列的前项和．

18.  本小题分

在中，角，，所对的边分别是，，，．

求；

若是边上一点，且满足，，求的最小值．

19.  本小题分
如图，圆锥的高为，是底面圆的直径，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点是母线上一动点．

证明：平面平面

若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
 

20.  本小题分

年月日，文化和旅游部公布年“五一”假期文化和旅游市场情况，全国国内旅游出游合计亿人次，同比增长某市为了解游客对本地某旅游景区的总体满意度，随机抽取了该景区名游客进行调查．

请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意与“游客来源地”有关联？

若将频率视为概率，设随机抽取的位游客中来自外省且对该景区满意的人数为随机变量，求的数学期望．

市政府使用综合满意率其中表示外省游客满意率，本省游客满意率，表示整体满意率来认定星级景区，综合满意率可认定为五星级景区，综合满意率可认定为四星级景区，综合满意率为三星级景区，综合满意率为不定星级景区，请利用样本数据，判断该景区属于什么级别景区．

附：，

其中．

21.  本小题分
已知双曲线的离心率为，且双曲线经过点．
求双曲线的方程；
设是直线上任意一点，过点作双曲线的两条切线，，切点分别为，，试判断直线是否过定点若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；

若在有两个极值点，求证：．

答案和解析

1.答案： 

解析：因为，

所以，

故选B．

2.答案： 

解析：设，则，
则，
，
复数在复平面内对应的点在圆上，
圆的圆心，半径，
则的最大值为，其中为复平面的坐标原点．故选D．

3.答案： 

解析：，，

，

即，

解得：或．故选D．

4.答案： 

解析：记“代表队中既有教师又有学生”为事件，
“教师甲被选中”为事件，
则，，
所以，
故选C．

5.答案： 

解析：对于函数，由知关于对称， A正确；

设为的最小正周期，

又，对任意的都有，

则，，

故，从而；

又由在上单调知，
即，也即，故或；故 C，均正确；
由有两个值知对应也有两个值，选项 B错误；
故选B．

6.答案： 

解析：分析题意可知，圆台的上底面面积，下底面面积，
高，
所以
．故选：．

7.答案： 

解析：设椭圆：的焦距为，由题意知，
由点到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得，
又 ，联立，解得，
椭圆的标准方程为，

由题意可知直线的斜率一定存在，，
由于，点位于轴下方，可知直线的斜率，
设直线的方程为 ，设 ，
联立  ，可得将，，
则，
由，得，即，联立，
解得，代入中，
即，
解得，舍去．故选C．

8.答案： 

解析：由题知，，，，
所以，，
所以，，
所以是奇数，
令，，则，
又，函数有三个极大值点，
所以，
因为为奇数，所以，，，．故选C．

9.答案： 

解析：对于：因为，故A，所以，
所以，故A正确；
对于：，故，故B错误；
对于：相关系数，的绝对值越接近，两个随机变量的线性相关程度越强，故C正确；
对于：残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，即回归效果越好，故D错误．

10.答案： 

解析：对于：，直线的方程为，
设圆的圆心为，
则，解得，圆的方程为，故A正确；
对于：显然，两点到圆心的距离不相等，故切线长不相等，故B错误；
对于：设点，，且在圆内部，，
又为弦的中点，，则由圆的性质与勾股定理，得，
，整理得，即，故C错误；
对于：圆心，半径为，，是平行四边形，
，，
可设直线的方程为，则圆心到直线的距离，
则，得，
解得或，直线的方程为或，
当取时，四边形的面积最小，最小值为，故D正确．
故选：．
求得直线的方程，设圆的圆心为，可得，求解可得对称圆的方程判断；，两点到圆心的距离不相等，可判断；设点，由已知可得，进而可得，可得可得圆的方程判断；由已知可得是平行四边形，进而可求直线的方程判断．
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，轨迹方程的求法，属中档题．
 

11.答案： 

解析：，且的最小值为，

，，，故A正确

，为偶函数，，，，，故B正确

，，，，
方程在上有个相异的实数根，故C错误

，，，，故D正确．

12.答案： 

解析：如图：，以为圆心的扇形面积是，的面积是，

勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积，即A正确；

对于设圆半径为，如图，

易得的面积为，

阴影部分面积为，B正确；

根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，

设点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，
 

所以，由四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心，半径为，

连接，则，，三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径，

由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出，

所以正四面体的外接球的半径为棱长的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，

所以，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；C正确；

选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，

故，又，

由余弦定理得：

故，且半径为，故交线的长度大于， D错误；

故选ABC

13.答案： 

解析：当时，，因为函数是定义在上的奇函数，故．

故答案为：．

14.答案： 

解析：依题意设曲线与在公共点处的切线相同．
又，，
即
，，．

15.答案：  

解析：设，，由得，

所以切线，切线，

则有，，

由两式相减得，即点为点的中点，

设直角梯形的面积为，

则，

所以，于是

当且仅当时，取等号，

所以，的最小值为 

16.答案：或 

解析：因为，
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；
所以若为偶数，则，若为奇数，则；故或；
余下推导用图表示可得：．
故答案为：或写出一个即可．
17.答案：由，得，．
又，，
两式相减，得，即．
，
数列是首项为，公比为的等比数列．
．
由，得，
又，数列是首项为，公差为的等差数列．
．
；

，
，
．
两式相减，得
．
．

18.答案：，由正弦定理可得，而由知，故，又，所以；

由题意可知，，

化简得，

又，

从而，当且仅当时等号成立，故，因此的最小值为 ．

19.答案：证明：连接，由题意知四边形为菱形，故，
因为，，所以，

因为， ，所以 ，又，故平面平面；

以为原点，的中垂线为轴，为轴，为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

设，则，于是，

，

设平面的法向量为，则

令，得，，则

设平面的法向量为，则

令，，则，

从而，解得，

此时二面角的余弦值为满足题意．

从而 ．

20.答案：零假设为：“是否满意与“游客来源地”无关联．

由列联表可知的观测值

，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

即认为“是否满意与“游客来源地”有关联，此推断犯错误的概率不大于．

选取名旅客来自外省且对该景区满意的概率为，

随机变量的所有可能取值为，，，，，

则．

综合满意率，所以该景区为不定星级景区．

21.答案：因为双曲线的离心率为，
所以，即，
所以双曲线的方程为，
把点的坐标代入双曲线的方程，得，
解得，所以，
双曲线的方程为；
设，：，
联立，得，
由，可得，
即，
因为，
所以，
整理得，，
故：，即，
同理：，
又在，上，
所以，
故A，的直线方程为，
令可得，
故直线过定点． 

22.答案：的定义域为，
，
若，即，
则，，从而，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，即或，
则令，得，
解得或，
所以的单调递增区间为，，
令，得，
解得，
可得的单调递减区间为
证明：因为在有两个极值点，，
所以关于的方程即在有两不同的解，，
令，
则，即，解得，
又因为，是在的两不同的解，
所以，，且，其中，，
所以，
故
，
令，
则，
当时，，
所以单调递减，
故．