2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形

这是一份2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形，共50页。试卷主要包含了已知，如图，抛物线经过点A等内容，欢迎下载使用。
中考专题训练——二次函数与特殊的三角形
1．如图，已知点A的坐标为，直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接，顶点为D的抛物线过A，B，C三点．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设点M是线段上的一动点，过点M作，交于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点A运动，运动时间为t（秒）．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．
2．已知：二次函数的图象与x轴交于点A、，顶点为

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，过A、C两点作直线，并将线段沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处，若点F在这个二次函数的图象上，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标
3．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点是二次函数图象上一动点，交其对称轴于点，点关于点成中心对称，连接．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点在二次函数图象上运动，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E．

(1)写出点A，点B的坐标；
(2)直线上是否存在一点F，使得是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．

(1)求b，c的值．
(2)点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线，交BC于点D，连接PB，设，的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．
6．如图，抛物线与x轴交于和点，与y轴交于点C，连接．点D是第二象限抛物线上的动点，过点D作的平行线l，交于点E，交x轴于点F，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，直线l上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线经过点A（0，3），B（－1，0）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，是否存在点D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接， ，是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为交于点，过点作交轴于点，交于点．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）求面积的最大值；
（3）① 试探究在点的运动过程中，是否存在这样的点，使得以 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
② 请直接写出当等腰直角三角形时，点的坐标 ．

10．如图1，抛物线y＝-x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．

(1)求直线AE的解析式；
(2)点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，求出此时点F的坐标；
(3)如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．
11．已知二次函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点A，且与二次函数图像的另一个交点为点B．

（1）用含有字母b代数式表示点B的坐标．
（2）点M的坐标为（－2，0），过点M作x轴的垂线交抛物线于点C．
①当x＜－2时，y1＜y2，求b的取值范围；
②若△ABC是直角三角形，求b的值．

12．如图，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，抛物线经过两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作轴于点，交线段于点，使．
①求点的坐标和的面积；
②在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，抛物线过两点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为对称轴上一点，若，求M到AN的距离．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线y＝a(x+1)2﹣4a(a＜0)与x轴交于点A、B(A在B的左侧)，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，连接BD交抛物线的对称轴于点E，连接BC、CE．
(1)抛物线顶点坐标为______(用含a的代数式表示)，A点坐标为______，
(2)当△DCE的面积为时，求a的值；
(3)当△BCE为直角三角形时，求抛物线的解析式．

15．如图，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上有一动点P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此时抛物线的解析式及点P的坐标；
（3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

17．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）．
（1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；
（3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、

（1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标
（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线.点P是上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围
（3）在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．

（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC，∠CBE=β,求的值.
20．如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标（A，B，C三点的坐标只需写出答案），并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)，D的坐标为（，）
(2)t的值为或

【分析】(1)根据直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，确定两点的坐标，代入解析式求解即可．
(2)设M点的坐标为，确定直线的解析式，分，两种情况求解即可．
【解析】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，
∴B点的坐标为，C点的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴
∴抛物线解析式为，
∵D是抛物线的顶点，
∴D的坐标为．
（2）设M点的坐标为如图所示，
当时，
∵，
∴，，点N的纵坐标为，点Q的坐标为

设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴N点坐标为，
∴，
又∵为直角边的是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴，
∴；
当时，设N点坐标为，同理可得Q点坐标为，M坐标为，

∴，
，同理得，
∴，
∴，
∴Q点坐标为，
∴；
综上所述，当为直角边的是等腰直角三角形时，t的值为或．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质，一次函数的解析式及其性质．
2．(1)
(2)

【分析】（1）由二次函数的顶点为，可设其解析式为，再把代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（2）由二次函数的解析式求出．过点C作轴于点H．解直角，得出，那么，．解等腰直角得出，，由，得到轴．利用待定系数法求出直线的解析式为．设（其中），则点，那么，解方程求出m，进而得出点F的坐标；
【解析】（1）∵二次函数的顶点为，
可设该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，
该二次函数的解析式为，化为一般式为；
（2）由，得或1，
．
如图，过点C作轴于点H．

，
，，
又，
，
，．
在等腰直角中，，，
，，
，
∴轴．
∵直线过，两点，设直线的解析式为．
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
由题意，设（其中），则点，
，
，（不合题意舍去），
点的坐标为
【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与一元二次方程等知识，关键是灵活运用这些知识．
3．(1)
(2)

【分析】（1）先利用顶点坐标设出其顶点解析式，再将A点坐标代入解析式中求出二次项系数即可得到答案；
（2）分别设出点，可得点的坐标为，再用t表示出，然后分当时，当时，求出t的值后，再利用勾股定理的逆定理判新其是否是直角三角形，通过作辅助线利用三角形全等的判定与性质得到对应线段相等，求出t的值后排除以点B为直角顶点的等腰直角三角形的情况，最后即可完成求解．
【解析】（1）解：∵二次函数的顶点的坐标为，
∴设二次函数的关系式为，
∵二次函数图象经过点，
∴，
∴，
∴，即 ；
（2）解： 设点，
设直线的解析式为，则
∴
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵点关于点成中心对称，
∴点的坐标为，
∴，，；
当时，，
∴或（此时B点位于顶点处，B点与E点重合，与题意不符，故舍去），
∴；
此时，，
∴；
∴此时为等腰直角三角形，
∴，
其在图中的位置如下图1和图2所示；

当时，
，
∴，
∴，
∴，
此时，，
∵，
∴该情况不成立；
当B点在对称轴右侧且是以点B为顶点的等腰直角三角形时，如图3所示，
过B点作轴，垂足为M，过E点作轴，与直线交于点N，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴或6，且，（相互矛盾）
∴该情况不成立；
当B点在对称轴左侧时同理可证不存在以B点为顶点的等腰直角；
综上可得：．

【点评】本题属于几何中的动点问题，涉及到了一次函数、二次函数、等腰直角三角形、勾股定理、等相关知识，考查了学生对相关知识的理解与应用；本题综合性较强，要求学生有严密的逻辑思维和全面的分析能力，蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
4．(1)A、B两点的坐标分别为和
(2)存在，或或3或

【分析】（1）当y=0时，有，解方程即可求得A、B两点的坐标；
（2）分三种情况讨论：当时；当时；当时；对三种情况，分别作适当的辅助线，构造全等三角形，由全等三角形的性质及相关已知即可求得m的值．
【解析】（1）解：当y=0时，有，
解之得：，
∴   A、B两点的坐标分别为和．
（2）解：存在．
对于，令，则，
∴；
①当时，如图1，
                                          
过点F作轴于G，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴，
若点F在的下方，则，
∴或．
②当时，如图2，

过点F作轴于P，
∴．
∵，   
∴ ．
∴，
∴．
∴；
若F点在下方，则，
∴或．
③当时，如图3，

则F点一定在的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于M，G，N，H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴ 四边形为正方形．
∴．
∴．
∴，
∴
∵，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴ 四边形为正方形．
∴


．
∴．
∴．
∵，
∴ y的最大值为．
∵ 直线l与抛物线有两个交点，
∴，
∴ m可取值为或或3或．
综上所述，m的值为或或3或．
【点评】本题有一定难度，考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形、正方形的判定与性质及全等三角形判定与性质，要求对这些知识熟练且能灵活运用，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考能力，同时注意m的取值范围．
5．(1)
(2)，S的最大值为．
(3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．

【分析】（1）先求得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）由求得，再利用构造关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分别以点M、N为直角顶点分四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．
（1）
解：将代入，得．
解得．
∴点A的坐标为．
将代入，得．
∴点B的坐标为．
将点，代入，
得解得
（2）
解：将代入，
得．解得，．
．
又，，
，．
，
．
，
．
，即，
．
，即．
，
∴S的最大值为．
（3）
解：抛物线的对称轴为x==，
设对称轴直线交x轴于点E，则OE=，
当点M为直角顶点时，过点M作MF⊥轴于点F，如图：

∴四边形MEOF为矩形，
MF=OE=，
∵∠BMN=∠BFM=90°，BM=MN，
∴∠BMF+∠BME=90°，∠NME+∠BME=90°，
∴∠BMF=∠NME，
∴Rt△BMF≌Rt△NME，
∴MF=ME=，NE=BF，
∴NE=BF=，
∴NO= NE+OE=，
∴点N的坐标为（，0）；
当点M为直角顶点时，过点M作MF⊥轴于点F，如图：

同理可证Rt△BMF≌Rt△NME，
∴MF=ME=，NE=BF，
∴NE=BF=，
∴NO= NE-OE=，
∴点N的坐标为（，0）；
当点N为直角顶点时，如图：

同理可证Rt△BON≌Rt△NEM，
∴NO=ME，NE=BO=，
∴NO= NE+OE=，
∴点N的坐标为（，0）；
当点N为直角顶点时，如图：

同理可证Rt△BON≌Rt△NEM，
∴NO=ME，NE=BO=，
∴NO= NE-OE=，
∴点N的坐标为（，0）；
综上，点N的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
6．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)当是等腰三角形时，则点或或或或．

【分析】（1）把点和点分别代入解析式进行求解即可；
（2）由题意易得点E为A、C的中点，然后根据中点坐标公式可得点E的坐标，进而可得直线EF的解析式，最后联立解析式即可求解；
（3）由（2）可设点，然后由题意可分①当，②当，③，进而根据两点距离公式可进行求解．
（1）
解：由题意可把点和点分别代入解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：由（1）可知：，，
∵，
∴点E为A、C的中点，
∴点E的横坐标为：，纵坐标为，即，
设直线BC的解析式为，把点代入得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴设直线EF的解析式为，
把点代入得：，
∴直线EF的解析式为，
联立抛物线与直线EF的解析式得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴；
（3）
解：直线l上存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
由（2）可设点，则有：
∵点，，
∴①当时，则有：，
解得：，
∴，
∴点；
②当时，则有：，
解得：，
∴或，
∴点或；
③当时，则有：，
解得：，
∴或，
∴点或；
综上所述：当是等腰三角形时，则点或或或或．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)存在，或

【分析】（1）待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）化成顶点式，可得坐标，勾股定理可求得长度；
（3）如图，作，根据，，，设，根据，求解值，进而可得点坐标；设直线的解析式为，待定系数法求解析式为，进而可设过点且平行于直线的解析式为，代入点，计算求解后可得解析式，然后与二次函数解析式联立求解即可．
（1）
解：将A（0，3），B（－1，0）代入中得，
解得，a＝－1，c＝3，
∴抛物线的解析式为：．
（2）
解：∵，
∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），
∴DE＝4，BE＝2，
∴，
∴BD的长是．
（3）
解：存在，点P坐标为或 ．
如图，作，

由题意知，
∵，，
∴，
∴，
设，
则，
解得，
∴；
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设过点且平行于直线的解析式为，
将点代入得，
解得，
∴过点且平行于直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴；
综上所述，存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，点坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数解析式，顶点式，勾股定理，正切值，二次函数与特殊三角形的综合．解题的关键在于熟练掌握二次函数的知识并灵活运用．
8．(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)①；②存在，m＝2或m＝﹣1+2或m＝

【分析】（1）利用二次函数的交点式求解析式；
（2）①先求得点C的坐标，从而得到∠OBC＝∠OCB＝45°和直线BC的解析式，再过点F作FM⊥y轴于点M，交对称轴于点N，从而得到∠MFH＝∠MHF＝45°，进而得到FM和FH的关系，然后用含有m的式子表示DF+FH，最后利用二次函数的性质求得最大值；
②用含有m的式子表示点G的坐标，然后分情况讨论：①EF＝EG；②EF＝FG；③EG＝FG．
(1)
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
(2)
解：①当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
又∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图，过点F作FM⊥y轴于点M，则∠MCF＝∠MFC＝45，

∵FH⊥BC，
∴∠MFH＝∠MHF＝45°，
∴FH＝FM＝OE＝m，
∴DF+FH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，
∵0＜m＜3，0＜ ＜3，a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，DF+FH的最大值为﹣（）2+（3+）×＝；
②∵F（m，﹣m+3），E（m，0），
∴N（1，﹣m+3），EF＝﹣m+3，
∴NF＝|m﹣1|，
由①理得，∠NFG＝∠NGF＝45°，
∴NF＝NG＝|m﹣1|，
当m＞1时，G（1，﹣m+3﹣m+1）即（1，﹣2m+4）；
当m＜1时，G（1，﹣m+3+（﹣m+1））即（1，﹣2m+4），
∴G（1，﹣2m+4），
∴EF2＝（﹣m+3）2，EG2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，FG2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，
当EF＝EG时，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，
解得：m＝1（舍）或m＝2，
当EF＝FG时，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，
解得：m＝﹣1+2或m＝﹣1﹣2（舍），
当EG＝FG时，（m﹣1）2+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，
解得：m＝3（舍）或m＝，
综上所述，存在m＝2或m＝﹣1+2 或m＝，使得△EFG是等腰三角形．
【点评】本题考查了二次函数的解析式和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是判定△OBC为等腰直角三角形．
9．（1）；（2）；（3）①点的坐标为或，②点的坐标为
【分析】（1）根据抛物线经过A、B两点和可得点C坐标，从而利用待定系数法求出抛物线表达式；
（2）求出AC和BC的表达式，过点作于点，设，得出当最大时，最大，设点的坐标为(，)，将PQ用关于t的式子表示出来，求出PQ的最大值即可得到的最大值；
（3）①设点的坐标为，分AC=AQ，AC=CQ两种情况，结合等腰三角形的性质求出点Q坐标即可；
②设点的坐标为，证明△AOC∽△EMP，表示出EM和QM，建立方程，解之即可.
【解析】解：（1）抛物线与轴交于点，且 ，
∴，点的坐标为．
∴．
∴，
解得，
∴ 抛物线的解析式为；
（2） ∵ 点，
∴ 直线的解析式为．
∵点，
∴ 直线的解析式为，
∵轴，
∴，
如图，过点作于点 ，设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ 当最大时，最大 ，
设点的坐标为(，)，
则 ，
∴，
当时， 最大值为，
∴，
∴；

（3）① 存在，设点的坐标为，
则．
如图，当时，有，
解得 =0 (舍)，
=1 ，此时点的坐标为；

如图，当时，
，有
解得，（舍），，
此时点的坐标为，

综上，以 为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标为或；
②当△EMQ为等腰直角三角形时，设点的坐标为，
∴点P坐标为(，)，
∵PE∥AC，
∴可得△AOC∽△EMP，
则,
∴EM=，
∵EM=QM，
∴=4-n，
解得：n=1或n=4（舍），
∴点的坐标为.
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．
10．（1）；（2）；（3）的值为或或或．
【分析】（1）由抛物线解析式，分别求出A、B、C三点坐标，由△AOC∽△DOA得，从而求出DO，进而可知直线AE的解析式；
（2）过点作轴于点，交直线于点，分别根据抛物线和直线AE的解析式，设出点F和点K的坐标，由S△FAD=S△FAK-S△FDK，用x表示△FAD的面积，根据二次函数的性质即可求解；
（3）连接，过点作轴于点，分三种情况讨论当△AC′E为等腰三角形时，t的值：①；②；③．
【解析】（1）由题意知，抛物线y＝-x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，
令=0，得，所以C(0,),
令=0，得，所以A(-1,0)，B(3,0)，
根据题意，AE⊥AC
∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=90°，
又∵∠AOC=∠DOA=90°
∴∠OAD+∠ADO=90°
∴∠ADO=∠CAO
∴△AOC∽△DOA
∴
∴
∴点D的坐标为：
∴直线AE的解析式为：；
（2）过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，

设点坐标为，则点，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
此时点；
（3）连接，过点作轴于点，
则

点，易求

①当时，，解得：；
②当时，同理可得：(舍去负值)；
③当时，同理可得：；
故：的值为或或或．
【点评】本题考查直线解析式的求法、借助二次函数性质求三角形面积最值及等腰三角形的性质，注意将等腰三角形分三种情况求解．
11．（1）；（2）①，②b的值为-4或．
【分析】（1）根据二次函数解析式可得A（0，2），代入可求出一次函数解析式，联立一次函数解析式和二次函数解析式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；
（2）①由函数图象得，当x＜时，y1＜y2，结合题意得出关于b的不等式，求解即可；②分别求出，和，由函数图象可得∠ABC不可能为90°，故分和两种情况，分别利用勾股定理得出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵二次函数的图像与y轴交于点A，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入得：，
∴一次函数解析式为：，
联立，解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）①点B的坐标为，
由函数图象得：当x＜时，y1＜y2，
由题意得：当x＜－2时，y1＜y2，
∴，
解得：；
②当x＝－2时，，
∴C（－2，－2b－2），
∵A（0，2），B，
∴，，，
由函数图象可得：∠ABC不可能为90°，
∴当时，AB2+AC2=BC2，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，AC2+BC2= AB2，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
综上，b的值为－4或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，求函数图象的交点坐标，函数图象与不等式的关系以及勾股定理的应用，解题的关键是学会利用方程思想和数形结合思想解决问题，属于中考压轴题．
12．（1）；（2）①，3；②存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点C的坐标，再结合锐角三角函数求出AC的长度，进而得出点A的坐标，将点A和点B代入函数解析式即可得出答案；
（2）①先求出直线AB的解析式，设，并写出，根据“”求出x的值，再利用割补法求出面积；②设，利用两点间距离公式分别求出AB、BM和AM的长度，再分情况进行讨论(i)当时，(ii)当时，(iii)当时，并利用勾股定理求出y的值.
【解析】解：（1），
，
，
，
，
中，，
，
，
，
，
把代入得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)①
的解析式为，
设，则，
，
，
解得，（舍去）或-1，

在中，当时，y=4

，

②存在．
在直线上，且，
设，
，
，
，
分三种情况：
(i)当时，有，
，
解得，
或；
(ii)当时，有，
，
解得；
，
(iii)当时，有，
，
解得；
，
综上，点的坐标为或或或；

【点评】本题考查的是二次函数的综合，难度较大，需要熟练掌握割补法求面积，看到直角三角形注意要分类讨论.
13．(1)
(2)
(3)或或或

【分析】（1）直接用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出抛物线对称轴，用确定出MN及点N坐标，最后用面积公式求解即可；
（3）设出点P的坐标，表示出AB，AP，BP，分三种情况求解即可．
（1）
解：抛物线过两点，
，
，
抛物线解析式为；
（2）
由有，抛物线解析式为；
抛物线对称轴为，
，
，
，
，
，
为对称轴上一点，
，
，
设M到AN的距离为h，
在中，，
，
到AN的距离；
（3）
存在，
理由：设点P(1,m)，
∵A(−1,0),B(0,2)，
∴
∵△PAB为等腰三角形，
∴①当AB=AP时，
∴
∴m=±1，
∴P(1,1)或P(1,−1)，
②当AB=BP时，
∴
∴m=4或m=0，
∴P(1,4)或P(1,0)；
③当AP=BP时，
∴
∴
∴．
满足条件的点P的坐标为或或或 ．
【点评】题目属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，注意利用分类讨论思想和数形结合思想求解是解题关键．
14．（1）（-1，-4a），(-3,0)（2）-（3）y＝-( x＋1 )2+4或y＝－( x＋1 )2 +
【分析】（1）由抛物线的性质，直接得到顶点坐标．令y=0，即可求得A点坐标．
（2）设对称轴交CD于M，交x轴于F，得到C(0，－3a)．由对称轴为直线x=1，得到D（－2，－3a），由△DCE的面积= ，得到ME的长，即可得到E的坐标，易求直线BD的解析式为： ．由E为直线BD与对称轴的交点，即可得到a的值．
（3）作DH⊥x轴于H．显然，∠CBE为锐角，所以∠CBE 90°．分两种情况讨论：①若∠BEC＝90°，②若∠BCE＝90°．
【解析】（1）抛物线y＝a（ x＋1 ）2－4a（a＜0）的顶点坐标是（-1，-4a）．
令y=0，得：a（ x＋1 ）2－4a=0，解得：x=－3，或x=1，
∴A点坐标为（-3，0）．
故答案为（-1，-4a），（-3，0）
（2）设对称轴交CD于M，交x轴于F．令x=0，得：y=a-4a=－3a，
∴C(0，－3a)．
∵对称轴为直线x=1，
∴D（－2，－3a），
∴DC=2．
∵△DCE的面积=，
∴DC•ME=，
∴ME=，
∴E（－1，），易求直线BD的解析式为：．
∵E为直线BD与对称轴的交点，
∴当x=－1时，y=－2a，
∴－2a=，解得：a=．

（3）作DH⊥x轴于H．
显然，∠CBE为锐角，所以∠CBE90°．
①若∠BEC＝90°，则∠DEC＝90°．
∵CD∥x轴，∴由对称性可知∠CEM＝∠DEM＝45°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠BDH＝45°，
∴BH＝DH．
∵y＝a（ x＋1 ）2－4a，
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3a），抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴D（－2，－3a），
∴BH＝3，DH＝－3a，
∴a＝－1∴y＝-（ x＋1 ）2+4；

②若∠BCE＝90°，作BN⊥DC交DC的延长线于N，则∠BCN＋∠ECM＝∠BCN＋∠EDM＝∠BDH＋∠EDM＝90°，
∴∠BCN＝∠BDH，
∴Rt△BCN∽Rt△BDH，
∴BN：CN=BH：DH ，
∴－3a：1=3：－3a，
∴a＝，
∴ y＝（ x＋1 ）2 ．
综上所述：y＝-（ x＋1 ）2+4或．

【点评】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算等知识，解答（3）问关键是分两种情况讨论．
15．（1）y=4x+4；（2）y=-x2+x+4，P（1，）；（3）存在这样的点Q，使△ABQ为等腰三角形．Q1（1，），Q2（1，0），Q3（1，），Q4（1，﹣）．
【解析】分析：（1）将点A、B的坐标代入直线解析式，求出k、b的值，继而得出直线的解析式；
（2）连接BC，则BC与对称轴的交点即是P点的位置，根据PA+PB的最小值为5，可求出OC，利用待定系数法可求出抛物线解析式，直线BC解析式进而求出点P的坐标；
（3）设存在这样的点Q，其坐标为（1，y），然后分三种情况讨论，①QA=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分别求出y的值后即可得出点Q坐标．
解析：(1)将点A(−1，0)，点B(0，4)代入直线y=kx+b
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=4x+4；
(2)∵点A、点C关于抛物线的对称轴对称，故PA+PB的最小值为线段BC的长，
∴BC=5，
在Rt△BOC中，BC=5，BO=4，
∴OC=，
∴点C的坐标为(3，0)，
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将点B(0，4)代入得：a=−，
∴抛物线的解析式为：y=−(x+1)(x−3)=−x2+x+4；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B(0，4)，点C(3，0)代入可得，
，
解得：，
故直线BC的解析式为：y=−x+4，
又∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=1时，y=，
∴点P的坐标为(1，).
(3)存在这样的点Q，使△ABQ为等腰三角形.
设Q(1，y)，
有三种情况：
①当QA=QB时，则有12+(y−4)2=(−1−1)2+y2，
解得：y=，即Q(1，)；
②当BA=BQ时，可知Q(1，0)，Q(1，8)(不合题意，舍去)；
③当AB=AQ时，Q(1，)或Q(1，−).
所以满足条件的Q有四个：Q1（1，），Q2（1，0），Q3（1，），Q4（1，﹣）．
点评：本题是一道二次函数综合题，考查了二次函数的性质、最短路径、勾股定理、等腰三角形等相关知识.熟练应用二次函数的性质、数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键.
16．（1）（﹣1，4）；（2）∠DAB=∠ACB；（3） ，
【解析】试题分析：（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；
（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，从而得到结论；
（3）令Q（x，y）且满足，由△ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0．解方程组，即可得到结论．
试题解析：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，
得：，解得：．
∴抛物线的解析式是：，∴顶点坐标D（－1，4）．
（2）令y=0，则，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．
∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．
又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．
（3）令Q（x，y）且满足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即 ，化简得：x-2+2y=0．
由，解得：，，
∴点Q的坐标是（，），（，）．
17．（1）见解析，A（-1，0）；（2）；（3）存在，点D的坐标为(0,2)或（3,2）
【分析】（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，再根据二次函数解析式令y＝0求关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标，即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，再求出对称轴与直线的交点，然后根据顶点在交点下方列出不等式，求解即可；
（3）把点C的坐标代入抛物线求出a的值，从而得到函数解析式，再根据点A、B、C的坐标求出OA、OB、OC的长，然后即可求出△AOC∽△COB，根据相似三角形的性质求出△ABC是直角三角形，所以，点D与C重合时满足，再根据抛物线对称性，令y＝2，解关于x的一元二次方程即可求出点D的另一种情况．
【解析】解：（1）令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x＝4，令x＝0，则y＝2，
所以，点B（4，0），C（0，2），
令y＝0，则ax2﹣3ax﹣4a＝0，
整理得x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
所以，二次函数的图象过B点，
二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（﹣1，0）；
（2）y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（x2﹣3x﹣4）＝a（x﹣）2﹣a，
所以，抛物线的顶点坐标为（，﹣a），
当x＝时，y＝﹣+2＝，
∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方，
∴﹣a＜，
解得a＞﹣，
∴a的取值范围是﹣＜a＜0；
（3）存在．
理由如下：∵二次函数的图象过点C，
∴a×02﹣3a×0﹣4a＝2，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，
∵点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∵＝＝，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合，
根据二次函数的对称性，当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，
整理得，x2﹣3x＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求解，二次函数顶点坐标，二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，（3）根据点A、B、C的坐标判断出△ABC恰好是直角三角形是解题的关键．
18．（1）（3，3）；（2）-3≤＜0或0＜≤3；（3）存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；
（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：
①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；
②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；
（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP＝90°，②∠OPQ＝90°；可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为﹣1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．
【解析】解：（1）∵点B与O（0，0）关于x＝3对称，
∴点B坐标为（6，0）．
将点B坐标代入y＝ax2+2x得：
36a+12＝0；
∴a＝．
∴抛物线解析式为．
当x＝3时，；
∴顶点A坐标为（3，3）．
（2）设直线AB解析式为y＝kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴
解得，
∴y＝﹣x+6．
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y＝﹣x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，﹣t）．
当P在第四象限时（t＞0），
S＝S△AOB+S△OBP
＝×6×3+×6×|﹣t|
＝9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴﹣3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
当P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S＝S梯形ANMP+S△ANB﹣S△PMO
＝
＝
＝﹣3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜﹣3t+9≤18，
∴﹣3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴﹣3≤t＜0；
∴t的取值范围是﹣3≤t＜0或0＜t≤3．
（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．
由（2）知t的最大值为3，则P（3，﹣3）；
过O、P作直线m、n垂直于直线l；
∵直线l的解析式为y＝﹣x，
∴直线m的解析式为y＝x；
可设直线n的解析式为y＝x+h，则有：
3+h＝﹣3，h＝﹣6；
∴直线n：y＝x﹣6；
联立直线m与抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴Q1（3，3）；
同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q2（6，0），Q3（﹣3，﹣9）．


【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
19．(1) y=x2-2x-3； (2) 坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）；(3) ∠α-∠β=45°．
【分析】（1）易得点C坐标，根据OB=OC=3OA可得点A，B坐标．代入二次函数解析式即可．
（2）点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P，A，C三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．
（3）可求得E，D坐标，得到△BCE的形状，进而可把∠CBE转移为∠DBO，求解．
【解析】（1）抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax2+bx-3，
得，
∴y=x2-2x-3．
（2）①当∠P1AC=90°时，可证△P1AO∽△ACO，
∴Rt△P1AO中，tan∠P1AO=tan∠ACO=，
∴P1(0，)．
②同理：如图当∠P2CA=90°时，P2（9，0）
③当∠CP3A=90°时，P3（0，0），
综上，坐标轴上存在三个点P，
使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，
分别是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）．

（III）由y=-x+1，得D（0，1）
由y=x2-2x-3得到顶点E（1，-4），
∴BC=3，CE=，BE=2，
∵BC2+CE2=BE2，
∴△BCE为直角三角形．
∴tanβ＝=．
又∵Rt△DOB中tan∠DBO=．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°．
【点评】本题是二次函数的综合题，通常采用待定系数法求二次函数解析式；三角形为直角三角形，那么三个顶点都有可能为直角顶点，注意分类讨论思想的应用.
20．（1）对称轴 （2）点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（5,4），A（-3,0）
抛物线的解析式为y=-x2+x+4（3）P1(,-)P2(,-)P3（2.5，-1）
【分析】（1）根据对称轴的公式即可求解；（2）令x=0,求出C的坐标，根据抛物线的对称性求出点B的坐标，由AB=BC=5，OA=4，得到A点坐标，代入解析式即可求出解析式；（3）分三种情况讨论：①以AB为腰且顶角为角A的△P1AB，先利用勾股定理求出AB，再利用等腰三角形的性质求出P1N的长，即可求出P的坐标；②以AB为腰且顶角为角B的△P2AB，在Rt△BMP2中，求出MP2，即可求出坐标；③以AB为底，顶角为角P的△P3AB，根据Rt△P3CK∽Rt△BAQ可求出OK与P3K的长，即可求出P的坐标.
【解析】（1）抛物线的对称轴
（2）令x=0，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）
∵BC∥x轴，点B,C关于对称轴对称，∴点B的坐标为（5,4）
又∵AC=BC，
∴AC=BC=5，OA=3，点A在x轴上，
∴A（-3,0）
把点A代入解析式得9a+15a+4=0,
解得a=-
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4
（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=，
以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB.
∴
在Rt△ANP1中，
∴P1(,-)
以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB.
在Rt△BMP2中，
∴P2(,-)
以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个：△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB
∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ
∴
∵=2.5，
∴CK=5，
于是OK=1，
∴P3（2.5，-1）