2024年九年级中考数学解答题 复习——二次函数与相似三角形问题专项训练

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1．如图1，抛物线交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点T在抛物线上，且，求点T的坐标；
(3)如图3，将线段绕点C逆时针旋转至），轴于H，点P为的内心，直接写出的取值范围______．
2．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，．
(1)求二次函数解析式；
(2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由．
(3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，此时点的坐标为________．
3．如图，二次函数交x轴于点和交y轴于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图，在第一象限有一点M，到O点距离为2，线段与的夹角为，且，连接，求的长度；
(3)对称轴交抛物线于点D，交交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段于点F，交抛物线手点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，与y轴相交于点C，连接，已知点．
(1)求两点坐标和抛物线的解析式；
(2)设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与重合），过点P作，垂足为点．
①点P在运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值以及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由：
②当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标．
6．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．
8．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；
(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．
9．如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、 （点在点左侧），与轴交于点．
(1)连接，则 °；
(2)如图2，若经过、、三点，连接、，若与 的周长之比为，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，抛物线对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
10．已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，交x轴正半轴于点C，连接，点E是线段上一动点（不与点O，C重合），以为边在x轴上方作正方形，连接，将线段绕点F逆时针旋转，得到线段，过点P作轴，交抛物线于点H，设点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求a的值．
(3)当时，求点P的坐标．
12．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标．
(3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)或
(3)
2．(1)；
(2)存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，与的相似比为或；
(3)点横坐标或．
3．(1)
(2)
(3)
4．(1)
(2)
(3)或
5．(1)，
(2)①存在，线段的最大值为，此时点的坐标为．
6．(1)
(2)点不在抛物线的对称轴上
(3)
7．(1)
(2)存在，D点坐标为
(3)，M点坐标为
8．(1)；
(2)或
(3)
9．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为
10．(1)
(2)
(3)或
11．(1)
(2)
(3)点P的坐标为或或
12．(1)24
(2)
(3)存在，或．
13．(1)
(2)
(3)或
14．(1)
(2)函数的最大值为5，最小值为
(3)存在，或
15．(1)
(2)A的坐标为
(3)存在，（2，4）或