2023年九年级中考数学复习：二次函数综合训练--特殊三角形问题附答案

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2023年九年级中考数学复习：二次函数综合训练--特殊三角形问题附答案1．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标；(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由．     2．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求的面积；(2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；(3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．     3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为．(1)直接写出点A的坐标　　　　，点B的坐标　　　　；(2)求出二次函数的解析式；(3)如图1，在平面直角坐标系中找一点D，使得是以为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标．  4．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．     5．如图，已知点A的坐标为，直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接，顶点为D的抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)设点M是线段上的一动点，过点M作，交于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点A运动，运动时间为t（秒）．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．6．已知：二次函数的图象与x轴交于点A、，顶点为(1)求该二次函数的解析式；(2)如图，过A、C两点作直线，并将线段沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处，若点F在这个二次函数的图象上，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标    7．如图，抛物线的图象经过点，抛物线与x轴的另一个交点为．(1)求出这个抛物线的解析式；(2)该抛物线的顶点为，求出点，点的坐标，并判断的形状；(3)若点是抛物线上位于直线下方的一个动点，当点运动到何位置时的面积最大？求出点坐标及最大面积．    8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及此时点M的坐标；(3)在（2）的条件下：当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．    9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标以及四边形的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为边的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．       10．抛物线与轴交于点和， 与轴交于点， 连接． 点是线段下方抛物线上的一个动点(不与点重合)， 过点作 轴的平行线交于， 交轴于， 设点的横坐标为．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，①求点的坐标；②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标； 若不存在， 请说明理由．  11．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接 AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标；(3)在（2）的情况下，在y轴上是否存在点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．     12．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．  13．如图，在平面直角坐标系中，两点在坐标轴上，绕点原点顺时针旋转后得到，，抛物线经过点、、．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点，使得最小值？若存在，请求出点点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．    14．已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点的坐标为，(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；(3)若抛物线上有一点，使∠ACM=45°，求点坐标．   15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；(3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．     16．已知开口向下的抛物线与x轴的交点为A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，OC＝3OA．(1)求出该抛物线的解析式；(2)在抛物线第四象限上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于△PBC的面积的3倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，经过点P的直线交对称轴于G，作PH⊥PG，交对称轴于H，当直线PG与抛物线有且只有一个交点P时，求证△PGH的外心一定是某个定点，并求出这个定点的坐标．      17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．(1)求这个二次函数及直线的表达式．(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．          18．如图，抛物线的顶点A在直线l：上．(1)求抛物线的解析式及顶点A；(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C点在D点的左侧），判断△ABD的形状；(3)直线l与x轴交于点E，点P在射线上运动，当与的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P的坐标．
参考答案：1．(1)(2)点，点(3)存在，，， 2．(1)(2)(3)存在，或． 3．(1)，(2)；(3)或． 4．(1)(2)存在，(3)存在，或或或 5．(1)，D的坐标为（，）(2)t的值为或 6．(1)(2) 7．(1)(2)，，是直角三角形；(3)，的最大面积为 8．(1)(2)，，(3)存在，点P的坐标为或或或 9．(1)抛物线解析式为；(2)点运动到时，四边形CDBF的面积最大，最大面积为(3)存在，点P或或或 10．(1)(2)，(3)①；②存在点或 11．(1)；(2)；(3)存在，或或或． 12．(1)(2)存在最大值，最大值为(3)或 13．(1)(2)存在，(3)或或 14．(1)；(2)(3)M（4，5） 15．(1)(2)(3) 16．(1)(2)存在，P(，－)(3)(1，) 17．(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；(2)(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 18．(1)，顶点A（1，－4），(2)△ABD为直角三角形，理由见解析(3)（4，－1）或（2，－3）．